7.3 증명의 계획

[eqn: alpha]가 초월수라는 것을 증명하기 위해, 우리는 명확하게 역을 가정하고 즉, [eqn: alpha]가 대수적 수라고 두고 모순을 이끌어낼 것이다. [eqn: alpha]가 대수적 수라는 가정은 [eqn: alpha]가 정수 계수의 어떤 대수방정식을 만족한다는 것을 의미한다. [eqn: alpha]에 의해 만족되는 정수 계수를 가지는 모든 대수 방정식들 중에서, 가장 낮은 차수를 갖는 하나를 선택하고

(7)             [eqn: c _{n} x ^{n} +c _{n-1} x ^{n-1} +c _{n-2} x ^{n-2} + LDOTS +c _{2} x ^{2} +c _{1} x+c _{0} =0]

이라 하자.

간결성을 위해 우리는 (7)의 좌변의 다항식을 [eqn: f(x)]라 하자. 이 다항식 [eqn: f(x)]는 이 장이 마칠 때까지 중요한 역할을 할 것이다. 명심해야 할 [eqn: f(x)]에 관한 기초 가정은 다음과 같다:

(1) 정수 계수들을 가진다;

(2) 수 [eqn: alpha]는 [eqn: f(x)=0]의 한 근이고, [eqn: f( alpha])=0.

[여기서 [eqn: f( alpha )]는 [eqn: f(x)]에서 [eqn: x]에 [eqn: alpha]를 대입함으로써 나오는 결과이다];

(3) 수 [eqn: alpha]는 정수 계수를 갖는 [eqn: n]보다 작은 차수의 어떤 방정식의 근도 아니다.

[eqn: f(x)]에서 [eqn: x]대신에 [eqn: beta]를 대입해서 얻어진 수 [eqn: f( beta )]는 해석학적으로 중요한 역할을 할 것이다.

증명의 아이디어는 이것이다. 우리는 두 가지 다른 방법으로 수 [eqn: f( alpha )-f( beta )] [ 또는 [eqn: f( alpha )=0]이기 때문에 똑같은 크기인 [eqn: -f( beta )] ]를 관찰할 것이다. [eqn: -f( beta )]를 관찰하는 하나의 방법은 정수 계수를 갖는 [eqn: beta]에 관한 다항식으로서이다. [eqn: beta]가 유리수이기 때문에, [eqn: -f( beta )]도 유리수이고, 그것의 절댓값이 상대적으로 크다는 것을 안다.  [eqn: f( alpha )-f( beta )]를 관찰하는 다른 방법은 두 개의 다항식의 차로서이다. 이 차는 상대적으로 작은[방정식 (5)를 보아라] [eqn: alpha - beta]와 유사한 크기를 가진다는 것을 다음 절에서 알아 볼 것이다. 그래서, [eqn: alpha]가 대수적 수라는 가정으로부터 [eqn: f( alpha )-f( beta )]에 대해 두 개의 상반되는 크기의 계수들을 이끌어서 모순을 보일 것이다.

다음 절에서 우리는 [eqn: f( beta )]가 [eqn: 0]이 아니고 [eqn: f( alpha )-f( beta )]가 [eqn: alpha - beta]와 크기가 유사하다는 것을 보여줌으로써 이 방법을 준비할 것이다.

문제 셋 28

1. 다음 등식이 성립함을 증명하라.

(a) [eqn: alpha ^{4} - beta ^{4} =( alpha - beta )( alpha ^{3} + alpha ^{2} beta + alpha beta ^{2} + beta ^{3} )];

(b) [eqn: alpha ^{5} - beta ^{5} =( alpha - beta )( alpha ^{4} + alpha ^{3} beta + alpha ^{2} beta ^{2} + alpha beta ^{3} + beta ^{4} )];

(c) [eqn: alpha ^{6} - beta ^{6} =( alpha - beta )( alpha ^{5} + alpha ^{4} beta + alpha ^{3} beta ^{2} + alpha ^{2} beta ^{3} + alpha beta ^{4} + beta ^{5} )].

2. [eqn: alpha ^{7} - beta ^{7}]dl [eqn: alpha - beta]와 차수가 [eqn: 6]인 다항식의 곱으로 표현된 등식을 적어보시오.

3. 대수적인 수가 정수 계수의 무수히 많은 대수 방정식의 한 근임을 증명하여라.