§2.2 The radical axis of two circles

〔정리1.2.21] 동심원이 아닌 두 원에 대한 파워가 같은 점들의 집합은 두 원의 중심을 연결한 선분의 수선이다.

Cartesian 직교 좌표에 따르면, 두 점 와 의 거리 의 제곱은

이다. 따라서 점의 중심이 이고 반지름이 인 원에 대한 파워는

이 된다. 특히. 원 자신은 점에 대한 파워가 0이기 때문에 방정식

(2.22)

을 가진다. 과 같은 형식의 방정식은 점 으로부터 상수값 만큼의 거리를 가진 점들인 점들의 집합으로써 원을 나타낸다.

원이

(2.23)              ()

와 같이 표현되면, 임의의 점 에 대한 파워는 방정식의 좌변, 즉

과 같이 표현된다.

중심이 로 같고 반지름이 다른 원도 다른 값 를 사용한 같은 형태의 방정식을 가진다. 그리고 중심이 다른 어떤 원이든

(2.24)            ()

와 같은 형태의 방정식을 가진다. 따라서 동심원이 아닌 두 원에 대해서도 정리 2.21이 성립하므로 우리는 방정식 (2.23)와 (2.24)을 자유롭게 사용할 수 있다.

두 원에 대한 파워가 같은 점 의 집합은

이 된다. 따라서 를 지우면, 이 점들은 집합은

인 직선이다. 두 중심이 축에 놓이게 선택하면, 우리는 두 원을 좀더 간편한 형태

(2.25)    ,       ,  (이때, )

로 나타낼 수 있다. 그러면 점의 집합은

가 된다. 중심이 놓인 [eqn: x]축과 수직이고 [eqn: y]축엔 평행이다. 이 직선은 원에 대해서 기하학적으로 정의되므로(원에 대한 파워가 같은 점들을 포함하는 것으로), 우리는 그림 2.2A처럼 축 자체를 이 직선으로 생각할 수 있다. 따라서 두개의 동심원이 아닌 원을 다음과 같이 간단한 형태로 나타 낼 수 있다.

(2.26)         ,

따라서 이 집합은  이 된다. 역으로, 모든  위에 있는 모든 의 점들은 두 원에 대해서 같은 파워를 가진다.

이것으로 증명을 끝났다.

물론 우리는 두 원의 표현을 곧바로 (2.25)와 같은 형태로 표현했으면 좀 더 짧게 할 수 있었다. 그러나 그렇게 했다면 “(2.23)과 같이 표현된 원에 대해서 의 점들의 파워는 방정식의 좌변과 같은 형태이다”라는 아름다운 보조정리를 잃었을 것이다. 동심원이 아닌 두 원에 대해서 같은 파워를 가진 점들의 집합을 radical axis 라 부른다. 그림 2.2B와 같이 두 원이 A와 A′에서 교차하는 특별한 경우에는 두 원에 대해서 파워가 0인 점들의 집합 즉, radical axis은 간단히 직선 AA′이다. 비슷하게 그림 2.2C와 같이 두 원이 접하면, 그들의 radical axis은 접선이 된다.

EXERCISE

1. 주어진 두 원에 대하여 같은 거리를 갖는 점들의 집합은 무엇인가?

2. 두 원의 중심으로부터의 거리가 반지름들의 합보다 큰 것은 언제인가? 이 때, 두 원들은 네 개의 공통 접선을 가진다. 이 네 개의 선분의 중점들은 동일 직선 상에 존재한다.

3. ,,,,,을 공통변 에 대해 같은 방향에 존재하는 여섯 개의 비슷한 삼각형이라고 하자. (이 중 세 개는 그림 2.2D와 같은 모양이고 나머지는 선분 의 수직이등분선에 대해 대칭이다.) 이들 삼각형의 선분 위에 있지 않는 나머지 꼭지점들(라고 이름 붙이면)은 모두 같은 원 상에 존재한다.

(힌트: 원에 대한 두 점 ,의 파워를 비교해 보아라.)

4. 앞의 방정식 2.23에서 주어진 ,에 대하여 의 값은 무엇을 나타내는가?

5. 주어진 두개의 동심원이 아닌 원의 radical axis을 작도로 나타내어라.

작도는 한 원이 다른 한원을 에워싸고 있을 때만유효하다?