2장 원의 성질

그리스인들이 기하뿐만 아니라 수학의 다양한 분야에서 풍부하게 연구했지만 그럼에도 불구하고 오늘날 우리는 기하뿐만 아니라 어느 분야에서든 그들을 뛰어넘었다.                                                                   F. Klein

원은 시대에 걸쳐 가장 중요하게 여겨왔다. 그것의 완벽한 형태는 철학자와 천문학자 양쪽 모두에게 영향을 미쳐왔다.  케플러가 그의 법칙을 얻어낼 때까지 행성이 원의 경로가 아닌 다른 무엇으로 움직인다는 생각은 상상도 할 수 없었다.

요즈음 사각형, 직선이라는 단어는 때때로 암시를 떨어뜨리는 것 같다. 하지만 원은 그렇지 않다. 미신의 무의미한 것과 가짜 과학의 명확함은 변함없이 존중할 만하다고 여전히 주장한다.

유클리드가 원과 관련된 삼각형과 다른 다각형의 대부분 재미있는 성질을 발견했던 것보다 우리에게 더 이상의 선물은 없다.

2.1 원에 관한 점의 힘

우리는 유클리드의 정리 두 가지를 다시 상기하며 연구를 시작할 것이다.

Ⅲ.35 원의 두 현이 서로 다른 현을 나눈 후 생긴 부분들의 적

(즉, 그림 2.1 A 에 나타난 것처럼 [eqn: PA TIMESPA prime = PB TIMES PB prime])

Ⅲ.36 원 밖의 똑같은 점 P로부터 그려진 할선과 접선의 비

(즉, 그림 2.1B처럼  [eqn: PA TIMESPA prime = PT^2])

만약 할선의 제한된 형태로서 접선을 고찰한다면 다음과 같은 결과를 얻을 수 있다.

Thm2.11 선분[eqn: AA prime] 과 선분[eqn: BB prime]이 만나는 점을 P라고 하면,  [eqn: PA TIMESPA prime = PB TIMES PB prime].

닮은 삼각형 [eqn: TRIANGLE PAB prime] 과 [eqn: TRIANGLE PBA prime]을 이용한 증명.

[eqn: PA over {PB prime} = PB over {PA prime}].

그림 2.1B에서 닮은 사각형 [eqn: triangle PAT]와  [eqn: trianglePAT prime]을 이용하여 다음 성질을 얻을 수 있다.

[eqn: PA over {PT} = PT over {PA prime}].

즉, [eqn: PA TIMESPA prime = PT^2 = PB TIMES PB prime].

원의 반지름을 R이라 하고, 원의 중심으로부터 P가 d만큼 떨어져 있다고 하자.

(B는 P로부터 [eqn: B prime] 보다 더 멀리 있다.)

[eqn: BB prime]은 P를 통과하는 지름이라 하자.

만약 P가 그림 2.1 A처럼 원안에 있다면

[eqn: AP TIMESPA prime = BP TIMES PB prime = (R +d)(R -d)=R^2 -d^2].

만약 P가 그림 2.1B처럼 원 밖에 있다면

[eqn: PA TIMESPA prime = PB TIMES PB prime = (d +R)(d-R)=d^2 -R^2].

방정식 [eqn: AP TIMESPA prime =R^2 -d^2]은 오일러 공식을 빠르게 증명할 수 있다.

Thm 2.12 O를 외심, I를 내심이라 하자. 삼각형의 외접원의 반지름 R, 내접원의 반지름 r. [eqn: bar OI = d] 라 하자. 그러면 [eqn: d^2 = R^2 -2rR].

그림 2.1C처럼 [eqn: angle A]의 이등분선이 외접원과 만나는 점을 L이라 하자. L은 A를 포함하고 있지 않은 쪽 호 BC의 중점이다.

LM은 BC의 수선이다.

[eqn: alpha= 1 over2 A], [eqn: beta = 1 over 2 B].

[eqn: angle BML = angle BAL =alpha] 이고, [eqn: angle LBC = angle LAC =alpha].

I에서 [eqn: triangle ABI]의 외각 [eqn: angle BIL = alpha + beta =angle LBI] 이므로 [eqn: triangle LBI] 는 이등변삼각형이다.

