2.6 톨레미(Ptolemy)의 정리와 확장

심슨 라인의 개념은 아래에서처럼 더 유용한 정리를 끌어내는데 이용되어질 수 있다. “Pedal 삼각형” [eqn: A _{1`} `B _{1`} `C _{1}] 이 퇴화되었다 할지라도, 그것들의 변들의 길이는 정리 1.91에서 처럼 주어진다:

[eqn: B _{1} C _{1}= aAP over 2R],    [eqn: A_1 C_1= bBR over 2R],     [eqn: A_1 B_1 = cCR over 2R].

[eqn: A_1 B_1 + B_1 C_1 = A_1 C_1] 이기 때문에, [eqn: cCP+aAP`=`bBP] 이고 이것은 곧

[eqn: AB TIMES CP`+`BC TIMES `AP`=`AC TIMES `BP] 이다.

[eqn: ABCP]는 내접 사각형이기 때문에, 우리는 아래의 톨레미(Ptolemy)의 정리를 증명하였다.

정리 2.61. 사각형이 원에 내접한다면, 두 쌍의 대변들의 각각의 곱의 합은 대각선들의 곱과 같다.

톨레미(Ptolemy)의 정리는 선분 [eqn: A _{1`} C _{1}] 위가 아닌 다른 [eqn: B _{1}] 의 어느 위치에 대해서,

방정식   [eqn: A_1 B_1 + B_1 C_1 = A_1 C_1] 은   부등식   [eqn: A _{1} B _{1} +B _{1} C _{1} >A _{1} C _{1}] 으로 바뀌고

[eqn: AB TIMES CP`+`BC TIMES `AP`>`AC TIMES `BP] 을 얻는다는 사실로부터 더 강화된 역을 얻는다.

정리 2.62 삼각형 [eqn: ABC] 가 있다. 만약 [eqn: P]가 삼각형의 외접원의 호 [eqn: CA] 위에 있지 않다면,

[eqn: AB TIMES CP`+`BC TIMES `AP`>`AC TIMES `BP] 이다.

연습문제

1.  점 [eqn: P]는 정삼각형 [eqn: ABC] 의 내부의 점이다. 그 때 [eqn: P]가 외접원의 호 [eqn: CA] 위에 있거나 있지 않거나에 준하여 [eqn: PC + PA = PB] 이거나 [eqn: PC + PA > PB] 이다. [ 이 결과의 흥미로운 적용에 대해서, 23, pp. 11-12]

2. 점 [eqn: P]가 사각형 [eqn: ABCD]의 외접원의 호 [eqn: CD] 위에 있다면,

[eqn: PA(PA + PC) = PB (PB + PD)].

3. 그림 2.61에서 보여지는 것처럼, 한 원이 평행사변형 [eqn: ABCD] 의 두 변과 대각선을 점 [eqn: P, & Q, & R]에서 자를면, [eqn: AP TIMES AB+AR TIMES AD`=`AQ TIMES AC] 이다.

[eqn: Hint]: 사각형 [eqn: PQRA]에 정리 2.61 을 적용한 후 [eqn: TRIANGLE PQR]의 변들을 닮은 삼각형 [eqn: CBA]의 대응변들로 교체시켜라.