1장

삼각형에 관련된 점과 선

대수와 산술의 문헌보다 훨씬 더 방대한, 적어도 해석학의 문헌만큼 방대한 문헌을 겸비한 채, 기하는 수학의 어떤 다른 영역보다, 바쁜 세대는 즐길 여유가 없는, 더 재미있고 반쯤-잊혀진 것을 가진 더 풍부한 보물집이다.

E. T. Bell

이 장의 목적은 유클리드 이래로 발전되었던 어떤 새로운 정리를 도출하고, 우리의 발견들을 흥미로운 상황에 적용시키기 위하여, Dr. Bell 이 언급한 반쯤-잊혀진 것들의 일부를 다시 불러오는 것이다. 우리는 삼각형과 삼각형의 가장 유명한 관련 점과 선을 생각해 본다: 외심(circumcenter), 중선(medians), 무게중심(centroid), 각의 이등분선(angle-bisectors), 내심(incenter), 방심(excenters), 높이(altitudes), 수심(orthocenter), 오일러 선 (Euler line), 구점원의 중심(nine-point center)

각의 이등분선은, 비록 지금은 정말 쉽다고 알지만, 수 백 년 동안 증명하기가 어렵다고 여겨졌던, Steiner-Lehmus정리로 본제를 벗어나 자연스럽게 이르게 된다.

마지막으로, 어떤 삼각형과 일반적인 한 점으로부터, 우리는 그 꼭지점이 점 P에서 주어진 삼각형의 각 변들에 이르는 수선의 발인 한 새로운 삼각형을 도출한다. 이러한 생각은 재미있는 전개를 이끌어내고, 그것의 일부는 다음 장까지 유보된다.

1.1 확장된 사인법칙

사인법칙은 빈번하게 사용되어질 하나의 삼각법 정리이다. 불행히도, 그것은 확장된 정리가 사용될 만큼 유용하지 못한 잘려진(생략된) 형태로 보통 교재들에서 나타난다. 그러므로, 우리가 원하는 형태로 사인법칙을 증명하는 자유를 가진다.

(그림1.1A)

우리는 [eqn: TRIANGLE ABC``]로 시작한다. 그 다음 (그림1.1A)와 (그림1.1B)에서 보여지는 바와 같이 그 주위에 중심이 [eqn: O``]이고 반지름이 [eqn: R``]인 외접원을 그린다. 지름[eqn: CJ``]와 현[eqn: BJ``]를 긋는다. 보여진 두 상황에서, [eqn: ANGLECBJ``]는 직각이다, 왜냐하면 그것이 반원으로 나타나기 때문이다. 그러므로, 두 그림에서,

[eqn: sin J```=``` { a} over {CJ }```=``` { a} over {2R}``]

(그림1.1A)에서,[eqn: ANGLE`J```=`ANGLE`A] 이다. 왜냐하면 두 각은 이 원의 같은 호에 대한 원주각이기 때문이다. (그림1.1B)에서 [eqn: ANGLE`J```=```180°``- ANGLE`A], 왜냐하면 그려진 사각형의 대각이 보각관계이다. [eqn: sin` theta``=``sin(180°`-theta)``]을 기억한다면, 두 그림에서 [eqn: sin`J``=``sin`A``]이다. 그러므로, 이 각각의 경우에서,  [eqn: sin`A``=``a`/`2R``] , 즉

[eqn: {a} over {sin`A}``=``2R``]

같은 방법으로, [eqn: TRIANGLE ABC``]의 다른 각에 대해서도 적용을 하면, 다음을 만들어낸다.

[eqn: {b} over {sin`B}``=``2R``],    [eqn: {c} over {sin`C}``=``2R``]

결과를 정리하면, 우리는 다음과 같이 확장된 사인법칙을 나타낼 수 있다.

(정리l.11) 외접원의 반지름이 [eqn: R``]인 [eqn: TRIANGLE ABC``]에 대해서,

[eqn: {a} over {sin`A}``=``{b} over {sin`B}``=`{c} over {sin`C}``=``2R``]

(그림1.1B)

괄호로 묶인 도형의 이름으로 어떤 도형의 넓이를 나타낸다고 하자. 그래서, [eqn: (ABC)``]는 [eqn: TRIANGLE ABC] 의 넓이를 나타내고, [eqn: (PQRS)``]는 사각형[eqn: PQRS``]의 넓이를 나타낸다.

(연습문제)

1. 삼각형[eqn: ABC``]에서, [eqn: B``]또는 [eqn: C``]가 둔각일 때, [eqn: a``=``b`cosC``+``c`cosB``]임을 보여라.

덧셈정리[eqn: sin(B``+``C)``=``sinB``cosC``+``sinC``cosB``]를 연역하기 위해서 사인법칙을 이용하여라.

2. 삼각형[eqn: ABC``]에서,   [eqn: a``(sinB``-``sinC)``+``b``(sinC``-sinA)``+``c``(sinA``-``sinB)``=``0``]이다.

3. 삼각형[eqn: ABC``]에서,  [eqn: (`ABC`)``=``abc`/`4R]

4. [eqn: p``]와 [eqn: q``]를 반지름으로 가지는 두 원이 점[eqn: A``]를 지날 때, 점[eqn: B``]와 점[eqn: C``]에서 [eqn: BC``]가 두 원에  접할 때, [eqn: pq``=``R^2``]이다.

1.2 체바의 정리

삼각형의 꼭지점과 대변의 임의의 점을 연결하는 선분을 “체비안” 이라고 부른다. 따라서 만약 X,Y,Z가 각각 변 BC,CA,AB 위의 점이라면  AX,BY,CZ 가 “체비안” 이다. 이 용어는 1678년에 다음의 매우 유용한 정리를 발표한 이태리 수학자 Giovanni Ceva 의 이름에서 기인한다.

