1.2 체바의 정리

삼각형의 꼭지점과 대변의 임의의 점을 연결하는 선분을 “체비안” 이라고 부른다. 따라서 만약 X,Y,Z가 각각 변 BC,CA,AB 위의 점이라면  AX,BY,CZ 가 “체비안” 이다. 이 용어는 1678년에 다음의 매우 유용한 정리를 발표한 이태리 수학자 Giovanni Ceva 의 이름에서 기인한다.

정리 1.21 만약 삼각형 ABC의 각 꼭지점을 통과하는 세 개의 체비안 AX, BY, CZ 가  동일점에 모인다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]

(증명)우리가 직선이나 선분이 동일점에 모인다고 말하는 것은, 그 직선들이 모두 한 점, 즉 P를 지난다는 것이다.  체바의 정리를 증명하기 위하여는, 삼각형의 같은 높이를 가진 삼각형의 넓이는 삼각형의 밑변에 비례한다는 사실을 상기해야 한다.

1.2의 그림을 보면

[eqn: { BX} over {XC }= { (ABX)} over {(AXC) }= { (PBX)} over {(PXC) }= { (ABX)-(PBX)} over {(AXC)-(PXC) }= { (ABP)} over {(C`AP) }]

같은 방법으로,

[eqn: { CY} over {YA }= { (BCP)} over {(ABP) }]   ,  [eqn: { AZ} over { ZB}= { (C`AP)} over {(BCP) }]

이제 우리가 위의 식들을 곱하면 ,우리는 다음을 알 수 있다.

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }= { (ABP)} over { (C`AP)} { (BCP)} over {(ABP) } { (C`AP)} over {(BCP) } =1]

이 정리의 역도 성립한다.

정리 1.22 만약  세 개의 체비안 AX,BY,CZ 가 다음 식을 만족한다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1],

세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

(증명) 이것을 증명하기 위하여 먼저 두 개의 체비안이 점 P에서 만난다고 하자. 그리고 이 점P를 지나는 세 번째의 체비안이 [eqn: CZ ^{ '}]라고 하자. 그러면 정리 1.21에 의하여[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ ^{ '} } over {ZB ^{ '} }=1]   이고,   가정에 의하면   [eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]      이다.

따라서 , [eqn: { AZ ^{ '} } over { Z ^{ '}B }= { AZ} over {ZB }]

따라서, [eqn: Z^{ '}]는 [eqn: Z]와 일치하며 따라서,   AX, BY, CZ 는 한 점에서 만난다.

<연습문제>

1.만약 X,Y,Z 가 각변의 중점이라면, 세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

2. 대변에 수직인 체비안은 한 점에서 만난다.

3. [eqn: ABC] 와 [eqn: A^{ '}B ^{ '}C ^{ '}] 가 그림 1.2B에서 처럼 각각의 변이 평행하고 합동이 아닌 두 개의 삼각형이라 하면 [eqn: AA ^{ '},BB ^{' },CC ^{ '}]의 연장선은 한 점에서 만난다.( 그러한 삼각형을 homothetic 라고 한다. 우리는 4.7장에서 이에 관해 좀 더 살펴 볼 것이다.)

4.[eqn: AX]가 그림 1.2C에서 처럼 ,선분 [eqn: BC] 를 [eqn: BX=m,XC=n]로나누는 길이 [eqn: p]인 체비안 이라고 하면,       [eqn: a(p ^{ 2}+mn)=b ^{ 2}m+c ^{ 2}n]

<힌트>   [eqn: X]의 두 보각의 코사인값을 [eqn: △ABX] 과[eqn: △CAX] 의 변의 용어로 나타낸 값을 더한다. 이 결과는 Steart가 1746년에 이것을 서술한 후로  Steart 의 정리라 부른다. 그것은 아마 기원전 300년경에 아르키메데스에 의해 발견되었으나, 제일 처음 알려진 증명은 1751년에 R.Simson 에 의해서이다.

2.8 The Butterfly

The Butterfly 정리를  살펴 보자. 이 정리는(그림 2.8A) 다음과 같다.

