8장 1절

앞서 언급했던 것처럼 합동식 이론의 창시자는 독일의 수학자 가우스이다. 수론에서 이름난 업적인 산술에 대한 논고(the Disquisitiones arithmetic)는 그가 24살이 되던 1801년에 발표한 것이다. 그의 논고는 아직도 영국(예일대 출판부)에서 번역되고 있다. 수학의 전체 얼개에서 일반적인 영역을 읽어나가는데 흥미가 있다면, 여러분도 아마 그렇게 해야 할 것이다. 첫 단원은 합동식 이론을 다루고 있고, 여러분도 합동식에 대해서는 아래에 나오는 가우스의 발표를 쫓아갈 수 있을 만큼 이미 충분히 배웠을 것이다.

하지만 가우스 시대 이전의 합동식 이론의 흔적에 주목해보자. 이 흔적들의 얼마간은 고대의 산술적 계산을 위한 점검 방식을 나타내며, 르네상스시기 산술 지침서의 중요한 부분d을 이루었다. 그 중에 몇 가지는 아직도 사용되고 있으며, 우리가 기원을 알고 있는 모든 것들은 아마도 고대에 그 기반을 두고 있을 것이다.

우리는 모르는 것을 그들은 어떻게 최초로 도입할 수 있었을까? 하지만 아마도 그들이 창안해냈을 것 같은 그럴듯한 방법을 제안해보자.  계산판의 시대로 돌아가보자.

주판처럼, 배치된 자리에 따라 일, 십, 백 등으로 보이게 하는 각 그룹이, 계산알, 돌멩이, 막대기 혹은 열매를 사용해서 계산을 위해 필요한 수의 각 자리의 숫자가 펼쳐져 있다.

십진법에서 수 N 은

(8.1.1)	[eqn: N```` & =```a _{n} `․10 ^{n} ```+``a _{n-1} `․`10 ^{n-1} ```+`․``․``․```+`a _{2} `․`10 ^{2} ````+``a _{1} `․``10```+``a _{0} ` _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}# & =``` LEFT ( a _{n} ``,```a _{n-1} ``,```․``․``․```,``a _{2} ``,```a _{1} ``,```a _{0} `` RIGHT ) _{10} ` ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ``]

전부 계산알로 [eqn: S _{N} ``]처럼 규정될 것이다.

(8.1.2)	[eqn: S _{N} ```` & =```a _{n} ```+``a _{n-1} ``+`․``․``․```+`a _{2} ```+``a _{1} ``+``a _{0} ` _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}]

이 수는 N의 digit sum이라고 부를 것이다.

이제 판에서 간단한 계산을 하려고 생각해보자, 다시 말해서 두 수 N과 M을 더하려고 한다. 그러면 역시 동일한 줄 위에서 추가로 [eqn: S _{M} ``]을 써서 두 번째 수 M을 나타낼 수 있을 것이다.

[eqn: M``` & =``` LEFT ( b _{n} ``,```b _{n-1} ``,```․``․``․```,``b _{2} ``,```b _{1} ``,```b _{0} `` RIGHT ) _{10} ` ^{{} ^{{} ^{{} ^{}}}} ``]

[eqn: S _{M} ```` & =```b _{n} ```+``b _{n-1} ``+`․``․``․```+`b _{2} ```+``b _{1} ``+``b _{0} ` _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}]

어떤 줄에서 9개의 계산 알보다 더 많이 있을지도 모른다. 그 연산은 다음 줄에 있는 단수 연산자에 한 줄 위에 있는 10개의 계산 알을 배치하게 구성되고, 더 이상 단순화 될 수 없을 때까지 셈하는 [eqn: N```+``M``]을 찾도록 요구한다. 각 단계에서 한 줄에 10개의 계산 알을 배치해서 그 계산판에 9개의 계산 알을 감소할 수 있는 망이 있다. 그래서 계산판에 남아있는 계산알의 수가 정확하게 덧셈을 형성할 수 있다면

(8.1.3)	[eqn: S _{N```+M} ```` & == ``S _{N} ``+S _{`M} ```(mod`9)]

의 조건이 충족되어야한다.

계산판에 여전히 남아있는 계산 알의 수는 9의 곱에 의한 처음의 전체와 달라야한다. (8.1.3)을 체크하는 방법은 casting out nines 라는 오랜 유래를 가지고 있다.

이 규칙이 발견되어진 후 얼마되지 않아서 몇 몇 summands에 뺄셈과 곱셈에 적용하는 것에 주목하게 되었다. ; (8.1.3)에 유사한 마지막 경우

(8.1.4)	[eqn: S _{N``} ``․```S _{m} ```` & == ``S _{NM} ```````(mod`9)]

합동식을 사용해서 이 규칙을 이론적으로 증명하는 것은 어렵지 않은 일이다.

(8.1.1) 와 (8.1.2)로부터

(8.1.5)	[eqn: 1``` == ``1``,````10`` == ``1``,```10 ^{2} `` == ``1``,```10 ^{3} ``` == ``1``,````․``․``․```(mod```9)]

임은  명백하고

(8.1.6)	[eqn: N```` & == ``S _{N} ```````(mod`9)]

를 포함한다.