정리 1.21 만약 삼각형 ABC의 각 꼭지점을 통과하는 세 개의 체비안 AX, BY, CZ 가  동일점에 모인다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]

(증명)우리가 직선이나 선분이 동일점에 모인다고 말하는 것은, 그 직선들이 모두 한 점, 즉 P를 지난다는 것이다.  체바의 정리를 증명하기 위하여는, 삼각형의 같은 높이를 가진 삼각형의 넓이는 삼각형의 밑변에 비례한다는 사실을 상기해야 한다.

1.2의 그림을 보면

[eqn: { BX} over {XC }= { (ABX)} over {(AXC) }= { (PBX)} over {(PXC) }= { (ABX)-(PBX)} over {(AXC)-(PXC) }= { (ABP)} over {(C`AP) }]

같은 방법으로,

[eqn: { CY} over {YA }= { (BCP)} over {(ABP) }]   ,  [eqn: { AZ} over { ZB}= { (C`AP)} over {(BCP) }]

이제 우리가 위의 식들을 곱하면 ,우리는 다음을 알 수 있다.

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }= { (ABP)} over { (C`AP)} { (BCP)} over {(ABP) } { (C`AP)} over {(BCP) } =1]

이 정리의 역도 성립한다.

정리 1.22 만약  세 개의 체비안 AX,BY,CZ 가 다음 식을 만족한다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1],

세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

(증명) 이것을 증명하기 위하여 먼저 두 개의 체비안이 점 P에서 만난다고 하자. 그리고 이 점P를 지나는 세 번째의 체비안이 [eqn: CZ ^{ '}]라고 하자. 그러면 정리 1.21에 의하여[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ ^{ '} } over {ZB ^{ '} }=1]   이고,   가정에 의하면   [eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]      이다.

따라서 , [eqn: { AZ ^{ '} } over { Z ^{ '}B }= { AZ} over {ZB }]

따라서, [eqn: Z^{ '}]는 [eqn: Z]와 일치하며 따라서,   AX, BY, CZ 는 한 점에서 만난다.

<연습문제>

1.만약 X,Y,Z 가 각변의 중점이라면, 세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

2. 대변에 수직인 체비안은 한 점에서 만난다.

3. [eqn: ABC] 와 [eqn: A^{ '}B ^{ '}C ^{ '}] 가 그림 1.2B에서 처럼 각각의 변이 평행하고 합동이 아닌 두 개의 삼각형이라 하면 [eqn: AA ^{ '},BB ^{' },CC ^{ '}]의 연장선은 한 점에서 만난다.( 그러한 삼각형을 homothetic 라고 한다. 우리는 4.7장에서 이에 관해 좀 더 살펴 볼 것이다.)

4.[eqn: AX]가 그림 1.2C에서 처럼 ,선분 [eqn: BC] 를 [eqn: BX=m,XC=n]로나누는 길이 [eqn: p]인 체비안 이라고 하면,       [eqn: a(p ^{ 2}+mn)=b ^{ 2}m+c ^{ 2}n]

<힌트>   [eqn: X]의 두 보각의 코사인값을 [eqn: △ABX] 과[eqn: △CAX] 의 변의 용어로 나타낸 값을 더한다. 이 결과는 Steart가 1746년에 이것을 서술한 후로  Steart 의 정리라 부른다. 그것은 아마 기원전 300년경에 아르키메데스에 의해 발견되었으나, 제일 처음 알려진 증명은 1751년에 R.Simson 에 의해서이다.

1.3 재미있는 점들

삼각형과 관련 있는 특별한 점이나 선들이 많이 있는데, 이것들 중 단지 몇 개에만 주의를 기울여 살펴보겠다. 그 중 외접원의 중심이 되는 한 점에 대해서는 이미 살펴보았다. 이 점을 삼각형의 외심(circumcenter)이라 하고, 그 원을 삼각형의 외접원(circumcircle)이라 한다.

외심 O는 삼각형의 세 변의 수직 이등분선의 교점이다(그림 1.3A 참조). 원의 반지름을 R이라 표시했다.

그림 1.3A

삼각형의 꼭지점과 그 대변의 중점을 연결한 cevians를 중선(median)이라 한다. 그림 1.3B에서 선분 [eqn: AA prime ,``BB`` prime ,``CC`` prime]은 중선들이고, 따라서, [eqn: BA prime =A prime C,``CB`` prime =B`` prime A,``AC`` prime =C`` prime B]이다.

정리 1.21에 따르면, 중선들은 한 점에서 만난다. 그 교점 G를 삼각형의 중심(centroid)라 한다. 균일한 밀도의 재료를 잘라서 삼각형을 만들어 중선의 교점인 이 점에서 실로 매단다면 그 삼각형은 평형을 이룰 것이다. 중심은 다른 말로 삼각형의 “무게중심(center of gravity)”이라 한다.

그림 1.3B를 다시 보면, 밑변의 길이와 높이가 각각 같기 때문에 [eqn: △GBA prime =△GA prime C]이라는 사실을 알 수 있다. 그러므로, 그 두 삼각형의 넓이를 같은 기호 [eqn: x]라 나타낸다. 같은 이유로, [eqn: △GCB`` prime =△GB`` prime A,```△GAC`` prime =△GC`` prime B]이고, 이 넓이들을 아래와 같이 기호 [eqn: y,``z]로 표시한다. 그런데, [eqn: △CAC`` prime =△CC`` prime B]이므로, [eqn: 2y+z = z+2x]이고, 그러므로, [eqn: x=y]이다. 같은 방법으로 [eqn: △ABA' = △AA'C]이고, 그러므로, [eqn: y=z]이다. 따라서, [eqn: x=y=z]임을 증명하였다. 즉,

정리 1.31. 삼각형은 중선들에 의해 같은 넓이를 가진 여섯 개의 더 작은 삼각형으로 나누어진다.

