3.5 Pappus's theorem

이제 우리는 평면기하에서 가장 중요한 정리 중의 하나에 이르렀다.  그것은 서기 300년 경에 알렉산드리아의 파푸스에 의해서 처음으로 증명되었지만 거의 16세기 후반 언저리까지도 사영기하의 토대로서의 역할은 인식되지 못했다. 적절하게도 파푸스는 고대의 마지막 위대한 기하학자로 불리었다. 그의 명성을 낳은 그 특별한 정리는 다양한 방식으로 서술되었다고 해도 무방하다. 다음은 그 중의 하나이다.

정리 3.51.    만약 A, C, E가 한 직선 위의 세 점이고, B, D, F가 다른 직선 위에 있다면, 그리고 선분 AB, CD, EF가 각각 선분 DE, FA, BC와 만날 때 세 교점 L, M, N은 동일한 직선 위에 있다.

이 정리의 사영적 성질은 그것이 각이나 길이의 측정과 관계없는 순전히 방향에 관한 정리이고 배열에 대한 어떤 기준조차도 없다는 사실에서 드러난다.

한 직선 위의 세 점의 각 집합들에서 하나가 다른 두 점 사이에 놓여있다는 것은 중요하지 않다. 그림 3.5A는 그러한 작도 방법 중의 하나이지만, 그림 3.5B는 타당한 또 다른 작도이다.

우리는 L, M, N에 적당하게 다시 이름을 정해주는 것으로  A, B, C, D, E, F 문자를 돌아가면 순환시킬 수 있다. 사영기하의 방향을 우리를 너무 멀리 데려가는 무한점을 포함하지 않기 위해서, 세 직선 AB, CD, EF가 그림 3.5C처럼 삼각형 UVW를 형성한다고 가정하자.

그러면, 다음을 얻을 수 있다.

[eqn: {VL} over {LW``} ` {WD} over {DU`} `` {UE} over {EV``} ``=`-1],   [eqn: {VA} over {AW``} ` {WM} over {MU U`} `` {UF} over {FV``} ``=`-1]

[eqn: {VB} over {BW``} ` {WC} over {CU`} `` {UN} over {NV``} ``=`-1],    [eqn: {VA} over {AW``} ` {WC} over {CU`} `` {UE} over {EV``} ``=`-1],   [eqn: {VB} over {BW``} ` {WD} over {DU`} `` {UF} over {FV``} ``=`-1]

처음의 세 결과와 다음의 두 결과를 각각 곱한 다음에 처음 얻은 결과를 두 번째 얻은 결과로 나누어서 다음을 얻어낸다.

[eqn: {VL} over {LW``} ` {WM} over {MU`} `` {UN} over {NV``} ``=`-1],

이로서  L, M, N이 한 직선 위에 있음을 알 수 있다.

연습문제

만약 A, C, E 가 한 직선 위의 세 점이고, B, D, F 가 다른 직선 위에 있다면, 그리고  AB와 CD가 각각 DE 와 FA에 평행하다면, EF는 BC와 평행이다.

만약 직선 AE, DM, NB가 한 점에서 만나고, 직선 AM, DB, NE 가 한 점에서 만나는 그러한 여섯 개의 점 A, B, C, D, E, F, N, M 가 여섯 개의 점이라면 세 직선 AB, DE, NM 에 관해서 말할 수 있는 것은 무엇인가?

평행사변형 AEBD의 변 AE와 BD 위에 각각 점 C와 점 F가 있다.  CD와 FA의 교점을 M,  EF와 BC의 교점을 N이라 하자.  직선 MN이 DA와 만나는 점을 P, EB와 만나는 점을 Q라 하면 AP = QB임을 보여라.

그림 3.5A (또는 그림 3.5B)에서 이름 붙여진 점과 직선들의 개수는 얼마인가?  각 점을 지나는 직선들의 개수는 얼마인가?  각 직선 위에 있는 점들의 개수는 얼마인가?