1.4  내접원과 방심원

그림 1.4A는 점 [eqn: X, &Y, &Z] 에서 변 [eqn: BC, &CA,&AB] 에 접하는 내접원을 나타낸다. 외부의 점에서 원으로의 두 접선의 길이는 같기 때문에, [eqn: AY=AZ,& BZ=BX,&CX=CY] 임을 알 수 있다. 접선의 길이를 [eqn: x,&y,&z] 라 하면,

[eqn: y+z=a,]  [eqn: z+x=b,]   [eqn: x+y=c].

이 방정식들을 모두 더하고 [eqn: Euler]의 labor-saving abbreviation [eqn: s] (semiperimeter)를 이용하여, 다음의 식

[eqn: 2x+2y+2z=a+b+c=2s] 이고,

[eqn: x+y+z=s]를 얻고, 다음의 정리 1.41 을 얻는다.

정리 1.41  [eqn: x=s-a,]   [eqn: y=s-b,]   [eqn: z=s-c].

삼각형 [eqn: IBC] 는 밑변이 [eqn: a]이고 높이가 [eqn: r] 이므로, 넓이는 ([eqn: IBC])=[eqn: 1over2 ar]. 마찬가지로 ([eqn: ICA])=[eqn: 1OVER2 br], ([eqn: IAB])=[eqn: 1over2 cr]. 이때, [eqn: 1over2 (a+b+c)r=sr].

정리 1.42 ([eqn: ABC])=[eqn: sr].

그림 1.4B 는 삼각형 [eqn: I_a I_b I_c] 의 각 변이 각 [eqn: A,&B,&C] 의 외각의 이등분선이 됨을 보여주고 있다. [eqn: ANGLE B]의 외각의 이등분선인 [eqn: I_c I_a] 위의 임의의 점들은 직선 [eqn: AB]와 직선 [eqn: BC] 로부터 같은 거리에 있다. 마찬가지로 [eqn: I_a I_b] 위의 임의의 점들도 직선 [eqn: BC]와 직선 [eqn: CA]로부터 같은 거리에 있다. 그러므로 이 두 외각의 이등분선의 교점 [eqn: I_a] 는 세 변으로부터 같은 거리 [eqn: r_a] 만큼 떨어져 있다. 점 [eqn: I_a]는 직선 [eqn: AB]와 [eqn: AC] 로부터 같은 거리에 있기 때문에, 이 직선들로부터 거리가 같은 점들의 위치에 놓여있어야 한다. 즉, 점 [eqn: I_a] 는 [eqn: ANGLEA]의 내각의 이등분선인 직선 [eqn: AI] 위에 놓여있어야 한다.

정리 1.43 삼각형의 임의의 두 외각의 이등분선과 나머지 한 내각의 이등분선은 한 점에서 만난다.

세변(또는 그 연장선)에 접하고, 중심이 [eqn: I_a] 이고 반지름이 [eqn: r_a] 인 원은  세 개의 방심원 중의 하나이다. 우리는 그들의 중심 [eqn: I_a], [eqn: I_b], [eqn: I_c] 를 [eqn: excenter](방심)이라 하고 그들의 반지름을 [eqn: r_a], [eqn: r_b], [eqn: r_c] 를 [eqn: exradii] 라고 한다. 각각의 방심원은 삼각형의 한 변과 다른 두 변의 연장선에 접한다. 세 변에 접하는 내접원과 세 개의 방심원은 때때로 삼각형의 네 개의 [eqn: tritangent] 원들이라 불린다.

그림 1.4B에서 접점들을 표시함으로써, 한 점에서 원에 그은 두 접선의 길이는 같기 때문에 다음을 알 수 있다.

[eqn: BX_b = BZ_b]

이고

[eqn: BX_b + BZ_b = BC + CX_b + Z_b A + AB]

[eqn: =BC+ CY_b + Y_b A+AB=a+b+c=2s].

그래서 점 [eqn: B] ( 또는 다른 꼭지점) 으로부터 대변 쪽에 있는 방심원에 그은 접선의 길이는 [eqn: s]이다. 실제로,

[eqn: AY_a = AZ_a = BZ_b = BX_b = CX_c =CY_c = s].

또한, [eqn: CX_b = BX_b - BC =s -a] 이기 때문에,

[eqn: BX_c = BZ_c = CX_b = CY_b = s-a],

[eqn: CY_a = CX_a = AY_c = AZ_c =s-b],

[eqn: AZ_b = AY_b = BZ_a = BX_a = s-c].

연습문제

1. 중심이 [eqn: A, & B, &C] 이고 서로 서로 외접하는 세 원들의 반지름은 각각 [eqn: s-a], [eqn: s-b], [eqn: s-c] 이다.

2. 만약 [eqn: s], [eqn: r], [eqn: R] ([eqn: s= a+b+c over 2] , [eqn: r:] 내접원의 반지름, [eqn: R`:] 외접원의 반지름) 에 대하여, [eqn: abc=4srR].

3.  세비앙(cevians) [eqn: AX,&BY,&CZ] (그림 1.4A)는 한 점에서 만난다. (그들의 교점을 [eqn: TRIANGLE `ABC] 의 Gergonne point 라고 한다.)

4. [eqn: TRIANGLE `ABC] 는 [eqn: TRIANGLE I_a I_b I_c] 의  orthic 삼각형이다. (그림 1.4B)

5. ([eqn: ABC])[eqn: = (s-a)r_a =(s-b) r_b = (s-c) r_c]. (그림 1.4B)

6. [eqn: 1 over r_a + 1 over r_b + 1over r_c = 1 over r].