그림 1.3B

그림 1.3B를 좀 더 살펴보면, [eqn: △GAB = 2△GBA']임을 알 수 있다. 이 삼각형들은 같은 높이를 가지기 때문에 [eqn: AG=2GA']임을 알 수 있다. 같은 이유로, [eqn: BG=2GB`` prime ,`CG=2GC`` prime]임을 알 수 있다.

정리 1.32. 삼각형의 중선은 서로를 2:1의 비로 나눈다. 다시 말하면, 삼각형의 중선은 서로를 “삼등분”한다.

그림 1.3C

변 [eqn: BC,```CA,```AB]에 수직인 cevians [eqn: AD,``BE,``CF] (그림 1.3C)들은 각각 [eqn: △ABC]의 높이라고 한다. 1.2절의 연습문제 2에서 보았듯이, 체바의 정리의 역은 그것들이 한 점에서 만난다는 것을 보여준다. 그 교점 H를 수심(orthocenter)이라 한다.

이 용어의 역사에 대해서는 J.Satterly, Mathematical Gazette 45(1962), p51 을 보아라.

점 [eqn: D,``E,``F] 각각은 자연스럽게 수선의 발이라고 한다. 그 점들을 이어서 [eqn: △ABC]의 수심삼각형(the orthic triangle) [eqn: △DEF]를 얻는다.

그림 1.3D

또 하나의 중요한 cevians은 세 개의 내각의 이등분선이다.

그림 1.3D는 한 내각의 이등분선 [eqn: AL]을 보여준다. 두 삼각형[eqn: ABL]과 [eqn: ALC]에 정리 1.11을 적용하면(보충하자면, 꼭지점 L에서의 두 각은 같은 sin값을 가진다), 다음과 같은 사실을 얻는다.

[eqn: {BL} over {sin {1} over {2} A} `=` {c} over {sin`L}],       [eqn: {LC} over {sin {1} over {2} A} `=` {b} over {sin`L}],

따라서,

[eqn: {BL} over {LC} = {c} over {b}].

내각 [eqn: B]와 [eqn: C]의 이등분선에 대해서도 비슷한 결론을 이끌어낼 수 있으므로, 이제 우리는 다음 정리를 증명했다:

정리 1.33. 삼각형의 내각의 이등분선은 대변을  인접한 변의 길이에 비례하는 길이의 두 선분으로 나눈다.

[eqn: AL]위의 어떤 점이라도(그림 1.3D) [eqn: CA]와 [eqn: AB]에서 이르는 거리가 같다.

비슷하게, 내각 [eqn: B]의 이등분선위의 어떤 점이라도 [eqn: AB]와 [eqn: BC]에서 이르는 거리가 같다. 그러므로, 이 두 개의 이등분선이 만나는 점 [eqn: I]는 세 변으로부터 이르는 거리가 [eqn: r]로 같다:

정리 1.34. 삼각형의 세 각의 안쪽 이등분선들은 한 점에서 만난다.

그림 1.3E

중심이 [eqn: I]이고 반지름이 [eqn: r](그림 1.3E)인 원은 세 변을 접선으로 하고, 따라서 내접원(the inscribed) 또는 incircle(내접원)이다. 그 점 [eqn: I]를 내심(incenter)이라 하고 [eqn: r]을 내접원의 반지름(inradius)라고 한다.

연습문제

1. 둔각 삼각형의 외심과 수심은 삼각형의 외부에 있다.

2. 한 삼각형이 주어졌을 때, 그 삼각형의 중선들과 같은 길이를 가지는 변들로 이루어진 삼각형의 넓이에 대한 주어진 삼각형의 넓이의 비를 구하여라.

3. 두 중선의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

4. 두 높이의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

5. 정리 1.22와 1.33을 이용해서 정리 1.34.를 또 다른 방법으로 증명하여라.

6. 중선 [eqn: AA'](그림 1.3B)의 길이를 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 나타내어라.

힌트 : Stewart의 정리를 이용하여라(Section 1.2의 연습문제 4)

7. 각의 이등분선 AL의 길이의 제곱(그림 1.3D)은 [eqn: bc[1-( {a} over {b+c} ) ^{2} ]]이다.

8. 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형에서 직각인 내각의 이등분선의 길이를 구하여라.

9. 삼각형의 두 변의 길이의 곱은 외접원의 지름과 나머지 한 변에 내린 수선의 길이의 곱과 같다.

1.4  내접원과 방심원

그림 1.4A는 점 [eqn: X, &Y, &Z] 에서 변 [eqn: BC, &CA,&AB] 에 접하는 내접원을 나타낸다. 외부의 점에서 원으로의 두 접선의 길이는 같기 때문에, [eqn: AY=AZ,& BZ=BX,&CX=CY] 임을 알 수 있다. 접선의 길이를 [eqn: x,&y,&z] 라 하면,

[eqn: y+z=a,]  [eqn: z+x=b,]   [eqn: x+y=c].

이 방정식들을 모두 더하고 [eqn: Euler]의 labor-saving abbreviation [eqn: s] (semiperimeter)를 이용하여, 다음의 식

[eqn: 2x+2y+2z=a+b+c=2s] 이고,

[eqn: x+y+z=s]를 얻고, 다음의 정리 1.41 을 얻는다.

정리 1.41  [eqn: x=s-a,]   [eqn: y=s-b,]   [eqn: z=s-c].

삼각형 [eqn: IBC] 는 밑변이 [eqn: a]이고 높이가 [eqn: r] 이므로, 넓이는 ([eqn: IBC])=[eqn: 1over2 ar]. 마찬가지로 ([eqn: ICA])=[eqn: 1OVER2 br], ([eqn: IAB])=[eqn: 1over2 cr]. 이때, [eqn: 1over2 (a+b+c)r=sr].

정리 1.42 ([eqn: ABC])=[eqn: sr].

