1.7 Medial triangle 과 Euler line

주어진 삼각형의 세변의 중점을 이어서 만든 삼각형을 medial triangle 이라고 한다. 그림 1.7A의 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 medial triangle 이다. 우리는 [eqn: G]에서 만나는 두 중선 [eqn: AA ^{ prime }]와 [eqn: BB ^{ prime }]를 살펴볼 것이며, [eqn: TRIANGLEABC] 의 두 수선의 교점을 [eqn: H], [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 두 수선의 교점을 [eqn: O]라고 하자. 이 그림의 점검으로 얼마나 많은 것을 찾을 수 있는지는 놀랄만한 일이다.

그림 1.7A

우선, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 세 변은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 세 변과 평행하므로 이 두 삼각형은 닮음이다. [eqn: C^{ prime } B ^{ prime } = {1} over {2}BC] 이고 어떤 두 대응하는 선분(단순히 대응하는 변 뿐만 아니라) 사이의 닮음비가 [eqn: 1:2] 가 될 것이다. 실제로, 선분 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }], [eqn: C^{ prime }A ^{ prime }], [eqn: A^{ prime } B ^{ prime }] 는 [eqn: TRIANGLEABC] 를 합동인 네 삼각형으로 나눈다.

사각형 [eqn: AC ^{ prime } A ^{ prime } B ^{ prime }]는 평행사변형이고, [eqn: AA ^{ prime }]는 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]를 이등분한다. 따라서, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 중선은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 중선에 놓이게 되고, 이는 두 삼각형의 무게중심은 [eqn: G]로 같음을 의미한다. 우연히도, [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }] 의 중점 [eqn: P] 는 [eqn: A A ^{ prime }] 의 중점이기도 하다.

이제, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 수선은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 변 [eqn: AB]와 [eqn: BC] 의 수직이등분선이다. [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 수심 [eqn: O] 는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 외심과 같다고 결론지을 수 있다.

[eqn: O] 가 닮음인 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 수심일때 [eqn: H]는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 수심이므로, [eqn: AH=2OA ^{ prime }]이다. 정리1.32 으로부터 [eqn: AG=2GA ^{ prime }]이다. 마지막으로, [eqn: AD] 와 [eqn: OA ^{ prime }] 둘 다 변 [eqn: BC] 에 수직이므로, 서로 평행이다. 따라서, [eqn: ANGLE HAG= ANGLE OA ^{prime } G] , [eqn: TRIANGLE HAG SIM TRIANGLE OA ^{ prime } G], [eqn: ANGLEAGH= ANGLEA ^{ prime }GO]. 이는 [eqn: O] ,[eqn: G], [eqn: H] 가 공선점이고, [eqn: HG=2GO] 임을 나타낸다.

정리 1.71

임의의 삼각형의 수심, 무게중심, 외심은 공선점이다. 무게중심은 수심과 외심의 거리를 [eqn: 2:1]로 나눈다.

이 세 점이 놓인 선을 삼각형의 Euler line 이라고 부른다.

그림 1.7A 를 더 자세히 공부해보자. Euler line [eqn: HO] 와 [eqn: P]를 지나고 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]에 수직인 선과의 교점을 [eqn: N] 이라고 하자. [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }] 에 모두 수직인 세 선 [eqn: AH], [eqn: PN], [eqn: A^{ prime }O] 는 평행이다. [eqn: AP=PA ^{ prime }] 이므로 이들 세 선은 일정한 간격을 이룬다 ([eqn: PN] 은 [eqn: AH] 와 [eqn: A^{ prime }O] 의 중간에 있다) 따라서, [eqn: N] 은 선분 [eqn: HO] 의 중점이다.

우리는 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 변 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]에 대한 토의를 수행하였다. 같은 논리로 새로운 변에 적용시킨다면, 고정된 선분 [eqn: HO] 는 이 새로운 변의 수직이등분선에 의해 이등분된다. [eqn: HO] 는 유일한 중점을 가지므로 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 세 변의 수직이등분선은 [eqn: N] 을 지난다고 할 수 있다. 다시 말해, [eqn: N] 은 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 외심이다.

요약하면, medial triangle 의 외심은 원래의 삼각형의 Euler line [eqn: HO] 의 중점에 놓이게 된다. 또한 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime } B ^{ prime } C ^{ prime } SIM TRIANGLE ABC] 이므로 medial triangle의 외접원의 반지름은 원래의 삼각형의 외접원의 반지름의 반이다.

Euler란 이름은 매우 빈번하게 등장하며 또한 몇 몇의 그의 법칙이 담겨져 있는 수학의 여러 분야들에서 찾아 볼 수 있다. Leonhard Euler는 1707년 스위스의 Basel에서 태어났다. Euler는 1727년 러시아의 St. Petersburg Academy에 임용되었으며, 이후 1741년에 Prussian Academy의 수학부장의 자리로 옮기기 위해 베를린으로 떠났다. 이후 그는 1766년에 St. Petersburg Academy에 돌아와 1783년 사망하기 전까지 그 곳에 머물렀다.

그는 매우 위대한 수학자로 그의 업적은 수학의 각 분야에 큰 기여를 하였다. 어느 분야에서든 Euler의 이론, Euler의 공식, 또는 Euler의 방법들을 쉽게 찾아 볼 수 있다. Euler는 그의 생애동안 473편이나 되는 논문들을 발표하였고, 또한 그의 사후에 200편의 논문이 발간되었으며 아직 미발간 된 논문들도 61편이나 된다. 더욱이 그는 이 모든 작업들을 1735년에 한쪽 시력을 잃고, 이후 1766년에 나머지 한쪽의 시력마저 잃는 힘든 상황 속에서 해냈다. 그의 처리의 기술은 놀랄만한 것이었으며, 또한 수학에 관한 그의 직관적 통찰은 너무도 위대하였다. 우리는 우리의 작업 속에서 그의 이름을 계속해서 만나게 될 것이다.

연습문제

1. 그림 1.7A 를 그림 1.1A 대신에 그림 1.1B 로 한 것처럼 새로 그림으로써 [eqn: TRIANGLEABC] 가 둔각삼각형일때에 정리 1.71의 증명이 타당함을 증명하여라.

2. [eqn: OH ^{ 2}=9R ^{ 2}-a^{2}-b ^{ 2}-c ^{ 2}]

3. [eqn: DA prime={ |b ^{ 2}-c ^{ 2} | }over {2a }]

4. 만약, [eqn: TRIANGLEABC] 가 [eqn: TRIANGLEABC] 의 Euler line과 변 [eqn: BC] 와 평행한 특수한 성질을 가진다면  [eqn: tanB~tanC=3] 이다.