4.8 Spiral similarity(나선 닮음)

만약 도형이 처음에 확대되고 이동하면, 마지막 도형과 처음 도형의 대응하는 서분은 평행이고 그 결과는 간단히 dilation닮음변환이다. 좀 더 일반적으로 같은 이유로 두 dilation닮음변환의 합(즉 하나의 실행효과 후 다른 dilation닮음변환)은 dilation닮음변환이다. 반면에 처음에 도형이 확대되고 회전한 것은 대응하는 변이 더 이상 평행하지 않다. 게다가 각의 크기와 부호를 보존하는 direct slmilarity일지라도 dilation닮음변환과 회전의 합(other than 항등 또는 반회전)은 dilation닮음 변환이 아니다.

같은 중심에 관한 중심 닮음변환과 회전의 합은 “dilative rotation(확대회전)”이나. spiral similarity(나선 닮음)이라 한다. 잘 알려져 있지 않은 이 변환은 많은 문제해결에 사용되어 질 수 있다.

만약 그림 4.8A처럼 중심 O의 spiral similarity나선 닮음이 [eqn: AB]를 [eqn: A ^{prime `} B ^{` prime }]로 변환하면 [eqn: TRIANGLE OAB]와 [eqn: TRIANGLE OA ^{prime `} B ^{` prime }] 는 directly similar이고, [eqn: ANGLE AOA ^{prime `} = ANGLE BOB ^{` prime }]이다.

게다가 간담한 닮음변환의 경우처럼 확대도의 비는

[eqn: k= {OA ^{prime `}} over {O`A} = {A ^{prime `} B ^{prime `}} over {A``B}]이다.

Spiral similarity는 중심 O, 비 k, 회전각 에 의해 결정되므로 로 표현하자. ( 평소대로 반시계 방향의 회전은 양의 방향, 시계방향은 음의방향이다.)

특히 와 은 각각 그림4.8A와 4.8B로 표현된 형태의 확대변환이고, 는 회전이다.

spiral similarity의 사용의 예를 통해 증명하자.

정리 4.81 중심 [eqn: O _{1} ``,``````O _{2} ``,`````O _{3}]를 가진 정사각형이 [eqn: TRIANGLE ABC]의 변 [eqn: BC``,`````CA``,`````AB]의 외부에 작도되면 선분 [eqn: O _{1} O _{2}]와 [eqn: CO _{3}]는 길이가 같고 서로 수직이다.

그림 4.8B의 표현에서 spiral similarity [eqn: A( sqrt {2} ``,``45 ^{DEG } )]는 [eqn: TRIANGLE CAO _{3}]가 [eqn: TRIANGLE KAB]로 변환되고, [eqn: C( sqrt {2} ``,`-`45 ^{DEG } )]는 [eqn: TRIANGLE O _{1} CO _{2}]가 [eqn: TRIANGLE BCK]로 변환된다. 선분 [eqn: O _{3} C]와 [eqn: O _{1} O _{2}]가 각각 변환된 [eqn: BK]는 공통변이고, 두 변환의 확대의 비 또한 같기 때문에 처음 삼각형의 두 변 또한 같다. 그리고  선분 [eqn: O _{3} C]와 [eqn: O _{1} O _{2}]의 변환 사이의 각은 [eqn: 45 ^{DEG }]와[eqn: -45 ^{DEG }]이므로 0이다. 이것으로 증명은 완성되었다. (세 선분 [eqn: AO _{1`} `,`````BO _{2} ``,``````CO _{3}]는 [eqn: TRIANGLE O _{1} O _{2} O _{3}]의 높이와 공통이다.)

spiral similarity가 중심 닮음변환과 같은 중심에 대한 회전변환의 합으로 정의되어진 것이면 우리는 중심 닮음변환과 별개의 중심을 가진 회전변환의 합이 무엇인지 궁금해진다. 간단하고 놀라운 답-spiral similarity-은 더 이상 direct similarity의 복잡한 종류가 없다는 사실의 결과이다.;

정리 4.82 두 정비례한 닮은 도형(directly similar figures)은 변환(translation)이나 spiral similarity에 의해 설명되어진다.

이를 증명하기 위해 두 정비례한 닮은 도형(directly similar figures)의 대응하는 두 변 [eqn: AB]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]를 생각하자. [eqn: AB]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]가 평행하고 길이가 같으면 transformation변환은 translation이동이다. 이를 보이기 위해 [eqn: AB]의 위가 아닌 [eqn: C]와 그것의 상 [eqn: C ^{prime }]을 두자. 그러면 도형의 direct similarity로부터 삼각형 [eqn: ABC]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime } C ^{prime }]가 합동으로 결론지을 수 있다.; 대응변은 평행하다. 모든 선분과 그들의 상은 평행하고 그 길이가 같으므로  transformation은 translation이다.