그림 1.4B 는 삼각형 [eqn: I_a I_b I_c] 의 각 변이 각 [eqn: A,&B,&C] 의 외각의 이등분선이 됨을 보여주고 있다. [eqn: ANGLE B]의 외각의 이등분선인 [eqn: I_c I_a] 위의 임의의 점들은 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: BC] 로부터 같은 거리에 있다. 마찬가지로 [eqn: I_a I_b] 위의 임의의 점들도 직선 [eqn: BC]와 직선 [eqn: CA]로부터 같은 거리에 있다. 그러므로 이 두 외각의 이등분선의 교점 [eqn: I_a] 는 세 변으로부터 같은 거리 [eqn: r_a] 만큼 떨어져 있다. 점 [eqn: I_a]는 직선 [eqn: AB]와 [eqn: AC] 로부터 같은 거리에 있기 때문에, 이 직선들로부터 거리가 같은 점들의 위치에 놓여있어야 한다. 즉, 점 [eqn: I_a] 는 [eqn: ANGLEA]의 내각의 이등분선인 직선 [eqn: AI] 위에 놓여있어야 한다.

정리 1.43 삼각형의 임의의 두 외각의 이등분선과 나머지 한 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

세변(또는 그 연장선)에 접하고, 중심이 [eqn: I_a] 이고 반지름이 [eqn: r_a] 인 원은  세 개의 방심원 중의 하나이다. 우리는 그들의 중심 [eqn: I_a], [eqn: I_b], [eqn: I_c] 를 [eqn: excenter](방심)이라 하고 그들의 반지름을 [eqn: r_a], [eqn: r_b], [eqn: r_c] 를 [eqn: exradii] 라고 한다. 각각의 방심원은 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접한다. 세 변에 접하는 내접원과 세 개의 방심원은 때때로 삼각형의 네 개의 [eqn: tritangent] 원들이라 불린다.

그림 1.4B에서 접점들을 표시함으로써, 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같기 때문에 다음을 알 수 있다.

[eqn: BX_b = BZ_b]

이고

[eqn: BX_b + BZ_b = BC + CX_b + Z_b A + AB]

[eqn: =BC+ CY_b + Y_b A+AB=a+b+c=2s].

그래서 점 [eqn: B] ( 또는 다른 꼭지점) 으로부터 대변 쪽에 있는 방심원에 그은 접선의 길이는 [eqn: s]이다. 실제로,

[eqn: AY_a = AZ_a = BZ_b = BX_b = CX_c =CY_c = s].

또한, [eqn: CX_b = BX_b - BC =s -a] 이기 때문에,

[eqn: BX_c = BZ_c = CX_b = CY_b = s-a],

[eqn: CY_a = CX_a = AY_c = AZ_c =s-b],

[eqn: AZ_b = AY_b = BZ_a = BX_a = s-c].

연습문제

1. 중심이 [eqn: A, & B, &C] 이고 서로 서로 외접하는 세 원들의 반지름은 각각 [eqn: s-a], [eqn: s-b], [eqn: s-c] 이다.

2. 만약 [eqn: s], [eqn: r], [eqn: R] ([eqn: s= a+b+c over 2] , [eqn: r:] 내접원의 반지름, [eqn: R`:] 외접원의 반지름) 에 대하여, [eqn: abc=4srR].

3.  세비앙(cevians) [eqn: AX,&BY,&CZ] (그림 1.4A)는 한 점에서 만난다. (그들의 교점을 [eqn: TRIANGLE `ABC] 의 Gergonne point 라고 한다.)

4. [eqn: TRIANGLE `ABC] 는 [eqn: TRIANGLE I_a I_b I_c] 의  orthic 삼각형이다. (그림 1.4B)

5. ([eqn: ABC])[eqn: = (s-a)r_a =(s-b) r_b = (s-c) r_c]. (그림 1.4B)

6. [eqn: 1 over r_a + 1 over r_b + 1over r_c = 1 over r].

1.5  The Steiner-Lehmus theorem

우연히 마주친 누구에게나 특별한 매력을 발휘하는 것처럼 보이는 여러 개의 기하문제들이 있다. 이것은 오랜 옛날부터 기하학의 특성처럼 보인다. 누군가는 고대의 세 가지 유명한 문제 - 정육면체의 배적, 임의 각의 삼등분, 원과 넓이가 같은 정사각형-를 떠올릴 것이다. 이러한 문제를 해결하기위한 시도들은 수학에서 많은 새로운 분야들의 발전을 이끌어내었다. 바로 지금도, 이 문제들의 해법을 보내는 수학자들과 그들의 오류를 증명하려는 독자들이 있다.

언제나 흥미를 불러일으키는 한 정리가 다음과 같이 쓰여져있다:

정리 1.51  두 각의 이등분선(꼭지점으로부터 대변까지 측정된)의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

1840년, 이 정리는 C.L.Lehmus가 C.Sturm에게 편지를 보내 이론적인 기하 증명을 부탁했다. Sturm은 그 것을 여러 수학자들에게 언급했다. 이 도전에 처음으로 대답한 이는 위대한 스위스 기하학자 Jacob Steiner 였고, 그것은 Steiner-Lehmus의 정리로 알려졌다. 이 연구결과는 1842년, 1844년, 1848년, 1854년부터 1864년까지 거의 매년, 그리고 다음 백년동안 정기적으로 여러번 다양한 잡지에 출판되었다.

가장 간단한 증명 중의 하나는 다음 두 보조정리를 사용하여 증명되었다.

보조정리 1.511. 한 원 위의 두 현이 원 위의 한 점에 크기가 다른 예각을 대하고 있으면, 크기가 작은 각이 더 짧은 현에 속해있다.

증명. 두 개의 (길이가) 같은 현은 중심에서 (크기가) 같은 각에 대하고, (중심에서 크기가) 동일한 각은 원주 위의 적당한 점에서 (큰 각의 절반이 되는) 같은 각을 대한다. 두 개의 크기가 다른 현에서, 크기가 짧을수록, 중심에서부터 더 멀리 있고, 대각의 크기가 더 작고 당연하게 원주 위에서 더 작은 예각을 대한다.

