7.4  다항식의 성질들

정리 7.3  수 [eqn: beta]는 방정식 (7)의 해가 아니다; 즉, [eqn: f( beta ) != 0].

증명 만약 [eqn: beta]가 (7)의 근이라면 정리 7.2에 의해, [eqn: x- beta]가 [eqn: f(x)]의 인수이다. 곧,

[eqn: f(x)`=`(x- beta )`q(x)].

또한 정리 7.2에 의하면, [eqn: q(x)]는 유리 계수를 가지고 그것의 차수는 [eqn: f(x)]의 차수보다는 하나가 작다. 지금 [eqn: alpha]가 [eqn: f(x)=0]의 한 근이기 때문에,

[eqn: f( alpha )`=`( alpha - beta )q( alpha )=0].

그러나 이 곱은 인수들 중 적어도 하나가 [eqn: 0]일 때만 [eqn: 0]이 된다. [eqn: alpha]와 [eqn: beta]는 다르기 때문에 인수 [eqn: alpha - beta]는 [eqn: 0]이 아니다. 그래서 [eqn: q( alpha )=0]; 즉, [eqn: alpha]는 [eqn: q(x)=0]의 한 근이고, [eqn: q(x)]는 차수가 [eqn: n-1]이다. 만약 [eqn: q(x)]의 유리 계수의 모든 분모들의 곱을 [eqn: k]라 한다면, 곱 [eqn: kq(x)]는 정수 계수를 가지고 [eqn: alpha]는 [eqn: kq(x)=0]의 한 근이다. 이것은 [eqn: alpha]가 [eqn: n]보다 작은 차수의 어떤 정수 계수의 방정식도 만족시키지 않는다는 사실에 모순이다. [eqn: f( beta )=0]이라는 가정은 모순을 이끌어내므로, 우리는 [eqn: f( beta ) != 0]라는 결론을 얻는다.

다음에, 앞 절에서 제시한 개요에 따르면,  [eqn: vert f( alpha )-f( beta ) vert]가 매우 작은(7.2절을 보아라)[eqn: vert alpha - beta vert]와 크기가 유사하다는 것을 알게 될 것이다.

정리 7.4 [eqn: vert f( alpha )-f( beta ) vert <N( alpha - beta )]를 만족하는, 단지 [eqn: f(x)]의 계수와 차수에만 의  존적인 하나의 수 [eqn: N]이 존재한다.

증명. [eqn: N]을 다음 등식과 같이 정의하자.

(8)      [eqn: N=n vert c _{n} vert +(n-1) vert c _{n-1} vert +(n-2) vert c _{n-2} vert + LDOTS +2 vert c _{2} vert + vert c _{1} vert].

특히, [eqn: N]이 [eqn: beta]의 정의에서 사용된 정수 [eqn: j]와 독립적이라는 것을 관찰하라.

증명의 과정에서, 우리는 또 [eqn: alpha ^{k} - beta ^{k}]의 인수분해와 [eqn: alpha ^{k} - beta ^{k}]에 의해 만족되어지는 하나의 부등식을 필요로 한다. 그 인수분해는 [eqn: k]가 양의 정수일 때 다음과 같다.

(9)        [eqn: alpha ^{k} - beta ^{k} =( alpha - beta )( alpha ^{k-1} + alpha ^{k-2} beta + alpha ^{k-3} beta ^{2} + LDOTS + alpha ^{2} beta ^{k-3} + alpha beta ^{k-2} + beta ^{k-1} )].

이 인수분해는 (9)의 좌변을 전개해보면 명백해진다:

[eqn: alpha ( alpha ^{k-1} + alpha ^{k-2} beta + alpha ^{k-3} beta ^{2} + LDOTS + alpha ^{2} beta ^{k-3} + alpha beta ^{k-2} + beta ^{k-1} )]

[eqn: = alpha ^{k} + alpha ^{k-1} beta + LDOTS + alpha ^{2} beta ^{k-2} + alpha beta ^{k-1}]

이고

[eqn: beta ( alpha ^{k-1} + alpha ^{k-2} beta + alpha ^{k-3} beta ^{2} + LDOTS + alpha ^{2} beta ^{k-3} + alpha beta ^{k-2} + beta ^{k-1} )]

[eqn: = alpha ^{k-1} beta + alpha ^{k-2} beta ^{2} + LDOTS + alpha beta ^{k-1} + beta ^{k}].

두 방정식을 빼면, 첫 번째 방정식의 첫 항과 두 번째 방정식의 마지막 항을 제외하고 모든 항이 소거되고 [eqn: alpha ^{k} - beta ^{k}]만 남는다.

등식 (9)의 우변을 보면, [eqn: alpha ^{k-1,} & & alpha ^{k-2} beta] 등의 각각의 항이 부등식 (6)에 의하여 [eqn: 1]보다 작다는 것을 알 수 있다. 그러나 이러한 항들이 정확하게 [eqn: k]개 있고 [eqn: alpha - beta]가 양수이기 때문에,

(10)    [eqn: alpha ^{k} - beta ^{k} <( alpha - beta )(1+1+1+ LDOTS +1+1+1)=k( alpha - beta )].

지금 우리는 등식 (7)을 이용하여 [eqn: f( alpha )]와 [eqn: f( beta )]를 계산하고 [eqn: f( alpha )]에서 [eqn: f( beta )]를 빼면,

[eqn: f( alpha )-f( beta )=c _{n} ( alpha ^{n} - beta ^{n} )+c _{n-1} ( alpha ^{n-1} - beta ^{n-1} )+ LDOTS +c _{1} ( alpha - beta )].

다음, 우변의 모든 항으로부터 공통인수 [eqn: alpha - beta]를 묶어 내기 위해 등식 (9)를 이용한다. 그러면

[eqn: f( alpha )-f( beta )=( alpha - beta )[c _{n} ( alpha ^{n-1} + alpha ^{n-2} beta + LDOTS + alpha beta ^{n-2} + beta ^{n-1} )]

[eqn: +c _{n-1} ( alpha ^{n-2} + alpha ^{n-3} beta + LDOTS + alpha beta ^{n-3+} beta ^{n-2} )]

[eqn: + LDOTS +c _{1} ]].

절댓값을 씌우고 정리 7.1과 부등식 (10)을 이용하면,

[eqn: vert f( alpha )-f( beta ) vert <( alpha - beta )[n vert c _{n} vert +(n-1) vert c _{n-1} vert + LDOTS + vert c _{1} vert ]].

[eqn: vert alpha - beta vert = alpha - beta]임을 관찰하고 수 [eqn: N]에 대한 등식 (8)을 이용하면, 우리는 마침내 [eqn: vert f( alpha )-f( beta ) vert <N( alpha - beta )]을 얻게 되어 정리가 증명되어졌다.