7장. 초월수의 존재성

우리는 초월수의 존재를 어떻게 알 수 있을까? 이 질문에 대한 답은 마지막 장에 서 소개하겠다. 초월수의 존재를 보이는 것은 초월수가 아주 다름을 보여주는 것으로 쉽게 보일 수 있다. 십진법 전개식에서 대게의 수가 0으로 이뤄지는 중요한 구조를 갖고 있는 독특한 수가 있다.

이것을 [eqn: alpha]로 표시하고 이 값을

[eqn: alpha =0.1100010000 CDOTS]

으로 하고 1은

1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040,⋯

번째의 소수 자리에서 나타난다. 즉

[eqn: 1!,```2!,```3!,```4!,```5!,```6!,``` CDOTS]

의 소수 자리에서 나타난다. [eqn: k]가 자연수 일 때, [eqn: k!]는 “[eqn: k] 팩토리얼” 로 읽고 그것은 1부터 [eqn: k]까지의 자연수의 곱을 나타낸다. 즉,

[eqn: k!=1 BULLET 2 BULLET 3 BULLET CDOTS (k-2) BULLET (k-1) BULLET k].

[eqn: alpha]의 십진법 전개식에서 위의 팩토리얼 자리를 제외하고는 모든 자릿수가 0이다. 결과적으로 [eqn: alpha]는 10의 음의 거듭제곱의 합으로 나타낼 수 있다. 즉,

(1)	[eqn: alpha] = [eqn: 10 ^{-1`!`} +10 ^{-2!} +10 ^{-3!} +10 ^{-4!} +10 ^{-5!} + CDOTS]

= [eqn: 10 ^{-1``} +10 ^{-2} +10 ^{-6} +10 ^{-24} +10 ^{-120} + CDOTS]

= [eqn: 0.1+0.01+0.000001+ CDOTS]

이 수 [eqn: alpha]를 Liouville 수 라고 한다. Liouville은 초월수의 존재를 처음으로 증명한 프랑스 수학자이다.

초월수 [eqn: alpha]가 대수적이지 않다는 것을 증명하기 위해 사용할 수 있는 정리는 무엇이 있을까? 그것에 대한 대답은 [eqn: alpha]가 무한히 많은 유리수 [eqn: {m} over {n}]

7.1 약간의 대수적 준비

[eqn: a]를 양수나 음수나 0과 같은 어떤 실수라고 하자. 임의의 실수 [eqn: a]에 대하여 “절댓값 [eqn: a]”를 정의하고 기호로 [eqn: LEFT | a RIGHT |]로 나타내자. [eqn: a]가 양수나 0이라면, 절댓값 정의에 의해 [eqn: LEFT | a RIGHT | =a]가 된다. 만약 [eqn: a]가 음수라면 정의에 의해 [eqn: LEFT | a RIGHT | =-a]가 된다. 예를 들어,

[eqn: LEFT | 0 RIGHT | =0], [eqn: LEFT | 7 RIGHT | =7], [eqn: LEFT | -4 RIGHT | =4], [eqn: LEFT | -6 RIGHT | =6],

[eqn: LEFT | 3 RIGHT | =3], [eqn: LEFT | -5 RIGHT | =5], [eqn: LEFT | -1000 RIGHT | =1000]

[eqn: a]가 양수인지 음수인지에 따라 정의를 나누는 대신에, 우리는 [eqn: a]의 절댓값을 [eqn: sqrt {a ^{2}}]은 절대 음수 값이 나오지 않는다는 편의성을 이용하여 간단한 방정식으로 정의할 수 있다.

(2)	[eqn: LEFT | a` RIGHT | = sqrt {a ^{2}}]

하나의 기본적인 결과는 만약 두 수가 같다면, 그것의 절댓값도 같다는 것이다. 기호로는 만약 [eqn: a=b]이면, [eqn: LEFT | a RIGHT | = LEFT | b RIGHT |]이다. (2)의 정의로 얻는 간단한 결과는 [eqn: a]와 [eqn: -a]의 절댓값이 같다는 것이다. 기호로는 [eqn: LEFT | a RIGHT | = LEFT | -a` RIGHT |]이다.

또 다른 중요한 결과는 [eqn: LEFT | ab RIGHT | = LEFT | a RIGHT | BULLET LEFT | b RIGHT |]이다. (2)를 이용하여 쉽게 증명할 수 있다.

