2.7 심슨 직선에 대한 더 많은 고찰

심슨 직선은 재미있는 성질을 많이 가지는데, 그것들 중 몇 가지는 연구할만한 가치가 있을 것이다. 먼저 그림 2.7A를 관찰하면, 그것은 수선 [eqn: PA _{1}]이 외접원과 점[eqn: U]에서 만나고 선분 [eqn: AU]가 그어져있다는 것을 제외하면 그림 2.5A와 똑같다.

[eqn: PAUC]와 [eqn: PB _{ 1}A _{ 1}C]는 원에 내접하는 사각형이므로 다음과 같은 사실을 알 수 있다.

[eqn: ∠PUA] = [eqn: ∠PCA] = [eqn: ∠PCB _{ 1}] = [eqn: ∠PA _{ 1}B _{ 1}]

따라서, 선분 [eqn: AU]는 심슨 직선 [eqn: A_{ 1}B _{ 1}]에 평행이다.

그림 2.7A

그림 2.7B

이제 점 [eqn: P]에서의 심슨 직선과 다른 점 [eqn: P`` prime]에서의 심슨 직선을 비교해보자(물론, 외접원 위의 점). 이 두 심슨 직선 사이의 각은 간단히 두 심슨 직선에 평행한 직선 [eqn: AU]와 [eqn: AU`` prime]사이의 각 [eqn: UAU`` prime]이다(그림 2.7B). [eqn: BC]에 수직인 두 현 [eqn: PU]와 [eqn: P`` prime U`` prime]은 각각 평행이고, 같은 길이의 호 [eqn: PP`` prime]와 [eqn: UU`` prime]을 자른다. 그러므로,

[eqn: ANGLE UAU`` prime = {1} over {2} ANGLE UOU``'`= {1} over {2} ANGLE POP``']

이거나, 만약, 양의 각과 음의 각을 구별한다면,

[eqn: ANGLE UAU`` prime = {1} over {2} ANGLE UOU`` prime `= - {1} over {2} ANGLE POP`` prime]

이다.

따라서, 다음과 같은 정리를 증명하였다.

정리 2.71. 외접원 위의 두 점 [eqn: P]와 [eqn: P`` prime]에서의 심슨 직선들 사이의 각은 호 [eqn: P`` prime P]의 중심각의 크기의 반이다.

만약 P가 외접원 위를 일정한 속도로 회전한다고 상상하면, 직선 [eqn: AU]는 점 [eqn: A]를 중심으로 그 반대 방향으로 각 속도의 절반 속도로 회전해서, [eqn: P]가 전체 원주 위를 돌 때까지 그 방향이 반대가 된다. 한편, 심슨 직선은 회전 중심을 연속적으로 바꾸면서 상응하는 방법으로 회전할 것이다. 사실상, 심슨 직선은 deltoid 혹은 “Steiner's hypocycloid"[20]라는 아름다운 대칭적인 곡선을 품는다. 그 움직임은 T.J. Fletcher의 심슨 직선이라는 영화(film)에 매우 명확하게 묘사되어 있다.

이것은 책의 원문에는 없습니다. 이해를 돕기 위해 참고 사이트와 점 P 가 회전할 때 심슨 직선의 자취 그림을 올려둡니다.

※ 참고 사이트 : http://mathworld.wolfram.com/Deltoid.html

점 P가 원위를 회전할 때

점 P에 대한 심슨 직선의 자취

그림 2.7C

연구를 계속하여, 그림 2.7C를 고찰해보면, 보조선 [eqn: HP,```D` prime P](점 [eqn: Q]에서 [eqn: BC]와 만나는), [eqn: HQ](연장하면 [eqn: V]에서 [eqn: PU]와 만나는)를 더 그려 넣은 그림 2.4B와 그림 2.7A의 조합이다.

[eqn: HD` prime]과 [eqn: PV]는 둘다 [eqn: BC]에 수직이기 때문에 식(2.43)에 의해 삼각형 [eqn: QHD` prime]와 [eqn: QPV]는 이등변삼각형이다. 다른 말로 표현하면, [eqn: HV]는 [eqn: D` prime P]를 [eqn: BC]에 대해 대칭이동한 상이다.

[eqn: ANGLE D`'HV= ANGLE PVH`=` ANGLE D`` prime PU`= ANGLE D`` prime AU]

이기 때문에, 직선 [eqn: HV]는 [eqn: AU]에 평행인데, [eqn: AU]가 [eqn: P]에서의 심슨 직선에 평행이라는 것은 이미 보였다.

마지막으로, [eqn: △PHV]에서 심슨 직선 [eqn: A _{1} B _{1}]은 변 [eqn: HV]에 평행이고 점 [eqn: A _{1}]에서 변 [eqn: PV]를 이등분한다는 것을 알 수 있다. 그러므로 그것은 남은 변 [eqn: PH]를 이등분한다.

정리 2.72. (외접원 위의) 한 점에서의 심슨 직선은 수심과 그 점을 연결하는 선분을 이등분한다.

이것은 단지 심슨 직선이라는 주제에 대한 소개에 불과하다.

심슨 직선은 다른 많은 성질을 가지고 있는데, 아쉽지만 다른 글들로 남겨야만 한다.

연습문제

1. 외접원 위에서 지름의 반대편에 놓여있는 점들에 대한 심슨 직선들은 서로 다른 것과 수직이고, 9점 원위에서 만난다.

2. [eqn: ABC]를 중심 O인 원에 내접하는 이등변삼각형이라고 하고, 점 [eqn: P]를 원 위의 임의의 점이라고 하자. 그 때 점 [eqn: P]의 심슨 직선은 반지름 [eqn: OP]를 이등분한다.