3.5  [eqn: root6] 과 [eqn: root2`+`root3]의 무리수성

[eqn: root2`+`root3]의 무리수성의 증명은 각각의 정수 2, 3의 나누는 성질을 이용하여 할 수 있다. [eqn: root6]의 무리수성 증명도 그와 비슷하게 할 수 있다.

예를 들어서, [eqn: root2]의 증명과 같이 한다면,

[eqn: sqrt {6} = a over b]라고 가정하자.(여기에서 정수 [eqn: a,`b]는 짝수가 아니다.)

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 6 = {a^2} over{b^2}], [eqn: a^2 = 6b^2].

여기에서 [eqn: 6b^2] 이 짝수이므로 [eqn: a^2]도 짝수이다. 따라서 [eqn: a]도 짝수이다.

[eqn: a=2c]라고 하면 [eqn: a^2 = 6b^2], [eqn: (2c^2 )=6b^2], [eqn: 4c^2 = 6b^2], [eqn: 2c^2 = 3b^2].

여기에서 [eqn: 3b^2]이 짝수이므로 [eqn: b^2]도 짝수이다. 따라서 [eqn: b]도 짝수이다.

하지만 가정에서 [eqn: a,~b] 모두 짝수가 아니라고 했으므로 모순이다.

따라서 [eqn: root6]은 무리수이다.

[eqn: root3] 이 무리수라는 것도 유사한 방법으로 증명할 수 있다.

[eqn: root2`+`root3]가 무리수라는 것을 [eqn: root6]의 경우와 같이 증명해보자.

[eqn: root2`+`root3]이 유리수라고 가정하자. 즉 [eqn: root2`+`root3 =r] 이라고 하자.

양변을 제곱하여 정리하면

[eqn: 2+2root6 +3 = r^2], [eqn: 2root6 = r^2 - 5], [eqn: root6 ={r^2 - 5} over{2}].

유리수는 사칙연산(덧셈, 뺄셈, 곱셈, 0을 제외한 나눗셈)에 의해 닫혀있으므로

[eqn: {r^2 - 5} over{2}]도 유리수이다. 하지만 [eqn: root6]은 무리수이다. 이것은 모순이다.

따라서 [eqn: root2`+`root3]는 무리수이다.

어떤 정수 [eqn: n=a․b]가 주어지고 [eqn: rootn = roota․b]이 무리수라고 한다면 위에서 했던 증명처럼[eqn: roota + rootb]가 무리수라는 것을 추론할 수 있다.

3.6 우리가 사용하는 용어

수의 다양한 분류를 기술할 때 사용하는 단어는 역사적 유산의 한 부분이다.  그리고 그 단어가 어색하다고 해서 바꿀 수는 없다. 예를 들어서, 무리수라는 단어는 통상적으로 상식을 벗어났다는 뜻을 지니고 있다. 하지만 그런 뜻이 있다고 해서 무리수라는 수가  비합리적이라고는 여기지 않는다.  그리스 사람들은 무리수를 발견했을 때 놀랐었다. 왜냐하면 그들은 두 변과 대각선이 주어진 직사각형에서 정수 [eqn: a,~b] 로서 그 선분들의 비를 [eqn: a over b]로 나타내고 수전체에서 그 비를 가지는 수를 유리수라고 했고 그러한 비가 없는 것을 무리수라고 했기 때문이다.

“같은 단위로 잴 수 있는” 라는 단어 또한 두 길이의 비를 나타내는 유리수로 사용되어진다. 같은 단위로 잴 수 있는 두 길이 도한 측정과 같은 의미를 지닌다.

만약  정수 [eqn: k]가 존재하고 첫 번째 선분[eqn: k]를 [eqn: l]등분하고, 두 번째 선분 [eqn: m]을 [eqn: l]등분하면 그 때 두 선분들의 길이의 비는

[eqn: kl overml = k over m].

하지만 선분들이 그렇게 나누어지지 않을 수도 있다. 그럴 때 같은 단위로 잴 수 없다라는 용어를 쓴다.

일반적으로 [eqn: sqrt {2} , root {3} of {24}] 같은 수 즉, [eqn: root {n} of {a}] 여기에서 [eqn: a]는 유리수이고 [eqn: n]은 정수이고 이러한 수를 무리수라고 한다.

실수라는 용어는 과거로부터 내려온 또 다른 유산이다. 만약 오늘날 이름을 붙였다면 일차원수라고 했을 것이다. 어떤 경우에는 실수의 범위를 넘어선 실재하지 않는 것은 수로 간주하지 않는다. 아마도 복소수라는 것을 알고 있을 것이다. 그리고 그 수는 실수를 부분집합으로 가진다.  복소수는 [eqn: a+bi]의 형태로 나타내어지고 여기에서 [eqn: a,~b]는 실수이고 [eqn: i]는 [eqn: i^ 2 =-1]을 만족하는 수이다. 이 정의는 수 분류를 벗어난 부분이다. 이 책에서는 실수로 제한하고 복소수로의 확장은 하지 않겠다.