5.8 Inversive distance (반전 거리)

각의 이등분선은 각의 이등분선으로 반전되기 때문에, 두 교차하는 원의 mid-circle은 두 원 사이의 각을 각각 이등분한다. 따라서, 두 교차하지 않는 원에서 두 원의 유일한 mid-circle에 의해 이등분되는 절대적인 속성의 유사한 양식이 성립하는지 질문하는 것은 합당하다. 이 호기심이 발명에 영향을 미칠정도여서, 어떤 임의의 교차하지 않는 두 원 [eqn: alpha] 와 [eqn: beta] 에 대해서 반전거리가 [eqn: ( alpha ~,~ beta)] 이고  만약 [eqn: gamma] 가 교차하지 않는 pencil [eqn: alpha beta] 에 속하고 [eqn: beta] 가 [eqn: alpha]와 [eqn: gamma] 사이에 놓이면

(5.81)                         [eqn: ( alpha ,~ beta )~+~( beta ,~ gamma )~=~( alpha ,~gamma )]

이다.

원의 중심이 극한점중 하나인 원에 대하여 반전하면. 우리는  [eqn: a>b>c] 이거나 [eqn: a<b<c] 이고 물론

[eqn: {a} over {b} TIMES {b} over {c} ~=~{a} over {c}]

을 만족하는 반지름이 각각  [eqn: a,~b,~c] 인 중심이 같은 세 원을 얻을 수 있다.

로그를 사용함으로써 우리가 곱하기를 더하기로 바꿀 수 있는 것에 주의하면,

(5.82)                             [eqn: ( alpha ,~ beta )``=~ LEFT | `log {a} over {b} RIGHT |]

을 정의할 수 있다.

즉, [eqn: log(a/b)] 또는 [eqn: log(b/a)]은 [eqn: a~>~b] 또는 [eqn: a~<~b]에 따른다. (5.81)의 방정식은 명백히 이 동심원들에 대해서 만족되어진다.

위의□[eqn: log]□라는 표시는 □밑을 10으로 하는 로그□라는 의미를 가지고 있다고 해석할 수 있고 따라서, [eqn: x~=~log~y] 인 관계식은 [eqn: y~=~10 ^{x}] 를 의미한다. 그렇지만, 10을 밑으로 사용하는 관습은 대부분의 사람들이 열 손가락(엄지손가락을 포함하여)을 가졌다는 비수학적인 관찰에부터 발생했다. 이것은 10을 초월수

[eqn: e~=~ sum _{ 0} ^{ INF } { 1} over { n!}~=~2.7182818284590 CDOTS]

로 바꾸면서 좀 더 수학적으로 의미있다.

따라서, 관계식 [eqn: x~=~log~y] (때로는□natural□의 n과 함께 [eqn: ln`y] 로 쓰임)는

[eqn: y~=~e ^{x} `=~ sum _{0} ^{INF } {x ^{n}} over {n!}]

을 의미하고, 자연로그는 같은 값의 놀라운 급수로 주어진다.

[eqn: log(1+t)~=~t- {t ^{2}} over {2} + {t ^{3}} over {3} - {t ^{4}} over {4} + CDOTS]

교차하지 않는 임의의 두 원 사이의 반전거리를 주어진 두 원을 반전시킨 두 동심원의 반지름의 비율(작은 것 분의 큰 것)의 자연로그로 정의하는 것에 동의할 수 있다.

동심원은 coaxal circle로 반전되기 때문에 이□거리□는 coaxal pencil의 원들끼리 (5.81)에서처럼 덧셈이 가능하다. 특히, 임의의 교차하지 않는 두 원의 mid-circle은 그들 사이의 반전거리를 이등분한다. 평행한 두 직선을 두 동심원의 제한된 경우로 간주하면 아마도 반전거리가 0으로 생각되어질 수 있는 두 접원을 알 수 있다.