보조정리 1.512. 서로 다른 두 각을 가진 삼각형이면, 각이 작을수록 내부의 이등분선의 길이가 더 길다.

증명.  [eqn: ABC`]를 삼각형이라고 하자. 그림 1.5A†와 같이 [eqn: B PREC C```]이다. [eqn: BM``]과 [eqn: CN``]을 각[eqn: B``]와 [eqn: C``]의 이등분선이라 하자. 우리는 [eqn: BM`` SUCC CN``]임을 증명하고자 한다. [eqn: ANGLE M``'CN= {1} over {2} B``]인 [eqn: M`'``]를 [eqn: BM``]위에 두자. 이것은 [eqn: ANGLE M`'BN``]과 같아서, 네 점 [eqn: N``,````B``,````C``,```M`'``]은 한 원 위에 있다.

[eqn: B```` PREC {1} over {2} (B+C)``` PREC {1} over {2} (A``+`B```+`C``)``]

[eqn: ANGLE CBN``` PREC ANGLE M` prime CB``` PREC 90°`]

보조정리 1.511에 의하여, [eqn: CN``` PREC M`` prime B``].  그러므로 [eqn: BM```` SUCC BM``'`` SUCC CN`].

정리 1.51의 증명. 어떤 정리가 동치인 “대우명제” 형태로 표현되는 것은 자주 있는 일이다. 이를테면, 모든 사람은 죽을 수 밖에 없는 운명이다 라고 말하는 대신에 영원한 것은 인간이 아니다. 라고 할 수 있다. 정리 1.51을 증명하는 대신, [eqn: TRIANGLE ABC```]에서, [eqn: B`` != C``], 이면 [eqn: BM`` != CN``]  임을 증명하면 충분할 것이다. 하지만, 이것은 보조정리 1.512의 당연한 결과이다.

아치볼드 핸더슨(Archibald Henderson)은 버나드 쇼(Bernard Shaw)의 많은 일대기 중의 하나를 썼고, 3차 평면 위의 27개의 선(The twenty-seven lines upon the cubic surface) 라는 논문도 썼다.

그의 글, Lehmus-Steiner-Terqem 문제에 대한 포괄적 조망 The Lehmus-Steiner-Terquem problem in global survey(Scripta Mathematica, 21, 1955, pp. 223-232, 309-312)에서 그는 증명의 유사성을 Lehmus 자신에게 있다고 생각했다. 대우명제로 그 정리를 대체하는 발상은 필연적으로 정확하게 위와 같이 보조정리 1.512를 추론하여 증명한 Victor Thebault (Mathesis, 44, 1930, p.97)의 글에서 나타났다.

핸더슨은 Lehmus의 증명과 Steiner에 의한 초기의 증명에 대해서는 그것들이 직접증명이 아니기 때문에, 다소 불운했던 것처럼 보여진다.  그는 [eqn: B``` != C```]인 상황을 고려하지 않고, [eqn: BM```=`CN``]이라고 생각하기를 더 선호했다. 알려진 증명들 중의 대다수[e.g. 5, p.73]가 마찬가지로 간접증명이다. 이른바 몇몇 직접증명들[e.g. 6, Answers to the Exercises, p. 2]이 제안되어졌다 ; 하지만 외면상 직접증명인 그것들은 실제로 간접증명이다. 이런 경우를 생각보자. 실제 문제로서 완벽하게 증명되는 아주 기본이 되는 정리를 떠올려보자. 그 밖의 여러 가지 것들은 이미 알고있는 다른 정리(: 곧바로 공리로 가고 있는 모든 정리의 고리)들의 도움으로 증명된다. 이 도움정리들의 어느 하나라도 간접증명이 있다면 당연히 직접증명이라고 주장할 수 없다. 그렇다면, 간접증명이 된 아주 간단하고 기본적인 정리 중의 몇 개; 그 결과로서, 우리가 직접적으로 완결지었다고 주장한다면,  우리의 정리의 축적은 하찮기짝이 없는 것으로 몰락하게 될 것이다. 관찰이 비통함의 원인인가? 위대한 영국의 수학자 G. H. Hardy [15, p. 34]의 말이다.  :“유클리드가 그토록 사랑한 , 귀류법은 수학자의 가장 좋은 무기이다. 그것은 어떤 체스의 수보다 더 멀고 멋진 수이다. : 체스선수는 졸이나 심지어 한 구역을 희생물로 시도하기도 하지만, 그러나 수학자들은 게임을 시도한다.”

연습문제

1.  [eqn: B```=`12 DEG]이고 [eqn: C```=132 DEG `]인 삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: BM``]과 [eqn: CN``]을 서로 맞은 편에서 끝나는외각의 이등분선이라 하자. 삼각함수를 쓰지 않고 각의 이등분선의 길이를 비교하여라.

2.  만약 우리가 Bottema의 삼각형([eqn: B`` PREC C``])임을 부정할 수 있는 사람은 없다는 에 적용하려고 시도한다면 정리 1.51이 성립하지 않는 부분은 어디인가?

3. 1.3단원의 연습문제 7을 이용하여 Steinet-Lehmus 정리를 직접증명법으로 증명하여라.

1.6 The orthic triangle

그림 1.6A는 예각삼각형ABC, 그것의 외심 O, 수심H, 그리고 orthic triangle DEF에 관해 많은 것을 알려준다.

설명을 위해 와 크기가 같은 몇 개의 각들을 라 두자. 먼저 는 그림 1.1A에서 삼각형 JBC와 유사하고 이다. 삼각형 OBC는 두 밑각이 인 이등변삼각형이다. 두 직각삼각형 ABE와 ACF에서 와 는 같은 값을 가진다.

그리고 나머지 두 각의 동등은 다음과 같은 사실에 의해 알 수 있다. 와 가 직각이므로 사각형BCEF는 원에 내접한다. 사각형 BDHF와 CEHD도 같은 이유로 원에 내접하므로

이다.