그리고 7장 3절에서 확정된 합동식의 규칙에 따라 다음은 명백하다.

[eqn: S _{N``} ``±``S _{M} ```` & == `N```±```M```` == `S _{N±M} ```,````S _{N``} ``․``S _{M} ```` & == `N```․```M```` == `S _{N````․``M} ```````(mod`9)]

9를 빼는 것은 대부분 곱셈에 적용된다.

예를 들어, 다음 수와

(8.1.7)	[eqn: M``` == ``3119``,``````````````N`` == ``3724`]

그 두 수의 곱에 적용하자.

[eqn: M```․```N````=11615156]

아래와 같이 계산한다면

[eqn: M```` & == ``S _{M} ```` == 3``+``1``+```1```+9`` == ``5```````(mod`9)],

[eqn: N```` & == ``S _{N} ```` == 3``+``7``+```2```+4`` == ``7```````(mod`9)],

이고

[eqn: M`N``` & == ``S _{MN} ```` == 1``+``1``+```6```+1``+``4``+```1```+5```+``6`` == ``7```````(mod`9)].

이지만

[eqn: 5```․```7```=```35```` & == `8```` not== ```7`````(mod`9)]

이므로 정확하지 않은 계산이 될 수 있다.

실제로 이 계산의 결과는

[eqn: M```․```N````=11615156]

이 되어야 한다.

중세의 학교에서 학생들은 연습문제를 점검하는 것을 포함해서 엄격하게 교육을 받았다. 따라서 이 시대 원고의 하나에서 아래 것과 같은 (8.1.7)의 예인 가위표 덧셈세트를 발견하였다.

5

8

8

7

양쪽에 M 과 N (mod 9)의 나머지를 상징하는 5와 7이 있고, 위 쪽의 8은 M과N의 곱을 계산한 M․N의 나머지이다. 이것은 아래 쪽에 있는 나머지의 곱으로 점검해야한다, 자

[eqn: 5```․```7```=```35```` & == `8``````(mod`````9)]

초기에 인쇄된 산술 교과서에서 이 가위표 점검세트는 상당히 보편적이고, 실제로  17, 18세기의 영국의 교과서에서 나타난다. 물론, casting on nines에 의한 방법에 의해서 판별되지 않는 계산이 오류를 포함할 수 있다 ; 그러나 우리는 " error modulo 9"라는 오류를 안다.

다른 bases가 유사한 점검을 위해 사용될 수 있다는 것은 명백하다.

(8.1.5)처럼 [eqn: b``]를 base로 가지는 어떤 수 M에서,

[eqn: M```` & =```m _{n} `․b ^{n} ```+``m _{n-1} `․`b ^{n-1} ```+`․``․``․```+`m _{2} `․`b ^{2} ````+``m _{1} `․``b```+``m _{0} ` _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}}]

[eqn: 1``` == ``1``,````b`` == ``1``,```b ^{2} `` == ``1``,```b ^{3} ``` == ``1``,````․``․``․```(mod```b-1)]

그래서, 전과 같이

[eqn: M```` & =```m _{n} ```+``m _{n-1} ```+`․``․``․```+`m _{2} `````+``m _{1} ```+``m _{0} ` _{{} _{{} _{{} _{{} _{}}}}} ``(mod```b-1)``]

그리고 점검하는 규칙은 동일하다.

이 외관상 아주 사소한 주시점이 우리의 기본적 십진 시스템까지도 관계가 된다. 7장 5절을 주목하자. 십진수의 각 자리수를 세 그룹의 십진수의 자리수로 분류한다면, 이 그룹화는   수를 확장시키는 것으로 착상할 수 있을 것이다.

[eqn: `b````=`10 ^{3} ```=```1000]

유사하게 숫자 2개가 한 쌍이 되어 그룹이 된다면, 이는 bases와 확장되는 것에 대응된다.

[eqn: `b````=`10 ^{2} ```=```100]

다시 예로 3119와 3724를 가져와서 적어보면,

[eqn: M``` == ``31``19``,``````````````N`` == ``37``24`]

[eqn: M```․```N````=11``61``51``56]

다음을 알 수 있다.

[eqn: M``` == ``31````+```19````=`50```(mod````99)``,``````````````N`` == ``37````+````24````=```61````(mod````99)]

[eqn: M```․```N````=11````+```61```+````51```+````56````=````179``` == ```80```(mod````99)]

여기서 가위표 점검을 해보자.

50

80

80

61

보이는 것처럼

[eqn: 50```․```61```` == ``80````(mod`````99)]

이므로

이렇게 점검하는 것은 casting out nines 보다 modulus가 크기 때문에 훨씬 더 효과적이고, 그래서 결과가 정확할 가능성에 기대도 당연히 커진다. 다시 말하면 “error module 9" 보다 "error modulo 99"가 오차가 적다.