3.9 Brainchon's theorem

C.J.Brianchon(1760-1854)은 한 원뿔곡선에 외접하는 육각형의 재미있는 정리(파스칼의 이해하기 어려운 방법과 연관있는)를 발견했다.  Brianchon의 증명은 사영기하학에서의 점과 직선의 쌍대성 원리를 적용한다.

원뿔곡선 대신 원인 경우에도 성립하는지에 대한 연구가 유클리드증명을 이용하여 연구되었다.  그 연구는 A.S.Smogorzhvskii[27, pp. 33-34]에 의해 성공적으로 증명되었다.  증명하기에 앞서 다음 lemma를 증명해보자.

한 원 위의 점 [eqn: P]와 [eqn: Q]에서 그은 접선 위의 두 점 [eqn: P prime]과 [eqn: Q prime]을 [eqn: PP prime~=QQ prime]이 되도록 잡자.  그러면 각각 [eqn: P prime]과 [eqn: Q prime]에서 [eqn: PP prime]과 [eqn: QQ prime]을 접선으로 가지는 원이 존재한다.

사실, 그림 3.9A의 전체는 [eqn: PQ]의 수직이등분선 및 [eqn: {P prime Q prime}]의 수직이등분선과 주어진 원의 지름에 대해서 대칭이다.   [eqn: P prime]과 [eqn: Q prime]에서 [eqn: PP prime]과 [eqn: QQ prime]에 직교하는 선을 그으면 만나고 이것은 같은 점에서의 “mid-line” 또는 “mirror”이고, 원이 중심이 된다.

이제 Smogorzhvskii의 증명을 할 준비가 되었다.

정리 3.91 육각형의 모든 여섯 변이 원에 접한다면, 세 개의 대각선은 한 점에서 만난다.

그림 3.9B에서처럼, 여섯 개의 접선 AB, BD, CD, DE, EF, FA의 접점을  R, Q, T, S, P, U라 하자.  육각형 ABCDEF를 볼록다각형이라 가정하면 모든 세 개의 대각선 AD, BE, CF는 내접원의 할선이다.(평행한 가능성은 배제하자).  EF, CB, AB, ED, CD, AF를 연장하여

[eqn: PP prime = QQ prime =RR prime = SS prime = TT prime = UU prime]이 되도록 [eqn: P prime ,Q prime ,R prime ,S prime ,T prime ,U prime]을 잡자. 그리고

[eqn: P prime]과 [eqn: Q prime]에서 [eqn: PP prime]과 [eqn: QQ prime]과 만나는 원 Ⅰ,  [eqn: R prime]과 [eqn: S prime]에서 [eqn: RR prime]과 [eqn: SS prime]과 만나는원 Ⅱ,  [eqn: T prime]과 [eqn: U prime]에서 [eqn: TT prime]과 [eqn: UU prime]과 만나는 원 Ⅲ을 lemma에 일치하도록 작도하자.

우리는 “원 밖의 한 점에서 한 원에 그은 접선의 길이는 같다.”라는 사실을 사용할 것이다.

[eqn: AR=AU] 이고 [eqn: RR prime]=[eqn: UU prime]이므로 덧셈에 원리에 의해 [eqn: AR prime =AU prime].

[eqn: DS=DT] 이고 [eqn: SS prime]=[eqn: TT prime]이므로 뺄셈에 원리에 의해 [eqn: DS prime =DT prime].

따라서 A 와 D는 원 Ⅱ와 원 Ⅲ의 equal power(2.2절)이다. 그리고 AD는 이 두 원의 근축과 일치한다.  마찬가지로 BE는 원 Ⅰ과 원 Ⅱ의 근축이고,

CF는 원 Ⅲ과 원 Ⅰ의 근축이다.  2.3절에서 보았듯이 세 개의 non-coaxal인 원의 근축은 공점을 가진다.  육각형의 대각선은 세 원의 근축으로 나타내어진다. 따라서 이 세 대각선은  non-coaxal인 원과 일치할 수 없다. 이로써 증명이 완벽하게 끝났다.

위의 정리의 역은 사영기하학에 속한다.[7, p.83]

만약 육각형의 세 개의 대각선이 일치한다면, 원뿔곡선의 접하는 여섯 개의 변은 점의 쌍을 새로이 가질 것이다.( 3.5절 연습문제 2번에 있는 육각형

ABDENM에서의 FL처럼).

어떤 연합체에 외접하는 육각형의 허락된 변에 기호를 붙임으로써 외접오각형과 외접사각형에 관한 어떤 재미있는 정리를 추론할 수 있다. 두 개의 일치하는 변의 일반적인 다각형의 경우에 원 또는 원뿔곡선에 만나는 점이 있다.

예를 들어서 그림 3.9C에서 처럼 외접오각형 ABCDE를 고려해보자.

F에서 평각을 가지는 새로운 육각형 ABCDEF를 생각할 수 있고 Brianchon의 정리를 적용하면 다음과 같은 결론을 얻을 수 있다.

“ 점C에서 외접오각형 ABCDE의 변 EA에 선을 그으면 그 선은 AD와 BE의 교점을 지나간다.”

마찬가지로  A와 D에서 원에 접하는 선 FB와 CE를 가지는 외접사각형 BCEF에서도 새로운 육각형을 만들 수 있고, FB와 CE에서 원에 접하는 A와 D를 연결한 선 AD는 대각서 BE와 CF에서 한 점에서 만난다.

연습문제

1. 그림 3.9D에서, 원과 만나는 다른 두점을 연결한 PQ 또한 대각선의 교점을 지난다.

2. 그림 3.9D에서 육각형 ABQCEF를 생각해보자. 어떤 선이 일치하는가?

3. Brianchon의 정리를 1.4절 연습문제 3에도 적용할 수 있는가?