[eqn: LEFT | a RIGHT | = sqrt {a ^{2}}], [eqn: LEFT | b RIGHT | = sqrt {b ^{2}}], [eqn: LEFT | ab RIGHT | = sqrt {a ^{2} b ^{2}} = sqrt {a ^{2}} BULLET sqrt {b ^{2}}],

이므로

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | BULLET LEFT | b RIGHT |]

다음으로 [eqn: LEFT | a+b RIGHT |]는 [eqn: LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]과 어떤 연관이 있을까? 우리는 [eqn: LEFT | a+b RIGHT | <= LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]임을 쉽게 보일 수 있다. 복소수까지 확장할 수 있는 삼각부등식이라고 알려진 이것을 증명하기 위해 몇 개의 경우로 나누어 보자. 만약 [eqn: a]와 [eqn: b]가 둘 다 양수라면,

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | =a+b],     [eqn: LEFT | a RIGHT | =a],     [eqn: LEFT | b RIGHT | =b]

이므로

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |].

만약 [eqn: a]와 [eqn: b]가 둘 다 음수라면,

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | =-a-b],     [eqn: LEFT | a RIGHT | =-a],     [eqn: LEFT | b RIGHT | =-b]

이므로

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |].

만약 [eqn: a]와 [eqn: b]의 부호가 섞였다면, 즉 하나는 양수이고 다른 하나는 음수라면, [eqn: a+b]는 약간의 소거가 생기고 따라서 우리는

[eqn: LEFT | a+b RIGHT |]는 적어도 [eqn: LEFT | a RIGHT |]와 [eqn: LEFT | b RIGHT |]보다 작다

말할 수 있다. 따라서 [eqn: LEFT | a+b RIGHT | < LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]이다.

만약 하나가 [eqn: 0]이라면, 예를 들어 만약 [eqn: b=0]라면,

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a+0 RIGHT | = LEFT | a RIGHT |],	[eqn: LEFT | b RIGHT | = LEFT | 0 RIGHT | =0]

이어서

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |].

모든 경우를 종합해보면,

[eqn: LEFT | a+b RIGHT | = LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]이거나 [eqn: LEFT | a+b RIGHT | < LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]

이다.

절댓값에 대한 이런 결과를 모아보면 다음 정리가 성립한다.

[정리 7.1] 모든 실수 [eqn: a,```b]에 대하여, 다음이 성립한다.

(1) 만약 [eqn: a=b]이면, [eqn: LEFT | a RIGHT | = LEFT | b RIGHT |]이다.

(2) [eqn: LEFT | a RIGHT | = LEFT | -a` RIGHT |]

(3) [eqn: LEFT | ab RIGHT | = LEFT | a RIGHT | BULLET LEFT | b RIGHT |]

(4) [eqn: LEFT | a+b RIGHT | <= LEFT | a RIGHT | + LEFT | b RIGHT |]

다음으로, 우리는 약수 정리를 대수적으로 증명할 수 있다.

[정리 7.2] [eqn: f(x)]를 정수 계수를 가지는 다항식이라고 하자. 그리고 [eqn: beta]를 [eqn: f(x)=0]의 실수 근이라고 하자. 그러면 [eqn: x- beta]는 [eqn: f(x)]의 약수이다. 즉, [eqn: f(x)=(x- beta )q(x)]을 만족하는 다항식 [eqn: q(x)]가 존재한다. 게다가. [eqn: q(x)]는 유리수 계수를 가지고, [eqn: f(x)]의 차수보다 1 작다.

증명. 만약 [eqn: f(x)]가 [eqn: x- beta]로 나누어진다면, 몫 [eqn: q(x)]와 나머지 [eqn: r]이 생긴다. 나머지의 차수는 나누는 수의 차수보다 작아야 하므로([eqn: x- beta]가 1차식이므로), [eqn: r]은 [eqn: x]와는 독립적인 상수이다. 따라서

[eqn: f(x)=(x- beta )q(x)+r],

이고 이른바 유리수 연산 과정이라 할 수 있는 나눗셈 과정에 의해서 [eqn: q(x)]는 유리수 계수를 가지게 된다. 위의 방정식은 [eqn: x]에 대한 항등식이므로, [eqn: x] 대신에 [eqn: beta]를 대입하면 [eqn: f( beta )=r]을 얻는다. 그러나, [eqn: f( beta )=0]이므로 [eqn: r=0]이 된다. 따라서 [eqn: f(x)]는 [eqn: x- beta]에 의해 나눠지고 나머지 0을 갖는다. 따라서 [eqn: f(x)=(x- beta )q(x)]이다. 결과적으로 [eqn: f(x)]의 차수가 무엇이든 [eqn: q(x)]의 차수는 [eqn: f(x)]의 차수보다 1이 작다.