따라서 HD는 를 이등분한다.

유사한 방법으로 는 를, 는 를 이등분한다.

이로 인해 알 수 있는 재미있는 결과는 삼각형의 수선은 orthic triangle의 세 각을 각각 이등분한다. 그러면 다음과 같은 정리로 표현할 수 있다.

정리1.61

예각삼각형의 수심은 그것의 orthic triangle의 내심이다.

그리고 그림 1.6A로부터  라는 것을 알 수 있다. 는 에 수직이므로 는 에 수직이다. 유사한 방법으로 는 에 는 에 수직이다.

연습문제

1. (그림1.6A)

2. 각A가 둔각인 그림 1.6A를 다시 그리면 결론은 어떻게 변화는가?

3. 둔각삼각형의 수심은 그것의 orthic triangle의 방심이다.

4.

1.7 Medial triangle 과 Euler line

주어진 삼각형의 세변의 중점을 이어서 만든 삼각형을 medial triangle 이라고 한다. 그림 1.7A의 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 medial triangle 이다. 우리는 [eqn: G]에서 만나는 두 중선 [eqn: AA ^{ prime }]와 [eqn: BB ^{ prime }]를 살펴볼 것이며, [eqn: TRIANGLEABC] 의 두 수선의 교점을 [eqn: H], [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 두 수선의 교점을 [eqn: O]라고 하자. 이 그림의 점검으로 얼마나 많은 것을 찾을 수 있는지는 놀랄만한 일이다.

그림 1.7A

우선, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 세 변은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 세 변과 평행하므로 이 두 삼각형은 닮음이다. [eqn: C^{ prime } B ^{ prime } = {1} over {2}BC] 이고 어떤 두 대응하는 선분(단순히 대응하는 변 뿐만 아니라) 사이의 닮음비가 [eqn: 1:2] 가 될 것이다. 실제로, 선분 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }], [eqn: C^{ prime }A ^{ prime }], [eqn: A^{ prime } B ^{ prime }] 는 [eqn: TRIANGLEABC] 를 합동인 네 삼각형으로 나눈다.

사각형 [eqn: AC ^{ prime } A ^{ prime } B ^{ prime }]는 평행사변형이고, [eqn: AA ^{ prime }]는 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]를 이등분한다. 따라서, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 중선은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 중선에 놓이게 되고, 이는 두 삼각형의 무게중심은 [eqn: G]로 같음을 의미한다. 우연히도, [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }] 의 중점 [eqn: P] 는 [eqn: A A ^{ prime }] 의 중점이기도 하다.

이제, [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 수선은 [eqn: TRIANGLEABC] 의 변 [eqn: AB]와 [eqn: BC] 의 수직이등분선이다. [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }] 의 수심 [eqn: O] 는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 외심과 같다고 결론지을 수 있다.

[eqn: O] 가 닮음인 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 수심일때 [eqn: H]는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 수심이므로, [eqn: AH=2OA ^{ prime }]이다. 정리1.32 으로부터 [eqn: AG=2GA ^{ prime }]이다. 마지막으로, [eqn: AD] 와 [eqn: OA ^{ prime }] 둘 다 변 [eqn: BC] 에 수직이므로, 서로 평행이다. 따라서, [eqn: ANGLE HAG= ANGLE OA ^{prime } G] , [eqn: TRIANGLE HAG SIM TRIANGLE OA ^{ prime } G], [eqn: ANGLEAGH= ANGLEA ^{ prime }GO]. 이는 [eqn: O] ,[eqn: G], [eqn: H] 가 공선점이고, [eqn: HG=2GO] 임을 나타낸다.

정리 1.71

임의의 삼각형의 수심, 무게중심, 외심은 공선점이다. 무게중심은 수심과 외심의 거리를 [eqn: 2:1]로 나눈다.

이 세 점이 놓인 선을 삼각형의 Euler line 이라고 부른다.

그림 1.7A 를 더 자세히 공부해보자. Euler line [eqn: HO] 와 [eqn: P]를 지나고 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]에 수직인 선과의 교점을 [eqn: N] 이라고 하자. [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }] 에 모두 수직인 세 선 [eqn: AH], [eqn: PN], [eqn: A^{ prime }O] 는 평행이다. [eqn: AP=PA ^{ prime }] 이므로 이들 세 선은 일정한 간격을 이룬다 ([eqn: PN] 은 [eqn: AH] 와 [eqn: A^{ prime }O] 의 중간에 있다) 따라서, [eqn: N] 은 선분 [eqn: HO] 의 중점이다.

우리는 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 변 [eqn: B^{ prime } C ^{ prime }]에 대한 토의를 수행하였다. 같은 논리로 새로운 변에 적용시킨다면, 고정된 선분 [eqn: HO] 는 이 새로운 변의 수직이등분선에 의해 이등분된다. [eqn: HO] 는 유일한 중점을 가지므로 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 세 변의 수직이등분선은 [eqn: N] 을 지난다고 할 수 있다. 다시 말해, [eqn: N] 은 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime }B ^{ prime }C ^{ prime }]의 외심이다.

요약하면, medial triangle 의 외심은 원래의 삼각형의 Euler line [eqn: HO] 의 중점에 놓이게 된다. 또한 [eqn: TRIANGLE A ^{ prime } B ^{ prime } C ^{ prime } SIM TRIANGLE ABC] 이므로 medial triangle의 외접원의 반지름은 원래의 삼각형의 외접원의 반지름의 반이다.

Euler란 이름은 매우 빈번하게 등장하며 또한 몇 몇의 그의 법칙이 담겨져 있는 수학의 여러 분야들에서 찾아 볼 수 있다. Leonhard Euler는 1707년 스위스의 Basel에서 태어났다. Euler는 1727년 러시아의 St. Petersburg Academy에 임용되었으며, 이후 1741년에 Prussian Academy의 수학부장의 자리로 옮기기 위해 베를린으로 떠났다. 이후 그는 1766년에 St. Petersburg Academy에 돌아와 1783년 사망하기 전까지 그 곳에 머물렀다.

