6.5  [eqn: 1 over n^2]안에서의 근사값

6.4절의 서두에서 어떤 무리수 [eqn: lambda]의 근사값을 구하는 방법에 대해서 공부했다.  [eqn: 1 over2n]범위 안에서 [eqn: m over n]에 의해 [eqn: lambda]의 근사값을 구할 수 있다.

정리 6.3과 정리 6.4에서 [eqn: 1 over kn]에 의해서 근사값을 구해보았다.(단, [eqn: n<=k])

이제 [eqn: 1 over n^2]범위에서 근사값을 구해보자.

정리 6.5 어떤 무리수 [eqn: lambda]가 주어졌다고 하자.

을 만족하는 최소의 범위에서 무한히 많은 유리수 [eqn: m over n]이 있다.

증명. 첫째로 정리 6.4의 방정식을 만족하는 어떤 유리수 [eqn: m over n]은 자동적으로 정리 6.5를 만족하는 것을 보이자.  [eqn: k>=n]일 때, 정리 6.1의 (d),(e),,(g)를 적용하면

따라서 [eqn: -{1 over kn}]과 [eqn: {1 over kn}]사이에 있는 어떤 수는 당연히 [eqn: -{1 over n^2]과 [eqn: {1 over n^2] 사이에 있다.

둘째로 만약 어떤 유리수 [eqn: m over n]이  기약분수가 아닐 때 정리의 부등식을 만족하는 것을 보이고, 그 때, 유리수 [eqn: m over n]이  기약분수이거나 기약분수로 고쳤을 때 부등식을 만족하는 것을 보이자.  최소의 범위에서 [eqn: m over n]의 형태로서 [eqn: M over N]으로 쓰자.  [eqn: n]과 [eqn: N]을 양수라고 가정하자. 음의 부호는 분자에 흡수된다고 하자.

따라서

을 얻을 수 있다.  최소의 범위에서의 약분은 분수의 값을 변경하지 않고 단지 분모의 크기를 줄여준다.

정리 6.1로부터 다음을 얻을 수 있다.

그리고 [eqn: lambda]가 다음 식

을 만족하면 근사적으로 다음 식

을 만족한다.

정리 6.5의 증명을 완성하기 위하여 최소의 범위에서 부등식을 만족하는 무한이 많은 유리수 [eqn: m over n]이 있다는 것을 증명해야 한다.

이에 반하여 이러한 분수들이 유한하다고 가정해보자.

즉, [eqn: i]개 있다고 가정해보자.

이것들은 모두 무리수이고(4장의 정리 4.1에 의해) 모두 0이 아니다.  어떤 것들은 양수이고 나머지는 음수이다. 0과 모든 양수 사이에 있는 [eqn: {1 over k{]과 0과 모든 음수 사이에 있는 [eqn: -{1 over k{]보다 더 큰 정수 [eqn: k]를 선택할 수 있다.  [eqn: {1 over k{]과 [eqn: -{1 over k{]은 0에 점점 가까워진다. 다음 부등식이 거짓이 되는 더 큰 [eqn: k]를 선택해야한다.

(3)

[eqn: k]의 값을 정리 6.4에 적용시키면 다음 식을 만족하는 유리수 [eqn: m overn]을 얻을 수 있다.

이제 [eqn: lambda - m over n]이 [eqn: -{1 over kn] 과 [eqn: 1 over kn]사이에 놓여있고  [eqn: lambda - m over n]이 [eqn: -{1 over k] 과 [eqn: 1 over k]사이에 놓여있다. 즉,

하지만 (3)의 모든 부등식은 거짓이므로 [eqn: m over n]은

과 다르다고 결론지을 수 있다.

따라서 정리 6.5의 부등식을 만족하는 또 다른 유리분수를 얻을 수 있다.

예제. 정리 6.5를 이용하여 무리수 [eqn: pi]의 네 번째까지의 유리근사값을 구해보자.

풀이. 첫째, [eqn: pi]=3.14159…,에서 관찰해보자.

두 식에서 분모 2, 3을 가지는 가장 가까운 유리수를 선택하여 정리 6.3의 방법을 사용할 수 있다.

[eqn: 6 over 2]과 [eqn: 9 over 3]은 최소의 범위가 아니므로 제외시키고 다른 수로 정리 6.5의 부등식을 적용시켜보자. 예를 들어서.

(참)

따라서 [eqn: 13 over 4]과 [eqn: 16 over 5]은 제외시키고 [eqn: 19 over 6]와 [eqn: 22 over 7]는 만족한다. 따라서 질문에 대한 해의 집합은 [eqn: 3 over 1], [eqn: 4 over 1], [eqn: 19 over 6], [eqn: 22 over 7]이다.

유리수 [eqn: 22 over7]는 [eqn: pi]의 매우 좋은 근사값이다.  1과 56 사이에 있는 분모를 가지면서 [eqn: pi]에 가까운 유리수는 없다.  유리수 [eqn: 179 over 57]는 [eqn: 22 over7]보다 약하게 [eqn: pi]에 더 가깝다. 하지만 정리 6.5의 부등식을 만족하지 못한다. 유리수 [eqn: 355 over 113]는 정리 6.5의 부등식도 만족하고 [eqn: 22 over7]보다 뚜렷하게 [eqn: pi]에 더 가깝다. 소숫점 6번째까지는 정확하다.

정리 6.5의 강력한 버전을 증명하는 것은 가능하다.  어떤 무리수 [eqn: lambda]가 주어졌다고 하자. 다음식을 만족하는 무한히 많은 유리수 [eqn: m over n]이 있다.

[eqn: 1 over 4]은 상대적으로 [eqn: pi]에 부족한 근사값이므로 위의 예제에서 제거되어질 수 있다. 정리 6.5의 강력한 버전을 증명하기 위해서  정리 6.4의 강력한 버전이 필요하다. 주요단계만 짚어보고 상세한 것은 독자에게 맡기겠다.

정리 6.4를 증명하기 위하여 디리클레의 비둘기집의 원리(n마리의 비둘기가 m개의 비둘기집에 들어가 있고 n > m이면, 두 마리 이상의 비둘기가 들어가는 비둘기집이 적어도 하나는 존재한다)를 논할 수 있다.

정리 6.4의 강력한 버전을 증명하기 위하여 기본간격을  [eqn: k+1]의 부분간격으로 나누고 다음을 논의해보자. 주어진 수 [eqn: k]가 간격 [eqn: k+1]로 분산되어지면 첫 번째 간격에 있을 수도 있고, 마지막 간격에 있을 수도 있다. 또는 적어도 두 수를 포함한 간격에 있을 수도 있다.  비둘기집의 원리를 이용하면 강력한 부등식

을 증명할 수 있다. 6.5의 증명을 지금 직접 해보기를 바란다.