4.7 Dilatation(확대변환)

지금까지 한가지 공통적인 특징을 가지는 변환들이 제시되었다 : 이 변환들은 각 도형을 합동인 도형으로 변환하였다. 이 거리를 유지(preserving distance)하는 특징을 가진 변환들을 합동변환 또는 등거리 변환(isometries)이라 부른다.

그러나, 각 도형을 닮은(similar)도형으로 바꾸는 변환의 사용도 가능하다. 이같은 닮음(similarity)은 각을 유지하고 거리를 변화할 수 있다. 그러나 모든 거리가 같은 비율로 감소(혹은 증가)할 때 비확대(ratio of magnification)라고 한다. 따라서 임의의 선분[eqn: AB] 가  [eqn: A ^{prime } B ^{prime } =kAB] 인 길이로 주어진 선분 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]로 변환된다. 비록 마지막의 두 가지 경우는 확대라는 단어가 분명히 알맞음에 부족하지만 비율 [eqn: k]가 1보다 크거나, 1과 같거나, 1보다 작을 수 있고 닮음은 특별한 경우인  [eqn: k=1] 일때, 등거리변환을 포함하고 있다.

이 주의는 닮음을 거리의 비율을 유지하는 변환으로 정의함으로써 좀 더 정확해질 수 있다. 이것은 이 변환이 공선성과 각을 둘 다 유지함을 암시한다.

닮음의 가장 간단한 종류가 각 선을 평행한 선으로 변환하는 확대변환이다. 어떤 확대변환은 모든 선이 도형의 대응하는 점에서 만나고 그 상이 닮음이기 때문에  평행이동뿐만 아니라 중심확대변환이라 부른다. 이유는 그림 4.7A와 B를 살펴보면 대응하는 선분 [eqn: AB]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }](평행선에 놓여있는)는 벡터방정식 [eqn: vec {A ^{ prime }B ^{ prime } }= +- vec { AB}] 를 만족한다.

[eqn: A]와 [eqn: B] 와 함께 삼각형을 이루는 임의의 점 [eqn: C] 에 대하여 상 [eqn: C ^{prime }]는 [eqn: A ^{prime }]를 지나고 [eqn: AC] 에 평행한 직선과 [eqn: B ^{prime }]를 지나고 [eqn: BC] 에 평행한 직선의 교점이다. 만약에 확대변환이 평행이동이 아니라면 직선 [eqn: AA ^{prime }]와 [eqn: BB ^{prime }]는 평행하지는 않지만 점 [eqn: O] 에서 만나고 ,

그림 4.7A에서처럼 [eqn: vec{OA ^{prime }} =k vec{OA}] 이고 [eqn: vec{OB ^{prime }} =k vec{OB}] 이거나

그림 4.8A에서처럼 [eqn: vec{OA ^{prime }} =-k vec{OA}]이고 [eqn: vec{OB ^{prime }} =-k vec{OB}]이다.

평행선이 횡단선을 비례하는 선분으로 자름을 기억하면, 우리는 실제로 [eqn: OC] 위의 [eqn: C ^{prime }]가 [eqn: vec{OC ^{prime }} = +- k vec{OC}] 가됨을 쉽게 추론할 수 있다.

그림 4.7A를 점 [eqn: O] 를 왼쪽으로 멀리 떨어지게 만듦으로서 다양하게 변화시키면 우리는  [eqn: k]가 [eqn: 1]에 도달할 때 중심확대변환 [eqn: vec{A ^{ prime } B ^{prime }} =k vec{AB}] 의 형태로 제한함으로써 어떻게 평행이동이 이루어지는지 알 수 있다. 계속하여 더 쉽게, 우리는 그림 4.7B를 [eqn: AA ^{ prime }]의 중점을 [eqn: O]로 만들기 위해 바꿀 수 있다. 따라서, 중심확대변환 [eqn: vec{A ^{prime } B ^{prime }} =-k vec{AB}] 는 [eqn: ABA ^{ prime } B ^{ prime }]가 중심 [eqn: O]와 함께 평행사변형이 되는 특별한 경우의 반회전 [eqn: vec{A ^{ prime } B ^{prime }} =- vec{AB}] 를 포함하고 있다

연습문제

1. 한 점은 고정하고 다른 한 점은 원주위를 움직이는 선분의 길이를 다양하게 변화할 때 이 선분의 중점의 자취는 무엇인가?

2. 주어진 예각삼각형 [eqn: ABC] 에 대하여, [eqn: BC] 위에 한 변이 놓이고 ,각각 [eqn: CA] 와 [eqn: AB] 위에 놓인 다른 두 꼭지점으로 이루어진 정사각형을 작도하여라