그는 매우 위대한 수학자로 그의 업적은 수학의 각 분야에 큰 기여를 하였다. 어느 분야에서든 Euler의 이론, Euler의 공식, 또는 Euler의 방법들을 쉽게 찾아 볼 수 있다. Euler는 그의 생애동안 473편이나 되는 논문들을 발표하였고, 또한 그의 사후에 200편의 논문이 발간되었으며 아직 미발간 된 논문들도 61편이나 된다. 더욱이 그는 이 모든 작업들을 1735년에 한쪽 시력을 잃고, 이후 1766년에 나머지 한쪽의 시력마저 잃는 힘든 상황 속에서 해냈다. 그의 처리의 기술은 놀랄만한 것이었으며, 또한 수학에 관한 그의 직관적 통찰은 너무도 위대하였다. 우리는 우리의 작업 속에서 그의 이름을 계속해서 만나게 될 것이다.

연습문제

1. 그림 1.7A 를 그림 1.1A 대신에 그림 1.1B 로 한 것처럼 새로 그림으로써 [eqn: TRIANGLEABC] 가 둔각삼각형일때에 정리 1.71의 증명이 타당함을 증명하여라.

2. [eqn: OH ^{ 2}=9R ^{ 2}-a^{2}-b ^{ 2}-c ^{ 2}]

3. [eqn: DA prime={ |b ^{ 2}-c ^{ 2} | }over {2a }]

4. 만약, [eqn: TRIANGLEABC] 가 [eqn: TRIANGLEABC] 의 Euler line과 변 [eqn: BC] 와 평행한 특수한 성질을 가진다면  [eqn: tanB~tanC=3] 이다.

§1.8 The nine-point circle (구점원)

〔정리1.81〕세 높이의 수선의 발, 각 변의 중점, 그리고 세 꼭지점과 수선을 연결한 선분의 세 중점은 모두 같은 원위에 놓여있다.(이때 이 원의 반지름은 이다.)

증명> 문제를 쉽게 하기 위해서 그림 1.7A에서 몇 개의 선을 지우고, 몇 가지를 첨가하여 그림 1.8A와 같은 그림을 얻자. 이 그림에서 무었을 얻을 수 있는 보자. 삼각형의 세 높이위의 선분 , , 의 중점을 각각 ,,이라고 하자. 변 가 두 삼각형 와 의 공통변이므로, 두 변 와  은 변  평행한다.(그리고 길이는 절반이다.) 비슷하게 변 가 두 삼각형 와 의 공통변이므로 두 변 과 은 에 평행한다.(그리고 길이는 절반이다.) 따라서 은 평행사변형이다. 변 와 가 직교하므로, 이 평행사변형은 직사각형이다. 비슷하게 은 직사각형이다.(물론 도 직사각형이다.) 따라서 변 , , 은 그림 1.8B와 같이 원의 세 지름이 된다.

이 직각이므로, 이 원(가 지름인)은 점 를 통과한다. 비슷하게 와 도 지난다.

〔정리1.82〕nine-point 원의 줌심은 Euler line에 놓여 있고, (삼각형의) 수심과 방심의 중점이다.

증명>  J.V.Poncelet에 따르면 우리는 이 원을 삼각형의 “nine-point 원”이라 부른다. 세 점 , , 은 정확히 ,, 의 반대편에 있기 때문에, 삼각형  나 중에 하나를 half-turn(180°회전)하여 다른 한 개로 옮길 수 있다. 분명히, 이 두 합동 삼각형을 서로 교환하는 half-turn(180°회전)은 수심 와 외심를 교환한다. 따라서 nine-point 원의 중심은 선분 의 중점이다.

(우리가 이미  nine-point center의 역할을 하기 위해 이라고 표기한 점)

이 두 정리의 역사는 다소 혼돈스럽다. B.Bevan이 1804년 English저널에 소개한 문제는 그 당시에는 이미 알고 있다고 생각했다. 그 당시의 사람들은 때때로 실수로 “수심 삼각형과 중심 l삼각형은 같은 외심을 가진다.”를 일찍이 1765년에 증명한 사람이 Euler이라고 여겼다. 실은 대륙의(북미대륙쪽) 학자들은 종종 그 원을 “Euler 원”이라 부르기도 한다. 처음으로 완결한 증명은 1821년 출판된 Poncelet에 나타나있다. K.Feuerbach가 Euler의 불완전한 결과를 뒤늦게 재발견했고, 그 이상의 정리을 첨가하였다. 이 정리은 놀랄만큼 뛰어나서 현재까지도 많은 학자들이 nine-point 원을 “Feuerbach 원”이라 부르게 할 정도이다. Feuerbach의 정리(5.6절에서 증명하게 될)는 “nine-point 원은 모든 네 개의 tritangent원과 접한다.”이다.

1.9  수족삼각형

수심삼각형과  중점삼각형은 연관된 삼각형의 더 일반적인 형태의 2가지 경우이다. 점 P를 [eqn: triangle`ABC] 의 내부의 임의의 점이라 하자.

그리고 그림 1.9A처럼 BC, CA, CB 위에 수선 [eqn: PA _{1,][eqn: PB_1,][eqn: PC_1]을 내리자.

이러한 수선의 발은 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]의 꼭지점들이다. [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]은 수족점 P로부터 얻어진

[eqn: triangle`ABC]의 수족삼각형이다. P가 [eqn: triangle`ABC]의 외접원에 놓여 있을 수 없으므로(이유는 2.5에서 설명할 것이다.) P는 [eqn: triangle`ABC]의 내부에 있다고 제한할 수 있다. 명료하게 수심삼각형 또는 중점삼각형은 P가 각각 수심 또는 외심일 때 생겨난다.