만약 한 원이 다른 원의 내부에 있는 두 원(동심원이 아닌)에 대하여, 그림 5.8A처럼 원래의 두 원에 접하고 연속적으로 또 다른 한 원에 접하는 원들을 그려보면 연속적인 접원들은  마지막 접원이 처음 접원에 접하는 [eqn: n]의 고리형태를 이루도록 하면서 접한다. 이 경우 우리는 처음 두 원에 접하는 임의의 고리의 첫 번째 원을 잡을 수 있고, 고리는 여전히 같은 [eqn: n]의 값을 가지며 접한다. 정리 5.71은  Steiner’s porism[13, p.53] 으로 알려진 이 결과의 놀라우면서 간단한 증명을 알려준다. 우리는 단지 주어진 원을 동심원으로 반전하고 다른 것들은 그림 5.8B 처럼 원의 중심이 정[eqn: n]각형의 형태를 이루는 합동인 원의 고리로 바꾸어야 한다. 여기서 원의 중심중의 하나를 [eqn: A] 라하고, 이 원의 고리의 이웃하는 한 원과의 접점을 [eqn: T] , 두 동심원의 공통 중심을 [eqn: O] 라고 하고 바깥쪽 원의 반지름을 [eqn: a] , 안 쪽 원의 반지름을 [eqn: b] 라고 하자. [eqn: TRIANGLE OAT] 는

[eqn: OA~=~ {a+b} over {2} ,~~~~~~~~~AT~= ~{a-b} over {2}]

이고, [eqn: O] 에서의 라디안값이 [eqn: pi /n] 인 직각삼각형이다.

이 동심원들의 반지름이 [eqn: a] 와 [eqn: b] 이므로, 이들의 반전 거리  [eqn: delta ~=~log(a/b)]는

[eqn: sin {pi } over {n} `=~ {AT} over {OA} `=~ {a-b} over {a+b} `=~ {(a/b)-1} over {(a/b)+1} `=~ {e ^{delta } -1} over {e ^{delta }+1}]

을 만족한다.

따라서, Steiner’s porism이 두 동심원들 사이의 반전거리가

[eqn: sin {pi } over {n} `=~ {e ^{delta } -1} over {e ^{delta } +1}]

와 같은 방정식을 만족할 때 마다 성립한다.

[eqn: e ^{delta }] 에 대하여 풀고, 다음 [eqn: delta] 에 대하여 풀면,

[eqn: e ^{delta } `=~ {1+sin( pi /n)} over {1-sin( pi /n)} `=~( {1+sin( pi /n)} over {cos( pi /n)} ) ^{2} `=~(sec {pi } over {n} `+~tan {pi } over {n} ) ^{2}]

(5.83)                           [eqn: delta =2~log(sec {pi } over {n} +tan {pi } over {n} )]

특별하게, [eqn: n=4] 로 두면 반전거리가

[eqn: 2~log( sqrt {2} +1)]

인 어떤 두 원이 각 각 4개의 원에 접하는 여섯 개의 원의□구성 □에 속한다. 6개의 원은 자신의 반대쪽의 원은 제외한 나머지 모든 원과 접하는□반대의□세 개의 쌍으로 분류된다. 어떤 두 반대의 두 원 사이의 반전거리는 [eqn: 2~log( sqrt {2} +1)] 이고, 물론 남은 12개의 거리는 [eqn: 0] 이다.

Steiner’s porism은 원의 고리가 한 개 대신에 [eqn: d]로 바뀌어 접한 후에 근거가 더 확실해졌다. 단지 우리는 dll 공식들에서 [eqn: n] 대신에 분수 [eqn: n/d]로 바꿔야 한다.

원은 어떤 반지름도 가질 수 있고 또 중심은 두 개의 좌표로 결정되므로 원의 모든 집합은 유클리드 평면(그리고 또한 inversive 평면)에서 세 개의 매개변수 집합이고, 또는 threefold infinity 이다. 3차원 공간에서의 평면인 inversive 평면상의 원의 threefold infinity로 해석함으로써 Gauss, Bolyai와 Lovaghevsky에 의해 독립적으로 발명되어진(1820년과 1830년사이에) 유명한 비유클리드 기하학을 얻을 수 있다. 교차하는 원 사이의 교각은 한 직선에서 교차하는 두 평면 사이의 각처럼 나타난다; 두 접원은 평행한 평면으로 나타난다; 그리고 교차하지 않는 두 원 사이의 반전거리는 공통의 수선을 가지는 ultraparallel 인 두 평면 사이의 거리로 나타나고 이 거리는 이 수선에 따라 측정된다.

연  습  문  제

1. Steiner’s porism에서 고리의 인접한 원들의 접하는 점은 원래의 두 원의 mid-circle의 위에 놓여있다(실제로, 임의의 두 원 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 mid-circle 또는 mid-circles 는 두 원 [eqn: alpha]와 [eqn: beta] 에 접하는 두 원의 점 [eqn: P]의 자취로 그려지고, 서로 점 [eqn: P]에서 접한다)

2. 등식 (5.83) 은 [eqn: delta ~=~2~log~`tan( {pi } over {4} ~+~ {pi } over {2n} )] 과 동치이다.