3.8 파스칼의 정리

정리 3.81. 육각형의 여섯 개 꼭지점 모두가 원 위에 있고 세 쌍의 대변이 각각 한 점에서 만나면 그 세 교점은 일직선 위에 있다.

(증명) 그림 3.8A는 육각형 [eqn: ABCDEF]의 다양한 배열 중 하나이다. (59가지의 다른 가능한 방법 중 하나로 다시 연결된다면 이 증명이 부분적으로 변경되어야함을 쉽게 알 수 있다.) 다음의 세 교점이 일직선위에 있음을 증명하고자 한다.

[eqn: L=AB`․`DE``],   [eqn: M=CD`․`FA``],  [eqn: N=BC`․`EF``]

그림 3.8A에서 보는 것처럼 세 선분 [eqn: AB,```CD,``EF]  는 삼각형 [eqn: UVW] 를 형성한다. 정리 3.41을 삼각형 [eqn: UVW]의 변 위의 세 점의 쌍들인 [eqn: LDE,```AMF`,```BCN] 에 적용하면, 다음과 같은 식을 얻는다.

[eqn: {VL} over {WL} {WD} over {UD} {UE} over {VE} ```=`1] , [eqn: {VA} over {WA} {WM} over {UM} {UF} over {VF} ```=`1] ,  [eqn: {VB} over {WB} {WC} over {UC} {UN} over {VN} ```=`1]

이 세 식을 함께 곱하는 한편, 정리 2.11(p.28)을 사용하면,

[eqn: {WD} over {UD} {UE} over {VE} {VA} over {WA} {UF} over {VF} {VB} over {WB} {WC} over {UC} ```= {UE TIMES UF} over {UC TIMES UD} {VA TIMES VB} over {VE TIMES VF} {WC TIMES WD} over {WA TIMES WB} =`1] 이고,

남은 부분은 [eqn: {VL} over {WL} {WM} over {UM} {UN} over {VN} ```=`1] 이다.

따라서, [eqn: L,``M,``N] 은 일직선위에 있다.

세 점 [eqn: L,``M,``N] 을 지나는 직선을 육각형 [eqn: ABCDEF]의 파스칼 직선이라 부른다. 3.7장에서 본 것처럼, 같은 6개의 점은 60가지의 육각형을 결정하므로 결과적으로 (일반적으로) 그 점들은 60가지의 파스칼 직선을 결정한다. 이 60개의 직선은 중 어떤 집합은 한 점에서 만나고, 만나는 그 한 점들 중 어떤 집합은 일직선위에 있는 등 매우 재미있는 모양을 이룬다.

파스칼은 이 정리가 원에 내접하는 육각형뿐만 아니라 원추곡선에 내접하는 육각형에도 똑같이 적용될 수 있음을 잘 알고 있었다. 이 정리의 역은 William Braikenridge 와 Colin MacLaurin에 의해 독립적으로 증명되었는데, 사영 기하 에 관한 책에서 찾을 수 있다.

만약, 육각형의 세 쌍의 대변이 일직선상에 있는 세 점에서 만난다면, 그 여섯 개의 꼭지점은 원추곡선위에 있는데, 그 원추곡선은 한 쌍의 직선으로 퇴화될 수 있다(정리 3.51).

내접하는 육각형의 꼭지점들을 병합시키는 것을 허락하면서 그 점들에 주의깊게 기호를 붙이면, 내접하는 오각형이나 사각형에 관한 재미있는 정리를 이끌어낼 수 있다. 변의 양 끝점이 한 점이 되도록 일치시켜가는 경우에는 그 점을 지나는 직선이 그 점에서 원(또는 원추곡선에) 접하게 된다.

예를 들면, 그림 3.8B에서 보여진 내접하는 사각형 [eqn: ADBE]를 생각해보아라.

교차하는(crossed) 사각형 [eqn: ABDE]를 [eqn: B=C] 이고 [eqn: E=F] 인 퇴화한 육각형으로 생각하면 파스칼의 정리를 적용할 수 있다. 즉, 점 [eqn: B]와 점 [eqn: E] 에서의 접선이, [eqn: AB,`DE]의 교점 [eqn: L]과 [eqn: BD,`EA]의 교점 [eqn: M]을 연결한 직선 위의 점 [eqn: N]에서 만난다는 결론을 얻을 수 있다.

연습문제

1. 육각형의 여섯 개의 꼭지점 중 다섯 개가 원 위에 있고, 세 쌍의 대변이 일직선 위에 있는 세 점에서 각각 만난다면 여섯 번째 꼭지점도 같은 원 위에 있다.

2. 평행한 변이 없는 cyclic quadrangle [eqn: ABDE]에 대하여, 점 [eqn: A]와 [eqn: C]에서의 접선들은 [eqn: AB,`CE]의 교점과 [eqn: BC,`EA]의 교점을 연결한 직선위에서 만난다.