더 엄밀히 그림 1.9A를 검토해보자. 점 [eqn: B_1] 과 [eqn: C_1]은 AP를 지름으로 하는 원 위의

점들이다. 다시 말해서 P는 [eqn: TRIANGLE AB_1 C_1]의 외접원 위의 점이다. sin법칙을 적용하면

[eqn: TRIANGLE AB_1 C_1]과 [eqn: triangle`ABC]에 우리는 다음과 같은 사실을 얻을 수 있다.

[eqn: {B_1 C_1 }over{sinA} = AP…①],   [eqn: {a }over{sinA} = 2R…②]

①, ②에 의해서                    [eqn: B_1 C_1 = a {AP} over 2R]

마찬가지 방법으로

[eqn: C_1 A_1 = b {BP} over 2R] , [eqn: A_1 B_1 = c {CP} over 2R]

Thm 1.91 만약 수족점이 [eqn: triangle`ABC]의 꼭지점으로부터 [eqn: x, y,z] 거리만큼 떨어져 있다면 수족삼각형의 변은 [eqn: ax over 2R] , [eqn: by over 2R] , [eqn: cz over 2R] 이다.

[eqn: x=y=z=R] 인 경우에도 성립.

수족삼각형이 수족삼각형을 포함하고 있는 흥미진진한 연습문제는 기하에서의 상상력을 키워줄 수 있는 즐거운 예제일 것이다. 그러한 연습문제는  John Casey's가 쓴 유클리드 원론 제 6권의 속편의 6번째 편집자 J. Neuberg에 의해서 처음으로 제기되었다. 그림 1.9B에서 내부의 점  P는 [eqn: triangle`ABC]의 첫 번째 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]을 결정한다. 같은 수족점 P는 다시 [eqn: TRIANGLEA_1 B_1 C_1]의 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_2 B_2 C_2]를 결정한다. 그것을 자연스럽게 [eqn: triangle`ABC]의 두 번째 수족삼각형이라 한다. 마찬가지 방법으로 [eqn: TRIANGLEA_2 B_2 C_2]의 수족삼각형 [eqn: TRIANGLEA_3 B_3 C_3]을 얻을 수 있다. 세 번째 수족삼각형 또한 똑같은 수족점 P를 사용하였다. Neuberg의 발견은 다음과 같이 표현할 수 있다.

Thm 1.92 세 번째 수족삼각형은 처음 삼각형과 닮음이다.

증명은 놀랍게도 간단하다. P와 A를 이어보자. P는 모든 삼각형 [eqn: AB_1 C_1], [eqn: A_2 B_1 C_2],[eqn: A_3 B_3 C_2], [eqn: A_2 B_2 C_1], [eqn: A_3 B_2 C_3]의 외접원 위에 있으므로

[eqn: angle C_1 AP] = [eqn: angle C_1 B_1 P] = [eqn: angle A_2 B_1 P] =[eqn: angle A_2 C_2 P]

= [eqn: angle B_3 C_2 P] = [eqn: angle B_3 A_3 P]

그리고

[eqn: angle PAB_1] = [eqn: angle PC_1 B_1] = [eqn: angle PC_1 A_2] =[eqn: angle PB_2 A_2]

= [eqn: angle PB_2 C_3] = [eqn: angle PA_3 C_3].

다시 말하면, AP가 [eqn: angle A]를 두 부분으로 나눈다. 이러한 방식으로 [eqn: B_1]과 [eqn: C_1]도 두 부분으로 나뉘어지고 다시 [eqn: C_2]와 [eqn: B_2]도 두 부분으로 나뉘어지고 마침내 [eqn: A_3]도 두 부분으로 나쥐어진다. 따라서 [eqn: triangle`ABC]와 [eqn: TRIANGLEA_3 B_3 C_3]에서 [eqn: angle A = angle A_3]이다. 마찬가지 방법으로, [eqn: angle B = angle B_3]이다. 따라서 정리가 증명되었다.

연속된 수족선의 이러한 정리는 B. M. Stewart에 의새허 일반화되었다. 그는 n각형의 n번째 수족n각형이 처음 n각형과 닮음이라는 사실을 알아내었다. 그것은 사변형의 네 번째 수족 사변형을 알아내는데 도움이 된다.

이쯤에서 이 정리를 마무리하자. 잘 알려진 데이터를 가지고 시작함으로써 간단하지만 중요한 사실의 일부를 했다. 여기에 기술된 방법에 의해 해법을 적합하게 적용할 수 있는 많은 문제들이 있다. 그것들 중 어떤 것은 독자들이 전부터 보아왔던 잘 알려진 난제이다.

다음 연습문제 5개를 풀어보면서 이 장을 복습해보자.

연습문제

1. 등변삼각형 ABC의 체비안 AQ가 P에서의 외접원과 만날 수 있도록 연장하면,

그 때

[eqn: 1 over PB + 1 over PC = 1 over PQ].

2. 그림 1.9 C 처럼 □ABCD 안에 그려진 이등변 삼각형 PAB에서 변 AB의 양 끝각이 [eqn: 15DEG]일 때, 점 P, C, D는 등변삼각형의 꼭지점이다.

3. 그림 1.9 D 처럼 평행사변형 ABCD 밖에 있는 선 PB와 PD가 각각 BC와 DC와 이루는 각이 같다면,  [eqn: angle CPB] = [eqn: angle DPA]. (물론, 이것은 3차원이 아닌 평면도형이다.)

4. 삼각형 ABC는 B와 C가 모두 [eqn: 80DEG]인 이등변삼각형이다. 그림 1.9 E 처럼체비안선인 BD와 CE는 각각 B와 C를 [eqn: 60 DEG + 20 DEG]와 [eqn: 30 DEG + 50 DEG]로 나눈다.

5. 만약 등변삼각형의 한 정점을 지나는 두 선이 세 등각의 마주보는 변 외부에 그려진 반원을 나눈다면 이 두 선은 세 변도 나눈다.(?)