1.9  수족삼각형

수심삼각형과  중점삼각형은 연관된 삼각형의 더 일반적인 형태의 2가지 경우이다. 점 P를 [eqn: triangle`ABC] 의 내부의 임의의 점이라 하자.

그리고 그림 1.9A처럼 BC, CA, CB 위에 수선 [eqn: PA _{1,][eqn: PB_1,][eqn: PC_1]을 내리자.

이러한 수선의 발은 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]의 꼭지점들이다. [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]은 수족점 P로부터 얻어진

[eqn: triangle`ABC]의 수족삼각형이다. P가 [eqn: triangle`ABC]의 외접원에 놓여 있을 수 없으므로(이유는 2.5에서 설명할 것이다.) P는 [eqn: triangle`ABC]의 내부에 있다고 제한할 수 있다. 명료하게 수심삼각형 또는 중점삼각형은 P가 각각 수심 또는 외심일 때 생겨난다.

더 엄밀히 그림 1.9A를 검토해보자. 점 [eqn: B_1] 과 [eqn: C_1]은 AP를 지름으로 하는 원 위의

점들이다. 다시 말해서 P는 [eqn: TRIANGLE AB_1 C_1]의 외접원 위의 점이다. sin법칙을 적용하면

[eqn: TRIANGLE AB_1 C_1]과 [eqn: triangle`ABC]에 우리는 다음과 같은 사실을 얻을 수 있다.

[eqn: {B_1 C_1 }over{sinA} = AP…①],   [eqn: {a }over{sinA} = 2R…②]

①, ②에 의해서                    [eqn: B_1 C_1 = a {AP} over 2R]

마찬가지 방법으로

[eqn: C_1 A_1 = b {BP} over 2R] , [eqn: A_1 B_1 = c {CP} over 2R]

Thm 1.91 만약 수족점이 [eqn: triangle`ABC]의 꼭지점으로부터 [eqn: x, y,z] 거리만큼 떨어져 있다면 수족삼각형의 변은 [eqn: ax over 2R] , [eqn: by over 2R] , [eqn: cz over 2R] 이다.

[eqn: x=y=z=R] 인 경우에도 성립.

수족삼각형이 수족삼각형을 포함하고 있는 흥미진진한 연습문제는 기하에서의 상상력을 키워줄 수 있는 즐거운 예제일 것이다. 그러한 연습문제는  John Casey's가 쓴 유클리드 원론 제 6권의 속편의 6번째 편집자 J. Neuberg에 의해서 처음으로 제기되었다. 그림 1.9B에서 내부의 점  P는 [eqn: triangle`ABC]의 첫 번째 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]을 결정한다. 같은 수족점 P는 다시 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]의 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_2 B_2 C_2]를 결정한다. 그것을 자연스럽게 [eqn: triangle`ABC]의 두 번째 수족삼각형이라 한다. 마찬가지 방법으로 [eqn: TRIANGLEA_2 B_2 C_2]의 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_3 B_3 C_3]을 얻을 수 있다. 세 번째 수족삼각형 또한 똑같은 수족점 P를 사용하였다. Neuberg의 발견은 다음과 같이 표현할 수 있다.

Thm 1.92 세 번째 수족삼각형은 처음 삼각형과 닮음이다.

증명은 놀랍게도 간단하다. P와 A를 이어보자. P는 모든 삼각형 [eqn: AB_1 C_1], [eqn: A_2 B_1 C_2],[eqn: A_3 B_3 C_2], [eqn: A_2 B_2 C_1], [eqn: A_3 B_2 C_3]의 외접원 위에 있으므로

[eqn: angle C_1 AP] = [eqn: angle C_1 B_1 P] = [eqn: angle A_2 B_1 P] =[eqn: angle A_2 C_2 P]

= [eqn: angle B_3 C_2 P] = [eqn: angle B_3 A_3 P]

그리고

[eqn: angle PAB_1] = [eqn: angle PC_1 B_1] = [eqn: angle PC_1 A_2] =[eqn: angle PB_2 A_2]

= [eqn: angle PB_2 C_3] = [eqn: angle PA_3 C_3].

다시 말하면, AP가 [eqn: angle A]를 두 부분으로 나눈다. 이러한 방식으로 [eqn: B_1]과 [eqn: C_1]도 두 부분으로 나뉘어지고 다시 [eqn: C_2]와 [eqn: B_2]도 두 부분으로 나뉘어지고 마침내 [eqn: A_3]도 두 부분으로 나쥐어진다. 따라서 [eqn: triangle`ABC]와 [eqn: TRIANGLEA_3 B_3 C_3]에서 [eqn: angle A = angle A_3]이다. 마찬가지 방법으로, [eqn: angle B = angle B_3]이다. 따라서 정리가 증명되었다.

연속된 수족선의 이러한 정리는 B. M. Stewart에 의새허 일반화되었다. 그는 n각형의 n번째 수족n각형이 처음 n각형과 닮음이라는 사실을 알아내었다. 그것은 사변형의 네 번째 수족 사변형을 알아내는데 도움이 된다.

이쯤에서 이 정리를 마무리하자. 잘 알려진 데이터를 가지고 시작함으로써 간단하지만 중요한 사실의 일부를 했다. 여기에 기술된 방법에 의해 해법을 적합하게 적용할 수 있는 많은 문제들이 있다. 그것들 중 어떤 것은 독자들이 전부터 보아왔던 잘 알려진 난제이다.

다음 연습문제 5개를 풀어보면서 이 장을 복습해보자.

연습문제

1. 등변삼각형 ABC의 체비안 AQ가 P에서의 외접원과 만날 수 있도록 연장하면,

그 때

[eqn: 1 over PB + 1 over PC = 1 over PQ].

2. 그림 1.9 C 처럼 □ABCD 안에 그려진 이등변 삼각형 PAB에서 변 AB의 양 끝각이 [eqn: 15DEG]일 때, 점 P, C, D는 등변삼각형의 꼭지점이다.

3. 그림 1.9 D 처럼 평행사변형 ABCD 밖에 있는 선 PB와 PD가 각각 BC와 DC와 이루는 각이 같다면,  [eqn: angle CPB] = [eqn: angle DPA]. (물론, 이것은 3차원이 아닌 평면도형이다.)

4. 삼각형 ABC는 B와 C가 모두 [eqn: 80DEG]인 이등변삼각형이다. 그림 1.9 E 처럼체비안선인 BD와 CE는 각각 B와 C를 [eqn: 60 DEG + 20 DEG]와 [eqn: 30 DEG + 50 DEG]로 나눈다.

5. 만약 등변삼각형의 한 정점을 지나는 두 선이 세 등각의 마주보는 변 외부에 그려진 반원을 나눈다면 이 두 선은 세 변도 나눈다.(?)