5.5 수직성

원의 보전으로부터 각의 보전으로 작은 한 걸음을 디뎌보자. 두 점에서 교차하는 두 원 사이의 각은 그 교점에서 두 원들의 접선이 이루는 각으로 자연스럽게 정의된다. 두 윈의 중심을 지나는 선에 대한 대칭에 의해,  그 각들은 두 교점에서 같은 크기임은 명백하다. 중심이 [eqn: O]인 원에 대한 반전에 의해 그 각들이 어떻게 영향을 받는지 알기 위해, 그림 5.5A에서처럼 점 [eqn: P]를 지나는 두 직선 [eqn: a,&& b] 가 이루는 각 중 하나를 [eqn: theta]라 하자. 그림 5.3B에 대한 토론(109쪽)에서, 우리는 직선 [eqn: a]가 점 [eqn: O]를 지나고 점 [eqn: O]에서 직선 [eqn: a]와 평행한 접선을 갖는 원 [eqn: alpha]로 반전된다는 걸 알아보았다. 유사하게 직선 [eqn: b]는  점 [eqn: O]를 지나고 점 [eqn: O]에서 직선 [eqn: b]와 평행한 접선을 갖는 원 [eqn: beta]로 반전된다. [eqn: theta]가 점 [eqn: O]에서 이들의 접선이 이루는 교각 중의 하나이므로, 그것은 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 교각 중의 하나가 된다. 그러나 이 원들은 점 [eqn: O]에서뿐만 아니라 점 [eqn: P]의 반점인 점 [eqn: P']에서도 만난다. 그래서 똑같은 각 [eqn: theta]는 점 [eqn: P']에서도 나타난다.

독자들은 [eqn: a] 또는 [eqn: b]가 점 [eqn: O]를 지날 때 어떤 변화가 필요한지 쉽게 알 수 있다. ( 만약 두 직선이 점 [eqn: O]를 지난다면, 그들은 그들 자신으로 반전되고, [eqn: theta]의 변화량은 즉시 사라진다.)

점 [eqn: P]를 지나는 임의의 두 원에 대하여, [eqn: a]와 [eqn: b]를 점 [eqn: P]에서 그들의 접선이라 하자. 반전돤 원들은 점 [eqn: P']에서 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]와 접한다. 그래서

정리 5.51 만약 두 원이 각 [eqn: theta]로 만난다면, 그들의 반전도 똑같은 각 [eqn: theta]로 만난다.

두 원이 직각으로 (두번) 만난다면 그들은 수직이다고 하고, 즉 어느 교점에서든지 간에 각각의 접선은 다른 원의 지름이 된다. 정리 5.51의 특별한 경우로 우리는 다음 정리를 알아본다.

정리 5.52 수직으로 만나는 원들은 수직으로 만나는 원들로 반전된다.

그림 2.1B(28쪽)의 점 [eqn: P]를 점 [eqn: O]로 바꾸면, 그림 속의 원이 두 개의 반점들 [eqn: A]와 [eqn: A']을 지나는 임의의 원으로 간주될 수 있다. 그 때,

[eqn: k^2 = OA TIMESOA' = OB TIMESOB' = OT^2] 이기 때문에, 점 [eqn: O]를 지나는 또 다른 선분 [eqn: BB']은 또다른 반점들의 쌍인 [eqn: B]와 [eqn: B']을 제공한다 ; 그리고 점 [eqn: O]로부터 접선들은 그 자신이 반점이 되는 접점 [eqn: T]를 가지는데, [eqn: T]는 반전 원인 [eqn: omega] 위의 점이다.

정리 5.53  [eqn: omega]에서 서로 서로 반전이 되는 다른 두 점들을 지나는 임의의 원은 그 자신의 반전이고 [eqn: omega]와는 수직이다.

