4.2 회전 변환

거리를 보존하는 변환의 다른 한 종류는 회전 변환이다.

여기서는 전체 평면이 어떤 한 점에 대하여 주어진 각도만큼 회전한다.

이와 같이 어떤 도형의 크기와 모양이라도 불변하지만, 그 도형위의 점들은 모두 동심원의 호를 따라 움직인다. 그 중심은 (회전변환된 도형에 속해있을 수도, 아닐 수도 있는)은 고정된 유일한 점이다.

회전변환의 사용의 예로서 다음과 같은 정삼각형 [eqn: TRIANGLE ABC]를 생각해보자. [eqn: TRIANGLE ABC]는 세 변위에 정삼각형 [eqn: BPC,```CQA,````ARB]이 놓여 있다.

점 [eqn: F]에서 만나는 직선 [eqn: BQ,````CR]을 그린 후에 점 [eqn: A]에 대하여 60°만큼 회전변환하면 [eqn: TRIANGLE ARC]는 [eqn: TRIANGLE ABQ]로 이동한다.

그래서, [eqn: ANGLE RFB`=`60 DEG]이고 [eqn: RC=BQ]. 비슷한 이유로, [eqn: PA=CR]이다.

따라서, [eqn: AP=BQ=CR].

또, [eqn: ANGLE RFB`=`60 DEG = ANGLE RAB] 이고, [eqn: ANGLE CFQ`=`60 DEG = ANGLE CAQ]이므로, 사각형 [eqn: ARBF]와 [eqn: CQAF]는 원에 내접하는 사각형이다. 그리고, [eqn: ANGLE CPB`=`60 DEG]인 반면에 [eqn: ANGLE BFC`=`120 DEG]이므로, [eqn: BPCF]는 세 번째 원에 내접하는 사각형이다. 그러므로 세 삼각형 [eqn: BPC], [eqn: CQA], [eqn: ARB]의 외접원은 모두 점 [eqn: F]를 지난다.

이 점을 [eqn: TRIANGLE ABC]의 페르마의 점이라고 한다. [eqn: BQ]와 [eqn: CR]의 교점으로 정의하더라도, 반드시 [eqn: AP]위에 놓여있음을 알 수 있다.

그림 [eqn: 4.2B]에서 보는 것처럼, 유클리드이 피타고라스 정리에 대한 증명에서, 사각형 [eqn: CBIG], [eqn: ACKJ], [eqn: BADE]는 주어진 직각삼각형 [eqn: ABC]의 세 변에 외접하여 놓여 있고, 마지막 사각형은 수선 [eqn: CH]에 의해 두 개로 나누어진다. 여기서, [eqn: O _{1}], [eqn: O _{2}], [eqn: O _{3}]는 세 사각형의 중심이고, [eqn: U,`V,`W,`X,`Y]의 의미는 명확하다. 피타고라스 정리를 증명하는 방법 중 유클리드의 방법보다 더 쉬운 방법이 있지만, 그 그림은 많은 예상하지 못한 결과들을 제안한다.

직선 [eqn: AI], [eqn: BJ], [eqn: CD], [eqn: CE]를 그린 후에, 점 [eqn: A]에 대한 [eqn: 90 DEG]회전변환을 하면 [eqn: TRIANGLE ADC]는 [eqn: TRIANGLE ABJ]로 옮겨짐을 볼 수 있다. 그래서, [eqn: BJ=DC] 이고, [eqn: BJ]는 [eqn: CD]에 대해 수직이다. 비슷하게 [eqn: AI]와 [eqn: CE]는 길이가 같고, 수직이다.

닮은 삼각형 [eqn: TRIANGLE BCX`~ SIM ` TRIANGLE BKJ] 와 [eqn: TRIANGLE CAY`` SIM ` TRIANGLE GAI] 에서

[eqn: {CX} over {b} = {CX} over {KJ} = {BC} over {BK} = {a} over {a+b}],  [eqn: {CY} over {a} = {CY} over {GI} = {CA} over {GA} = {a} over {a+b}] 이므로,

[eqn: CX= {a} over {a+b} =CY] 이다.