[eqn: therefore LI = LB].

따라서 [eqn: R^2 -d^2 = LI TIMES IA = LB TIMES IA]

[eqn: =LM TIMES {LB over LM} over {IY over IA} TIMES IY]

[eqn: =LM TIMES {sin alpha } over {sin alpha }TIMES IY]

[eqn: =LM TIMES IY=2Rr].

[eqn: therefored^2 = R^2 -2rR].

반지름이 R인 원과 어떤 점 P가 중심으로부터 d만큼 떨어져 있다면 [eqn: d^2 -R^2]을 원에 관한 P의 power 라 한다.

P가 원 외부에 있으면 [eqn: d^2 -R^2 >0].

원주 위에 있으면 [eqn: d^2 -R^2 =0].

원 내부에 있으면 [eqn: d^2 -R^2 <0].

위 경우의 첫 번째는 [eqn: PA TIMES PA prime = d^2 -R^2]에 의해 이미 알고 있다..

여기서 [eqn: A] 와 [eqn: A prime]은 P와 동일선상에 있는 원 위에 어떤 두 점이다.(Thm 2.1 처럼)

점 P의 power에 대한 이러한 표현은 P의 모든 위치에서 유효하다.

만약 방향이 있는 직선에 대한 뉴턴의 생각을 채택한다면 1차원 벡터 대수에서는 [eqn: AP = -PA].

한 선에 두 개의 방향이 있는 선분의 적은 방향에 따라 양 또는 음의 값을 가진다.  관습적으로  방정식 [eqn: d^2 - R^2 =PA TIMES PA prime]은 유효하다.

만약 P가 원 내부에 있으면  [eqn: d^2 - R^2 =-(R^2 - d^2) = -AP TIMES PA prime =PA TIMES PA prime].

만약 P가 원주 위의 점이면 [eqn: A] 또는 [eqn: A prime] 은 P에 의해 결정되고 [eqn: AP] 또는 [eqn: AP prime]은 0이다.

사실 적 [eqn: PA TIMES PA prime]이 P를 통과하는 할선 또는  현에서 같은 값을 가지고

[eqn: PA TIMES PA prime]을 원에 관한 P의 power 의 정의로 사용한다. power 라는 단어는 1장에서 언급되었던 Jacob Steiner에 의해 처음으로 사용되었다.

연습문제

1. 반지름이 R로 주어진 원에 대해서 점의 power가 가질 수 있는 대수적으로 가장 작은 값은 얼마인가?  어떤 점이 이 임계의 power를 가지는가?

2. 주어진 원에서 [eqn: -R^2]보다 더 큰 상수 power의 점의 궤적은 얼마인가?

3. 만약 점의 power가 양의 값 [eqn: t^2]을 가진다면, 길이  t를 기하학적으로 해석하여라.

4. P에서 두 동심원에 그은 접선이 PT와 PU라 하자.  T가 작은 원의 접점이고 PT가 더 큰 원과 만나는 점을 Q라 하면 그때, [eqn: PT^2 - PU^2 = QT^2].

5. 삼각형의 외접원의 반지름은 최소한 내접원의 반지름의 2배이다.

6. 외접원에 관계된 내접원의 power를 r과 R로 표현하여라.

7. 대칭적인 형태에 따라 1.2절의 연습문제 4번에 있는 stewart's 정리를 표현함

만약 P, A, B, C 가 주어지고 A, B, C가 동일선상에 있다면

[eqn: PA^2 TIMES BC + PB^2 TIMES CA + PC^2 TIMES AB + BC TIMES CA TIMES AB =0].

8. [eqn: triangle ABC]의 무게중심 G를 통과하는 선이 삼각형의 변과 만나는 점을 X, Y, Z라 하자.  방향이 있는 선분의 개념을 이용해서 다음을 증명하여라.

[eqn: 1 OVER GX + 1 OVER GY + 1 OVER GZ = 0].

9. 1마일의 높이의 산 정상으로부터 보여지는 수평선은 얼마나 떨어져 있나?

(지구의 반지름이 7920마일인 것을 이용하여라.)