2.9 Morley의 정리

초등 기하에서 가장 놀라운 정리 중의 하나는 1904년 Frank Morley에 의해  발견되었다.( Christopher Morley의 아버지, 그의 소설 “남은자의 비난”은 특별히 기하학자들이 좋아하는 시계열에 있어서 비틀림을 가지고 있다.) 그는 영국의 캠브리지에서 친구들에게 이것을 언급하였고, 20년이 지난 후에 일본에서 그것을 출판하였다. 한편 그것은 에듀케이셔널 타임즈에서 한 문제로서 재발견되어 제시되었다. 두 개의 해결책이 M.T.Naraniengar 에 의해서  제출되었는데, 그 중의 하나는 그 이후로 고안된 수십 가지의 해결책 만큼이나 산뜻한 것이다.

(정리2.91) 삼각형의 세 내각의 인접한 삼등분선의 교점들은 정삼각형의 꼭지점이다.

(그림2.9A)

Naraniengar의 증명은 (그림2.9A에서 예증되어있는)예비정리 또는 보조정리를 요구한다.

(보조정리) 만약에 4개의 점 [eqn: Y``′],[eqn: Z``], [eqn: Y``],[eqn: Z``′]가 [eqn: Y`′Z``=``ZY``=``YZ`′``]과

[eqn: ∠YZY`′``=``∠Z`′YZ``=``180°``-``2 alpha``>``60°``]이라는 조건을 만족한다면 4개의 점들은 같은 원 상에 있다. 더 나아가, [eqn: ∠Y`′AZ`′``=``3 alpha``]이 되도록, [eqn: Y``]를 품지않는 호[eqn: Y`′Z`′``]위에 한 점[eqn: A``]가 위치한다면, 이 다섯 번째 점[eqn: A``]도 역시 같은 원상에 존재한다.

보조정리를 증명하기 위하여, 같은 크기의 각 [eqn: YZY`′]와 [eqn: Z`′YZ]의 내각의 이등분선을 점[eqn: O``]에서 만나게 하자. 그러면 [eqn: OY`′Z],, [eqn: OZY], [eqn: OYZ`′]는 밑각이 [eqn: 90°``-`` alpha``]인 세 개의 합동인 이등변 삼각형이 된다. 그러한 같은 길이의 변 [eqn: OY`′], [eqn: OZ], [eqn: OY], [eqn: OZ`′]들은 [eqn: O``]를 중심으로 하는 원의 반지름이다. 그리고 이 공통된 꼭지점에서의 그러한 각들의 크기는 [eqn: 2alpha``]이다. 다른 말로, 공통현 [eqn: Y`′Z``], [eqn: ZY``], [eqn: YZ`′``]은 중심[eqn: O``]에서  각각 [eqn: 2alpha``]의 각의 크기를 이루고, 당연하게 [eqn: Y``]를 품지않는 호[eqn: Y`′Z`′``]에서의 어떤 점에서 이루는 각은[eqn: alpha``] 가 된다. 이 호는 현[eqn: Y`′Z`′``]의 원주각이 [eqn: 3alpha``]가 되는 점의 자취로 묘사되어진다.  그런 점 중 하나가 [eqn: A``]이다; 그러므로 점[eqn: A``]는 원 위에 있다.

지금 우리는 이미 (정리2.91)을 착수할 준비가 되었다. (그림2.9B)에서, 각 [eqn: B`=`3 beta``]와 [eqn: C`=``3 gamma``]의 삼등분선은 보는 바와 같이 점[eqn: U``]와 점[eqn: X``]에 만난다. [eqn: TRIANGLEBCU``]에서, 각[eqn: B``]와 각[eqn: C``]는 변[eqn: BX``]와 [eqn: CX``]에 의해서 이등분 된다; 그러므로 [eqn: X``]는 내심이다, 그리고 각[eqn: U``]는 [eqn: UX``]에 의해서 이등분된다. 만약 우리가[eqn: XU``]로 [eqn: XY``]와 [eqn: XZ``]사이의 각을 똑같이 [eqn: 30°``]가 되도록 직선 [eqn: CU``]와 [eqn: BU``]위에서 점 [eqn: Y``]와 점[eqn: Z``]를 구성한다면, [eqn: TRIANGLE UXY`` CONG`` TRIANGLE UXZ``], [eqn: XY``=``XZ``],그리고 각[eqn: X``]가 [eqn: 60°``]이기 때문에 [eqn: TRIANGLE XYZ``]는 세 변의 길이가 같다.

또한 [eqn: TRIANGLE UZY``]는 이등변삼각형이다, 각[eqn: U``]는 [eqn: TRIANGLE UBC``]에서도 같은 각이고, 다른 각들은 각각 [eqn: 2beta``]와 [eqn: 2gamma``]이다; 그러므로 [eqn: TRIANGLE UYZ``]에서 점[eqn: Y``]와 점[eqn: Z``]에서 같은 크기의 각 [eqn: beta``+`` gamma``]을 가진다.

[eqn: alpha``=``A`/`3``]라 두면, 우리는 [eqn: A`+`B`+`C``=``180°``]로부터 [eqn: alpha``+`` beta``+`` gamma``=``60`°``],

[eqn: beta``+`` gamma``=``60`°``-` alpha``]

그러므로 [eqn: ANGLE`YZU``=``60`°`-` alpha``]이고 [eqn: ANGLE`XZU``=``120`°`-` alpha``]

다음 단계로 직선[eqn: BA``]상에서 [eqn: BY`′``=``BX``], 직선[eqn: CA``]상에서 [eqn: CZ`′``=``CX``]이다.

그래서 우리는 [eqn: TRIANGLE BZX`` CONG`` TRIANGLE BZY`′``]이고 [eqn: TRIANGLE CYX`` CONG`` TRIANGLE CYZ`′``]임을 알 수 있다.

우리가 보조정리를 적용하기 전에, 우리는 아직  [eqn: ANGLEYZY`′]와 [eqn: ANGLEZ`′YZ``]의 각의 크기에 대해서 확인하지 않았다. 이것은 간단한 방법이다. 같은 크기의 각 [eqn: BZY`′``]와 [eqn: BZX``]이기 때문에,   [eqn: ANGLEUZY`′``=``∠XZU``=``120°``- alpha``] 이고,

[eqn: ANGLEYZY`′``=``∠YZU``+∠UZY`′``&=``(60`°``- alpha)``+``(120°``- alpha``)``#&=``180`°``-``2 alpha``]

같은 방법으로, [eqn: ANGLEZ`′YZ``=``180`°``-``2 alpha``]; [eqn: alpha``=`` { 1} over { 3}A``<``60`°]

보조정리에 따라서, 우리는 다섯 개의 점 [eqn: Y``′],[eqn: Z``], [eqn: Y``],[eqn: Z``′], [eqn: A``]는 모두 한 원 위에 존재한다. 점 [eqn: A``]에서 같은 크기의 현 [eqn: Y`′Z``], [eqn: ZY``], [eqn: YZ`′``]은 같은 크기의 각[eqn: alpha``]를 이루기 때문에, 직선[eqn: AZ``]와 [eqn: AY``]는 [eqn: TRIANGLE ABC``]의 한 내각[eqn: A``]를 삼등분한다.

다른 말로, 정삼각형의 형태로 구조화된 점[eqn: X``],[eqn: Y``],[eqn: Z``]가 사실상 Morley 정리에 기술된 점들이다. 이 증명은 완벽하다.