1.5  The Steiner-Lehmus theorem

우연히 마주친 누구에게나 특별한 매력을 발휘하는 것처럼 보이는 여러 개의 기하문제들이 있다. 이것은 오랜 옛날부터 기하학의 특성처럼 보인다. 누군가는 고대의 세 가지 유명한 문제 - 정육면체의 배적, 임의 각의 삼등분, 원과 넓이가 같은 정사각형-를 떠올릴 것이다. 이러한 문제를 해결하기위한 시도들은 수학에서 많은 새로운 분야들의 발전을 이끌어내었다. 바로 지금도, 이 문제들의 해법을 보내는 수학자들과 그들의 오류를 증명하려는 독자들이 있다.

언제나 흥미를 불러일으키는 한 정리가 다음과 같이 쓰여져있다:

정리 1.51  두 각의 이등분선(꼭지점으로부터 대변까지 측정된)의 길이가 같은 삼각형은 이등변삼각형이다.

1840년, 이 정리는 C.L.Lehmus가 C.Sturm에게 편지를 보내 이론적인 기하 증명을 부탁했다. Sturm은 그 것을 여러 수학자들에게 언급했다. 이 도전에 처음으로 대답한 이는 위대한 스위스 기하학자 Jacob Steiner 였고, 그것은 Steiner-Lehmus의 정리로 알려졌다. 이 연구결과는 1842년, 1844년, 1848년, 1854년부터 1864년까지 거의 매년, 그리고 다음 백년동안 정기적으로 여러번 다양한 잡지에 출판되었다.

가장 간단한 증명 중의 하나는 다음 두 보조정리를 사용하여 증명되었다.

보조정리 1.511. 한 원 위의 두 현이 원 위의 한 점에 크기가 다른 예각을 대하고 있으면, 크기가 작은 각이 더 짧은 현에 속해있다.

증명. 두 개의 (길이가) 같은 현은 중심에서 (크기가) 같은 각에 대하고, (중심에서 크기가) 동일한 각은 원주 위의 적당한 점에서 (큰 각의 절반이 되는) 같은 각을 대한다. 두 개의 크기가 다른 현에서, 크기가 짧을수록, 중심에서부터 더 멀리 있고, 대각의 크기가 더 작고 당연하게 원주 위에서 더 작은 예각을 대한다.

보조정리 1.512. 서로 다른 두 각을 가진 삼각형이면, 각이 작을수록 내부의 이등분선의 길이가 더 길다.

증명.  [eqn: ABC`]를 삼각형이라고 하자. 그림 1.5A†와 같이 [eqn: B PREC C```]이다. [eqn: BM``]과 [eqn: CN``]을 각[eqn: B``]와 [eqn: C``]의 이등분선이라 하자. 우리는 [eqn: BM`` SUCC CN``]임을 증명하고자 한다. [eqn: ANGLE M``'CN= {1} over {2} B``]인 [eqn: M`'``]를 [eqn: BM``]위에 두자. 이것은 [eqn: ANGLE M`'BN``]과 같아서, 네 점 [eqn: N``,````B``,````C``,```M`'``]은 한 원 위에 있다.

[eqn: B```` PREC {1} over {2} (B+C)``` PREC {1} over {2} (A``+`B```+`C``)``]

[eqn: ANGLE CBN``` PREC ANGLE M` prime CB``` PREC 90°`]

보조정리 1.511에 의하여, [eqn: CN``` PREC M`` prime B``].  그러므로 [eqn: BM```` SUCC BM``'`` SUCC CN`].

정리 1.51의 증명. 어떤 정리가 동치인 “대우명제” 형태로 표현되는 것은 자주 있는 일이다. 이를테면, 모든 사람은 죽을 수 밖에 없는 운명이다 라고 말하는 대신에 영원한 것은 인간이 아니다. 라고 할 수 있다. 정리 1.51을 증명하는 대신, [eqn: TRIANGLE ABC```]에서, [eqn: B`` != C``], 이면 [eqn: BM`` != CN``]  임을 증명하면 충분할 것이다. 하지만, 이것은 보조정리 1.512의 당연한 결과이다.

아치볼드 핸더슨(Archibald Henderson)은 버나드 쇼(Bernard Shaw)의 많은 일대기 중의 하나를 썼고, 3차 평면 위의 27개의 선(The twenty-seven lines upon the cubic surface) 라는 논문도 썼다.

그의 글, Lehmus-Steiner-Terqem 문제에 대한 포괄적 조망 The Lehmus-Steiner-Terquem problem in global survey(Scripta Mathematica, 21, 1955, pp. 223-232, 309-312)에서 그는 증명의 유사성을 Lehmus 자신에게 있다고 생각했다. 대우명제로 그 정리를 대체하는 발상은 필연적으로 정확하게 위와 같이 보조정리 1.512를 추론하여 증명한 Victor Thebault (Mathesis, 44, 1930, p.97)의 글에서 나타났다.

핸더슨은 Lehmus의 증명과 Steiner에 의한 초기의 증명에 대해서는 그것들이 직접증명이 아니기 때문에, 다소 불운했던 것처럼 보여진다.  그는 [eqn: B``` != C```]인 상황을 고려하지 않고, [eqn: BM```=`CN``]이라고 생각하기를 더 선호했다. 알려진 증명들 중의 대다수[e.g. 5, p.73]가 마찬가지로 간접증명이다. 이른바 몇몇 직접증명들[e.g. 6, Answers to the Exercises, p. 2]이 제안되어졌다 ; 하지만 외면상 직접증명인 그것들은 실제로 간접증명이다. 이런 경우를 생각보자. 실제 문제로서 완벽하게 증명되는 아주 기본이 되는 정리를 떠올려보자. 그 밖의 여러 가지 것들은 이미 알고있는 다른 정리(: 곧바로 공리로 가고 있는 모든 정리의 고리)들의 도움으로 증명된다. 이 도움정리들의 어느 하나라도 간접증명이 있다면 당연히 직접증명이라고 주장할 수 없다. 그렇다면, 간접증명이 된 아주 간단하고 기본적인 정리 중의 몇 개; 그 결과로서, 우리가 직접적으로 완결지었다고 주장한다면,  우리의 정리의 축적은 하찮기짝이 없는 것으로 몰락하게 될 것이다. 관찰이 비통함의 원인인가? 위대한 영국의 수학자 G. H. Hardy [15, p. 34]의 말이다.  :“유클리드가 그토록 사랑한 , 귀류법은 수학자의 가장 좋은 무기이다. 그것은 어떤 체스의 수보다 더 멀고 멋진 수이다. : 체스선수는 졸이나 심지어 한 구역을 희생물로 시도하기도 하지만, 그러나 수학자들은 게임을 시도한다.”

연습문제

1.  [eqn: B```=`12 DEG]이고 [eqn: C```=132 DEG `]인 삼각형 [eqn: ABC``]에서 [eqn: BM``]과 [eqn: CN``]을 서로 맞은 편에서 끝나는외각의 이등분선이라 하자. 삼각함수를 쓰지 않고 각의 이등분선의 길이를 비교하여라.

2.  만약 우리가 Bottema의 삼각형([eqn: B`` PREC C``])임을 부정할 수 있는 사람은 없다는 에 적용하려고 시도한다면 정리 1.51이 성립하지 않는 부분은 어디인가?

3. 1.3단원의 연습문제 7을 이용하여 Steinet-Lehmus 정리를 직접증명법으로 증명하여라.