2.4 Cyclic quadrangle ; Brahmagupta's formula

예를 들면 E=5, V=4. 이 경우 1개의 대각선을 가진 사각형이다. 이 대각선의 이동은 앞에서 언급한 자유각을 제공한다.

네 변의 길이가 이고 각각의 변이 나머지 세 변의 길이보다 작으면 이들은 볼록사각형의 각 변이다. 자유각은 네 점이 한 원 위에 존재한다.처럼 추가될 때까지 두 대각이 증가하거나 감소하게 한다.

내접 사각형의 대각선을 과 이라 하자.(그림 3.2A의 첫 번째 그림처럼) 사각형 는 대각선 에 의해 절개되고, 을 뒤집어 다시 합치면 새로운 사각형 가 생기고 같은 원에 내접한다.(그림 3.2A의 두 번째 그림처럼) 한 대각선은 여전히 이다. 내접사각형 는 다른 대각선 에 의해 절개된다. 을 뒤집어 다시 합치면 세 번째 사각형 가 생기고, 같은 원에 내접한다.(그림 3.2A의 마지막 그림) 세 번째 사각형은 첫 번째 그림의 대각선 의 절개에 의한 것이므로 그것의 대각선은 이고, 가능한 다른 종류의 변화는 없다.(를 로 완벽하게 뒤집은 경우를 제외하고)

2.61에서 Ptolemy's 정리에 의해

,  ,

이 사각형들은 볼록다각형이므로 각각의 넓이는 두 삼각형의 넓이의 합으로 나타낼 수 있다. 묘사된 방법으로 뒤집어진 삼각형은 넓이의 변화가 없다. 그러므로 세 개의 사각형은 같은 넓이를 가진다. ( 의 길이는 각각 같지만 어느 두개도 ;합동은 아니더라도) 이 내용을 간단히 요약하면 다음 문장으로 나타내진다. ;

정리 3.21 네 개의 다른 길이를 가지고, 각각이 다른 세 변의 합보다 작을 때 같은 넓이를 가지는 세 개의 다른 내접 사각형

따름정리 내접사각형의 넓이는 대칭함수이다.

이 대칭함수의 정확한 법칙은 A.D 7세기 힌두 수학자 Brahmagupta에 의해 발견되었다.

정리 3.22 내접사각형이 를 변으로 가지고, 둘레 길이의 절반을 S라 하고 넓이를 K라 하면

Brahmagupta의 고d식을 취한 간단한 방법 중 하나는 삼각법의 사용이다. 그림 3.2B처럼 내접사각형  , 변 가 만나는 점을  , 변 가 만나는 점을  , 다른 두 점을 이은 대각선을 이라 하자. (내각 를 간단히 라 하자.)

이므로  , .

코사인 법칙에 의해서

(3.221)

따라서

이면

이므로

단  . 이것으로 증명은 완료되었다.

정리 3.22에서 이면 세변의 길이가 이고 인 삼각형의 넓이에 관한 Heron공식이다.;

이것은 알렉산드리아 헤론이후에 이름지어졌지만.......

Brahmagupta의 다른 발견은 cyclic 사각형의 특별한 성질을 다루고 있다. ;

정리 3.23  내접사각형이 P에서 만나는 수직인 대각선을 가진다면 P를 지나는 한 변에 수직인 직선은 대변을 이등분한다.

그림 3.2C에서 보면 내접사각형 가 서로 수직인 대각선 와 를 가지고 가 에 수직이며, 와 에서 만날 때

.

따라서 삼각형 는 이등변삼각형이다. 같은 방법으로 삼각형 도 이등변삼각형이다.()

따라서

<연습문제>

1. 를 변으로 가진 사각형이 한 원에 내접하고 다른 원에 외접한다면 그것의 넓이를 라 할 때 임을 보여라.

2. 삼각형의 각변의 길이가 다음과 같을 때 헤론의 공식을 이용하여 삼각형의 넓이를 구하여라.

(ⅰ) 13,  14,  15

(ⅱ) 3,  14,  15

3. 삼각형에서 내접원의 반지름 을 를 사용하여 표현하여라.

4. 1.4절의 표현법에서

이고 임을 보여라.

5. 그림 3.2A의 표현에서

임을 보여라.

6. 이면 5번 문제의 결과는 어떻게 되는가?

7. 를 변으로 가지는 볼록사각형이 반지름이 인 원에 내접할 때 넓이를 라 하면 임을 보여라.

8. 내접사각형의 두 대변의 연장선이 만나는 점을 , 다른 두 대변의 연장선이 만나는 점을 라하자. 그러면 와 의 두 내각의 이등분선은 수직임을 보여라.

9. 직사각형  평면위에 한점 를 두었을 때 임을 보여라.

10. 사각형이 원에 내접할 때 원위의 한점에서 두 대변에 이르는 거리의 곱은 다른 두 대변에 이르는 거리의 곱과 같고, 같은 점에서 대각선에 이르는 거리의 곱과도 같다.