4.5 Fagnano's problem

거울 이미지의 성질은 단순하고 인상적인 방식으로 많은 흥미로운 정리들을 끌어내는데 사용될 수 있다. 우리는 이 성질을 주어진 예각삼각형의 내부에 둘레의 길이가 최소가 되는 삼각형을 발견하는 문제를 풀기 위하여 사용한다. 이것이 Fagnano's 문제로 알려져 있다.

1775년에 계산에 의해서 그 문제를 해결했던 Fagnano에 의해서 제안되었다. 여기서 보인 것은 H. A. Schwarz의 증명이다. 또 역시 반사를 이용한 또 다른 증명은,   Coxeter[6, p.21] 또는 Kazarinoff[18, pp76-77] 그리고 Courant and Robbins [4, p.347]를 보아라. Schwarz의 논법은 Fank Morley 와 F. V. Morley의  Inversive Geometry (Ginn, Boston, 1933), p.37에서 삼각형에서 ([eqn: 2n`+`1`])각형으로 확장되었다.

풀이를 위하여(4.5A 그림을 보자) 두 개의 삼각형 《수족삼각형(굵은 점선) 그리고 어떤 다른 삼각형(가는 점선)》을 내부에 내접시키는 임의의 예각 삼각형 [eqn: ABC] 를 생각해보자.

면적을 유지하면서 변 [eqn: AC`,```CB`,```BA`,```AC`,````CB``]가 연이어지도록 [eqn: TRIANGLE ABC``]를 반사시키자. 이제 우리는 반사하는 연속적인 수열이 삼각형을 마무리할 수 있는지를 보기 위해서 그 도형을 꼼꼼히 살펴보자.

[eqn: C``]로 표시한 두 점을 무시하고, 우리는 꺽인 직선 [eqn: BABABA``]에서 처음의 점 [eqn: A``](왼쪽 꼭대기의)에서 [eqn: 2A``]의 각(반시계방향으로)을, 두 번째 점 [eqn: B``](가운데의)에서 [eqn: 2B``]의 각을, 두 번째 점 [eqn: A``](바닥의)에서 -[eqn: 2A``]의 각을, 세 번째 점 [eqn: B``](오른쪽의)에서 -[eqn: 2B``]의 각을 가진다는 것을 살펴볼 수 있다. 이들 네 각의 합이 0임은 마지막 변을 가리킨다. [eqn: BA``]는 처음의 변 [eqn: BA``]와 변환에 의해서 합동이고, 이들 두 변의 대응점들의 쌍들은 [eqn: PP'Q'Q``]처럼 평행사변형을 형성할 것이다.

우리는 지금 [eqn: TRIANGLE ABC``]의 높이가 그것의 수족삼각형의 각을 이등분한다는 것을 기억하자. 그것은 당연히 그림 4.5A에서 보여지는 것처럼 지시된 반사 후에, 수족삼각형의 변이, 순서에 따라, 곧은 선 [eqn: PP'``]위에 위치하게 된다는 것이다. 유사하게 그림의 가는 점선의 삼각형과 같은 다른 어떤 삼각형의 변에서도 [eqn: Q``](처음의 위의)로부터 [eqn: Q'``](마지막 [eqn: AB``]위의) 까지 이르는 꺽인 선이 형성될 것이다. [eqn: PQ``]는 [eqn: P prime Q prime ``]과 길이가 같고 평행이므로, 일직선 [eqn: QQ'``]은 그 수족삼각형의 둘레의 길이의 두 배가 되는 [eqn: PP'``]과 길이가 같다.  이 사실은 다른 삼각형의 둘레의 두 배인 [eqn: Q``]로부터 [eqn: Q'``]까지의 꺽인 선보다 더 짧다는 것이 명백하다. 그러므로 최소둘레를 가지는 삼각형은 수족삼각형이다.