다음은 같은 길이가 아닌 [eqn: AB]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]를 생각해보자. (만약에 네 점 [eqn: A`,````B`,````A ^{prime } `,````B ^{prime }]가 사각형을 형성하지 않는다면 그렇게 만드는 대응하는 변의 새로운 쌍을 두고 이를  [eqn: AB]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]라 하자. 예를 들면, 그림 4.8D처럼 [eqn: B]가 [eqn: AA ^{prime }]위의 점이면, A 대신에 [eqn: AB]의 중점을 [eqn: A ^{prime }] 대신에 [eqn: A ^{prime } B ^{prime }]의 중점을 사용하자.) 그러면 그림 4.8C처럼 [eqn: AA ^{prime }]와 [eqn: BB ^{prime }]는 점 [eqn: D]에서 만난다. [eqn: ABD]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime } D]를 지나는 원은 공통점 [eqn: D]를 가지고 다른 점 [eqn: O]에서 다시 만난다. ([eqn: D]에서 접하게 되면 [eqn: D]의 다른 이름으로 [eqn: O]를 두자) 각 [eqn: OAB`,````ODB`,````ODB ^{prime }]와 [eqn: OA ^{prime } B ^{prime }]를 비교하면 [eqn: ANGLE OAB```=``` ANGLE OA ^{prime } B prime]이다. 유사한 방법으로 [eqn: ANGLE OBA```=``` ANGLE OB ^{prime } A prime]이다. 이리하여 directly similar인 [eqn: TRIANGLE OAB]와 [eqn: TRIANGLE OA ^{prime } B prime]는 [eqn: k= {OA ^{prime }} over {OA}]이고, [eqn: theta = ANGLE AOA ^{prime }]인 spiral similarity [eqn: O(`k`,```` theta `)]와 관련된다.

바꾸어 말하면 translation이 아닌 모든 direct similar는 불변점을 가진다. 게다가 그 불변점은 유일하다. [eqn: A`,````B]인 두 점을 두면 불변선분 [eqn: AB] 가 만들어진다. [eqn: k= {AB} over {AB} =1]이기 때문에 similarity는 고정된 두 점을 남기는 isometry동형이다. 만약 이것이 삼각형 [eqn: ABC]가 [eqn: ABC ^{prime }]로 변환한다면 [eqn: C prime]은 [eqn: A]와 [eqn: B]를 중심으로 하고, [eqn: AC]와 [eqn: BC]를 반지름으로 하는 원 위에 위치한다. 와 를 불변으로 하는 유일한 동형 isometries 항등이기 때문에, 이동translation(거리가 0)이고 반사이다. direct가 아니다. (각의 부호가 반대)

예를 들면 투사지에 그려진 다른 축척을 가진 같은 곳의 두 지도를 포개 놓으면 같은 곳을 나타내는 한 점이 있다.

이 생각은 Julius Petersen과 P.H.Schoute(1980)에 의해 다음의 특별한 경우의 아름다운 정리로 발전되어졌다.

정리 4.83 [eqn: ABC]와 [eqn: A ^{prime } B ^{prime } C ^{prime }]가 [eqn: TRIANGLE AA ^{prime } A ^{prime prime } ``,```` TRIANGLE BB ^{prime } B ^{prime prime } ``,```` TRIANGLE CC ^{prime } C ^{prime prime }]가 세 개의  삼각형인 두개의 directly similar 삼각형이면, [eqn: TRIANGLE A ^{prime prime } B ^{prime prime } C ^{prime prime }]는 [eqn: TRIANGLE ABC]로 directly similar이다.

만약 [eqn: TRIANGLE ABC]와 [eqn: TRIANGLE A ^{prime } B ^{prime } C ^{prime }]이 translation에 의해 합동이면 이것은 명백하다. 만약 그렇지 않다면 그림 4.8D처럼 [eqn: ABC]를 [eqn: A ^{prime } B ^{prime } C ^{prime }]로 변환시키는 유일한 spiral similarity [eqn: O(`k`,`` theta `)]를 두자. 단.

[eqn: k= {OA ^{prime }} over {OA} = {OB ^{prime }} over {OB} = {OC ^{prime }} over {OC} ``,~~``` theta = ANGLE AOA ^{prime } = ANGLE BOB ^{prime } = ANGLE COC ^{prime }]

그러면 [eqn: TRIANGLE OAA ^{prime } SIM TRIANGLE OBB ^{prime } SIM TRIANGLE OCC ^{prime }]이다.

[eqn: TRIANGLE AA ^{prime } A ^{prime prime } SIM TRIANGLE BB ^{prime } B ^{prime prime } SIM TRIANGLE CC ^{prime } C ^{prime prime }]

따라서 [eqn: TRIANGLE OAA ^{prime prime } SIM TRIANGLE OBB ^{prime prime } SIM TRIANGLE OCC ^{prime prime }];

[eqn: {OA ^{prime prime }} over {OA} = {OB ^{prime prime }} over {OB} = {OC ^{prime prime }} over {OC} =k prime]

[eqn: ` ANGLE AOA ^{prime prime } = ANGLE BOB ^{prime prime } = ANGLE COC ^{prime prime } = theta ^{prime }] 이고 [eqn: TRIANGLE ABC]를 [eqn: TRIANGLE A ^{prime prime } B ^{prime prime } C ^{prime prime }]으로 변환시키는 spiral similarity [eqn: O(`k ^{prime } `,`` theta ^{prime } `)]이다.

Petersen-Shoute 정리의 다른 특별한 경우는 같은 방법으로 증명된다.

정리 4.84 닮음에 의해 위의 모든 점 가  위의 모든 점 으로 관계될 때, 주어진 비안에서 선분 을 나누는 점들은 구분되고, 동일선상이거나 모두 일치한다.