1.3 재미있는 점들

삼각형과 관련 있는 특별한 점이나 선들이 많이 있는데, 이것들 중 단지 몇 개에만 주의를 기울여 살펴보겠다. 그 중 외접원의 중심이 되는 한 점에 대해서는 이미 살펴보았다. 이 점을 삼각형의 외심(circumcenter)이라 하고, 그 원을 삼각형의 외접원(circumcircle)이라 한다.

외심 O는 삼각형의 세 변의 수직 이등분선의 교점이다(그림 1.3A 참조). 원의 반지름을 R이라 표시했다.

그림 1.3A

삼각형의 꼭지점과 그 대변의 중점을 연결한 cevians를 중선(median)이라 한다. 그림 1.3B에서 선분 [eqn: AA prime ,``BB`` prime ,``CC`` prime]은 중선들이고, 따라서, [eqn: BA prime =A prime C,``CB`` prime =B`` prime A,``AC`` prime =C`` prime B]이다.

정리 1.21에 따르면, 중선들은 한 점에서 만난다. 그 교점 G를 삼각형의 중심(centroid)라 한다. 균일한 밀도의 재료를 잘라서 삼각형을 만들어 중선의 교점인 이 점에서 실로 매단다면 그 삼각형은 평형을 이룰 것이다. 중심은 다른 말로 삼각형의 “무게중심(center of gravity)”이라 한다.

그림 1.3B를 다시 보면, 밑변의 길이와 높이가 각각 같기 때문에 [eqn: △GBA prime =△GA prime C]이라는 사실을 알 수 있다. 그러므로, 그 두 삼각형의 넓이를 같은 기호 [eqn: x]라 나타낸다. 같은 이유로, [eqn: △GCB`` prime =△GB`` prime A,```△GAC`` prime =△GC`` prime B]이고, 이 넓이들을 아래와 같이 기호 [eqn: y,``z]로 표시한다. 그런데, [eqn: △CAC`` prime =△CC`` prime B]이므로, [eqn: 2y+z = z+2x]이고, 그러므로, [eqn: x=y]이다. 같은 방법으로 [eqn: △ABA' = △AA'C]이고, 그러므로, [eqn: y=z]이다. 따라서, [eqn: x=y=z]임을 증명하였다. 즉,

정리 1.31. 삼각형은 중선들에 의해 같은 넓이를 가진 여섯 개의 더 작은 삼각형으로 나누어진다.

그림 1.3B

그림 1.3B를 좀 더 살펴보면, [eqn: △GAB = 2△GBA']임을 알 수 있다. 이 삼각형들은 같은 높이를 가지기 때문에 [eqn: AG=2GA']임을 알 수 있다. 같은 이유로, [eqn: BG=2GB`` prime ,`CG=2GC`` prime]임을 알 수 있다.

정리 1.32. 삼각형의 중선은 서로를 2:1의 비로 나눈다. 다시 말하면, 삼각형의 중선은 서로를 “삼등분”한다.

그림 1.3C

변 [eqn: BC,```CA,```AB]에 수직인 cevians [eqn: AD,``BE,``CF] (그림 1.3C)들은 각각 [eqn: △ABC]의 높이라고 한다. 1.2절의 연습문제 2에서 보았듯이, 체바의 정리의 역은 그것들이 한 점에서 만난다는 것을 보여준다. 그 교점 H를 수심(orthocenter)이라 한다.

이 용어의 역사에 대해서는 J.Satterly, Mathematical Gazette 45(1962), p51 을 보아라.

점 [eqn: D,``E,``F] 각각은 자연스럽게 수선의 발이라고 한다. 그 점들을 이어서 [eqn: △ABC]의 수심삼각형(the orthic triangle) [eqn: △DEF]를 얻는다.

그림 1.3D

또 하나의 중요한 cevians은 세 개의 내각의 이등분선이다.

그림 1.3D는 한 내각의 이등분선 [eqn: AL]을 보여준다. 두 삼각형[eqn: ABL]과 [eqn: ALC]에 정리 1.11을 적용하면(보충하자면, 꼭지점 L에서의 두 각은 같은 sin값을 가진다), 다음과 같은 사실을 얻는다.

[eqn: {BL} over {sin {1} over {2} A} `=` {c} over {sin`L}],       [eqn: {LC} over {sin {1} over {2} A} `=` {b} over {sin`L}],

따라서,

[eqn: {BL} over {LC} = {c} over {b}].

내각 [eqn: B]와 [eqn: C]의 이등분선에 대해서도 비슷한 결론을 이끌어낼 수 있으므로, 이제 우리는 다음 정리를 증명했다:

정리 1.33. 삼각형의 내각의 이등분선은 대변을  인접한 변의 길이에 비례하는 길이의 두 선분으로 나눈다.

[eqn: AL]위의 어떤 점이라도(그림 1.3D) [eqn: CA]와 [eqn: AB]에서 이르는 거리가 같다.

비슷하게, 내각 [eqn: B]의 이등분선위의 어떤 점이라도 [eqn: AB]와 [eqn: BC]에서 이르는 거리가 같다. 그러므로, 이 두 개의 이등분선이 만나는 점 [eqn: I]는 세 변으로부터 이르는 거리가 [eqn: r]로 같다:

정리 1.34. 삼각형의 세 각의 안쪽 이등분선들은 한 점에서 만난다.

그림 1.3E

중심이 [eqn: I]이고 반지름이 [eqn: r](그림 1.3E)인 원은 세 변을 접선으로 하고, 따라서 내접원(the inscribed) 또는 incircle(내접원)이다. 그 점 [eqn: I]를 내심(incenter)이라 하고 [eqn: r]을 내접원의 반지름(inradius)라고 한다.

연습문제

1. 둔각 삼각형의 외심과 수심은 삼각형의 외부에 있다.

2. 한 삼각형이 주어졌을 때, 그 삼각형의 중선들과 같은 길이를 가지는 변들로 이루어진 삼각형의 넓이에 대한 주어진 삼각형의 넓이의 비를 구하여라.

3. 두 중선의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

4. 두 높이의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

5. 정리 1.22와 1.33을 이용해서 정리 1.34.를 또 다른 방법으로 증명하여라.

6. 중선 [eqn: AA'](그림 1.3B)의 길이를 [eqn: a,``b,``c]에 대하여 나타내어라.

힌트 : Stewart의 정리를 이용하여라(Section 1.2의 연습문제 4)

7. 각의 이등분선 AL의 길이의 제곱(그림 1.3D)은 [eqn: bc[1-( {a} over {b+c} ) ^{2} ]]이다.

8. 변의 길이가 3, 4, 5인 삼각형에서 직각인 내각의 이등분선의 길이를 구하여라.

9. 삼각형의 두 변의 길이의 곱은 외접원의 지름과 나머지 한 변에 내린 수선의 길이의 곱과 같다.