역으로, [eqn: omega]와 수직인 모든 원은 그 자신의 반전이다. 왜냐하면, 만약 원이 점 [eqn: T]에서 [eqn: omega]와 만나고, 점 [eqn: A]는 원 위의 또다른 점이면 직선 [eqn: OA]는 다음 조건을 만족하는 점 [eqn: A']에서 다시 원과 만난다.

[eqn: OA TIMES OA' = OT^2 = k^2].

게다가, 만약 [eqn: omega]와 수직인 두 원이 교차한다면, 그들의 교점은 반전의 쌍이다. 왜냐하면, 만약 점 [eqn: A]가 이 점들 중 하나라면, 직선 [eqn: OA]는 점 [eqn: A]의 반점에서 각 원과 다시 만나기 때문이다.

이 요점은 우리가 수직성의 용어에서 반전을 다시 재정의할 수 있게 하고, 그래서 사실상 반전에 대한 역 "inversive"의 정의를 얻게 된다.

[eqn: omega]를 한 직선으로 바꾸게 되면, 직선에 대한 대칭은 원에서의 반전의 특수한 경우로 간주할 수 있다고 유추할 수 있다.

반전의 역정의로부터  원 [eqn: alpha]와 ([eqn: alpha] 내에서 반전되는) 두 반점들은 원 [eqn: alpha']과 ([eqn: alpha'] 내에서 반전되는) 두 반점들로 ([eqn: omega] 내에서) 반전된다. 우리는 지금   반전이 [eqn: alpha]의 중심 [eqn: A]에 어떻게 영향을 미치는지를 발견하는 방식에서 반전과 유틀리드의 생각을 조합해볼 수 있다. 처음에 점 [eqn: A]가 [eqn: alpha']의 중심으로 반전될 것으로 기대해 볼 수 있다 ; 그러나 그것은 얼마나 단순한 생각인가! (원 [eqn: alpha]와 원  [eqn: omega]가 동심원일 때조차 일어나지 않는다.) 사실, [eqn: alpha]와 두 반점([eqn: alpha] 내에서)들 점 [eqn: A]와 [eqn: P_ INF] 는  ([eqn: omega] 내에서) [eqn: alpha']과 두 반점([eqn: alpha'] 내에서)들 [eqn: A']과 [eqn: O]으로 반전된다. 그래서 [eqn: A'](원 [eqn: omega] 내에서 [eqn: A]의 반점)은 [eqn: alpha']의 중심이 아니라 점 [eqn: O]의 ([eqn: alpha'] 내에서) 반점이다. (그림 5.5B를 보라.)

연습문제

1. 주어진 원 [eqn: omega]와 원 밖의 점 A에 대해 [eqn: omega]와 수직인 중심이 [eqn: A]인 원을 작도하라.

2. 원 [eqn: omega]와 반점이 되지 않는 두 점 [eqn: P]와 [eqn: Q]에 대해, [eqn: omega]와 수직이고 두 점 [eqn: P]와 [eqn: Q]를 지나는 원을 작도하라.

3. 점 [eqn: P]와 점 [eqn: P]를 지나지 않는 두 원 [eqn: omega_1]과 [eqn: omega_2] 에 대해, [eqn: omega_1]과 [eqn: omega_2] 모두에 수직이고 점 [eqn: P]를 지나는 원을 작도하라.

4. 만약 [eqn: omega] (중심이 [eqn: O], 반지름이 [eqn: k]) 가 원 [eqn: alpha]를 원 [eqn: alpha']로 반전시킨다면, 원 [eqn: alpha]와 [eqn: alpha']에 관하여 점 [eqn: O]의 power들 사이의 관계는 무엇인가?

5. 임의의 원 [eqn: alpha]와 [eqn: alpha] 위의 점 [eqn: P]와 [eqn: alpha] 위에 있지 않는 점 [eqn: O]에 대해, 점 [eqn: P]에서 [eqn: alpha]에 접하면서 점 [eqn: Q]를 지나는 원이 오직 1개뿐임을 증명하시오. ( 그림 5.5C )