6.3  원 추 곡 선

3.8절과 3.9절에서 간략하게 언급되었던 원추곡선 conics(또는 conic section)이라 불리는 흥미로운 곡선은 다른 많은 방법으로의 접근이 가능하다. 한가지 방법이 원추곡선을 원의 상반변환으로 정의하는 것이다. 좀 더 정확하게 중심 [eqn: O]를 가진 원 [eqn: omega] 에 대한 반지름 [eqn: r]이고 중심이 [eqn: A]인 원 [eqn: alpha] 의 상반변환으로 정의하자. 원 [eqn: omega]의 반지름 [eqn: k]는 중요하지 않고 원추곡선의 모양이 아닌 크기에만 영향을 끼친다. 모양은 원추곡선의 이심률이라 자연스럽게 불리워지는 비율

[eqn: varepsilon = {OA} over {r}]

에 의해 결정된다. 점 [eqn: O]는 초점이라 부른다.

원 [eqn: alpha]의 상반변환으로써 원추곡선을 설명함에 있어, 원추곡선은 원 [eqn: alpha]의 접선의 pole의 자취와 [eqn: alpha]위의 점의 polars의 포락선 양쪽을 모두 의미하는 것이다

만약 [eqn: varepsilon <1]이면 [eqn: O]는 [eqn: alpha]의 내부에 있고 [eqn: O]로부터의 모든 반직선위에 원추곡선의 한 점이 있고, 원추곡선은 타원이라고 불리는 타원형의 곡선이다(그림 6.3A). 특히, [eqn: varepsilon =0]인 경우에 타원은 다만 원이된다. 이심률 [eqn: varepsilon]이 증가함에 따라 원추곡선은 원과는 명백히 점점 다르게 된다.

[eqn: varepsilon =1]이면 [eqn: OA=r]이고 [eqn: O]는 [eqn: alpha]위에 있다. [eqn: alpha]위의 점들의 집합은 polar을 가지지 않는 ([eqn: omega]에 대하여) 한 점 [eqn: O]를 포함하고 있고 [eqn: alpha]의 접선들의 집합은 pole을 가지지 않는 [eqn: O]에서의 접선을 포함하고 있다. 결론적으로 포물선이라 불리는 원추곡선(그림 6.3B)은 [eqn: AO]방향으로 무한이 뻗어나간다.

[eqn: varepsilon >1]일 때, 원추곡선은 쌍곡선(그림 6.3B)이고 [eqn: O]는 [eqn: alpha]의 외부에 있다. [eqn: O]를 지나는 [eqn: alpha] 의 두 접선은 pole을 가지지 않지만 그 들의 접점 [eqn: U]와 [eqn: V] 는 쌍곡선의 점근선이라 불리는 polar을 가진다. 이 두 직선 [eqn: u]와 [eqn: v]는 포락선에 속하고 따라서 접선은 접점을 가지지 않는다. 어느 방향이든 둘 중 하나를 따라가 볼때 우리는 곡선이 실제로 점근선에 닿지 않으면서 점점 가까워짐을 알 수 있다.

Isaac Newton(1642-1727)경은 행성의 궤도는 태양을 초점으로 하는 타원궤도라는 Kepler의 관측을 설명하였다. 그 당시 다양한 행성과 혜성의 궤도로써 이심률 [eqn: varepsilon]이 측정되어왔다. [eqn: varepsilon]의 값들의 약간이 다음의 표로 주어진다.

연습문제

1. 반지름이 거의 같고 중심도 거의 일치하는 두 원 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]를  [eqn: alpha]는 [eqn: beta]의 내부에 있도록 그려라. [eqn: alpha]위의 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{3}],… 위에서 직선 [eqn: B _{o} B _{2}], [eqn: B _{2} B _{4}],… 접하도록 [eqn: alpha]위의 점 [eqn: A _{1}], [eqn: A _{3}], [eqn: A _{5}], …과 [eqn: beta]위의 점 [eqn: B _{0}], [eqn: B _{2}], [eqn: B _{4}],…를 택하여라. 직선 [eqn: A _{1} A _{3}], [eqn: A _{3} A _{5}], …를 [eqn: b _{2}], [eqn: b _{4}], …라 두고 [eqn: beta]의 [eqn: B _{0}]와[eqn: B _{2}], [eqn: B _{2}]와 [eqn: B _{4}], …에서의 접선의 교점을 [eqn: C _{1}], [eqn: C _{3}],…라 두자. 그러면 직선 [eqn: b _{2}], [eqn: b _{4}], …는 [eqn: alpha]에 대한 [eqn: beta]의 상반변환에 대한 접선이 되고, [eqn: C _{1}], [eqn: C _{3}],…는 [eqn: beta]에 대한 [eqn: alpha]의 상반변환위에 놓이게 된다.

2. 동심원이 아닌 원 [eqn: omega]에 대한 [eqn: alpha]의 상반변환은 중심의 직선에 대한 반사에 의해 대칭이다. 원추곡선이 대칭의 두 번째 직선을 가진다고 할 수 있는가?

3. 포물선에 대하여 초점으로부터 접선에의 수선의 발은 모두 한 직선위에 있다

4. 직선 [eqn: OA]를 자르는 쌍곡선의 어떤 초점에서의 각 [eqn: theta]는 [eqn: sec theta = varepsilon]으로 주어진다. 점근선이 직각을 이루는 직사각형의 쌍곡선의 이심률을 추측하여라

5. 궤도가 [eqn: varepsilon GEQ 1]인 혜성에는 무슨 일이 일어날까?