4.3 Half-turn

회전이동중의 하나는 평행이동과 같이 모든 선을 평행한 선으로 변환시키는 성질을 가지고 있다. 이것은 각 반직선을 반대위치에 일직선의 반직선으로 변환시키는 half-turn 또는 회전이동이다. 명백히  half-turn은 그것의 중심에 의해서 결정된다. 평행이동은 각각의 반직선을 평행한 반직선으로 변환시키기 때문에 ,연속적으로 적용된 두 번의  half-turn의 효과는 평행이동의 효과와 똑같다.: 잛게 말하면, 평행이동은 두 번의 half-turn 의 합이다.(만약에 두 번의  half-turn 이 같은 중심을 가진다면 결국은 항등변환이 된다.)

좀 더 정확히 말하자면 , 만약 점 A, B, C 가 한 직선 위에 위치하고, 점B가 선분AC의 중점이라면 , 점A에 대한  half-turn 은 점 A를 그대로 두고, 그리고 점B에 대한   half-turn 은 점A를 C로 가져간다. 따라서, 이러한 두 번의   half-turn 은 평행이동 [eqn: vec{AC}] 이다. 그리고 이것은 B와 C에 대한   half-turn 의 합도 마찬가지이다

그림 4.3A 는  [eqn: O _{1}]과 [eqn: O _{2}] 에 대한 half-turn 의 합을 그린 것이다. 선분 AB는 먼저 (반대위치에 일직선인)[eqn: A^{ ′}B ^{ ′}] 로 변환된다. 그리고, 다음으로  [eqn: A^{ ″}B ^{ ″}] 로 변환된다. 따라서 그 합은 평행이동 [eqn: vec {AA ^{'' } }=vec {BB ^{'' } }]이다.

많은 오래되고 친숙한 정리들이  half-turn을 사용할 때 증명되어진다. 그림 4.3B에서 , [eqn: O]는 두 선분 [eqn: AC] ,[eqn: BD] 의 중점이다. 선분 [eqn: AB]가 선분[eqn: CD]가 되는[eqn: O] 에 대한 half-turn은 [eqn: ABCD]가 평행사변형임을 보여준다.

다시, 그림 4.3C에서, [eqn: M]과 [eqn: N] 은 선분[eqn: AB] 와 선분[eqn: AC] 의 중점일 때, 우리는 이 두 점에 대한   half-turn의 합이 평행이동 [eqn: vec {MM ^{ ″ } } =vec {BC ^{ ″ } }]임을 알 수 있다.

연습문제

1.[eqn: A]는 두개의 만나는 원들의 교점이다. 두 개의 원이 똑같은 길이의 현들로 잘라지는 [eqn: A]를 지나는 선을 그어라.

2.주어진 원 점[eqn: A]를 지나면서 주어진 원과 만나는 점 [eqn: P,Q] 가 [eqn: AP=PQ~]의 성질을 가지는 선을 그어라.

3.육각형의 마주보는 변들의 길이가 같고 평행하다면, [eqn: diagonals](마주보는 꼭지점들을 연결하는 선) 는 한 점에서 만난다.