정리 2.81  원의 현 [eqn: PQ]의 중점[eqn: M] 을 통과하는 다른 현  [eqn: AB,CD] 가 그려져 있다. :현[eqn: AD,BC] 가 [eqn: PQ] 점  [eqn: X,Y] 에서 만난다. 그러면 [eqn: M]은 [eqn: XY] 의 중점이다.

이 정리는 증명의 길이가 난이도면에서 많은 증명방법들이 있다. 세 가지가  Newark State 대학의 Dr.Zoll에 의해서 받아들여졌다.

그는 이것들 중의 하나는 1815년 다항방정식의 근의 계산을 위한 Horner의 방법의 발견자인 W.G.Horner 에 의해서 제출되었다고 언급했다.  (E.T Bell에 의하면  Horner의 방법은 중국인에 의해 앞질러졌다고 한다.) 다른 증명은 R.Johnson 에 의해서이다. 가장 짧은 증명은 사영기하를 이용한다. 여기에 제시된 것은, 비록 많이 짧지는 않지만, 간단하고 쉬운 방법이다.

(증명) 우리는  [eqn: X] 와 [eqn: Y]로부터 [eqn: AB]에 수선 [eqn: x_{ 1}]과 [eqn: y_{ 1}]을 긋고,  [eqn: X] 와 [eqn: Y]로부터 [eqn: CD]에 수선[eqn: x_{ 2}], [eqn: y_{ 2}]를 긋는다.

간단히 [eqn: a=PM=MQ] ,[eqn: x=XM] ,[eqn: y=YM] 이라고 하자. 우리는 닮은 삼각형 [eqn: Mx _{ 1}]과[eqn: My _{ 1}],[eqn: Mx _{ 2}]와 [eqn: My _{ 2}] , [eqn: Ax _{ 1}]과 [eqn: Cy _{ 2}], [eqn: Dx _{ 2}]와 [eqn: By _{ 1}]에서 다음을 알 수 있다.
[eqn: { x} over {y }= { x _{ 1} } over {y _{ 1} }]  ,  [eqn: { x} over {y }= { x _{ 2} } over {y _{ 2} }] ,[eqn: { x _{ 1} } over {y _{ 2} }= { AX } over {CY }] ,[eqn: { x _{ 2} } over {y _{ 1} }= { XD } over {YB }]

따라서,

[eqn: { x _{ 2} } over { y _{ 2} }= { x _{ 1} } over { y _{ 1} } { x _{ 2} } over {y _{ 2} }= { x _{ 1} } over { y _{ 2} } { x _{ 2} } over {y _{ 1} }]=[eqn: { AX TIMES XD} over {CY TIMESYB }]=[eqn: { PX TIMESXQ } over { PY TIMESYQ }]=[eqn: { (a-x)(a+x)} over {(a+y)(a-y) }]=[eqn: { a ^{ 2} -x ^{ 2} } over { a ^{ 2}-y ^{ 2} }]=[eqn: { a ^{ 2} } over { a ^{ 2} }]=1

따라서 [eqn: x=y]

<연습문제>

1.그림 2.8A에서 선분 [eqn: AC] 와 [eqn: BD]의 연장선과 [eqn: PQ]의 연장선이 만나는 두 점 [eqn: X,Y] 는 [eqn: M]으로부터 같은 거리에 있다.

2.[eqn: PT] 와 [eqn: PB] 가 원의 접선이고, [eqn: AB] 가 [eqn: B]를 지나는 지름이고, [eqn: TH]가 [eqn: T]로부터 [eqn: AB]에 그은 수선이다. 그러면 [eqn: AP]는 [eqn: TH]를 이등분한다.

3.[eqn: △ABC]의 내접원 (중심이 [eqn: I] 인) 이 변 [eqn: BC]와 [eqn: X]에서 만난다. [eqn: A^{ '}]가 이 변의 중점이라고 하자. 그러면 선분[eqn: A^{ '}I](또는 연장선)는 [eqn: AX]를 이등분한다.