6장

사영기하학의 소개

지금 기하학과 삼각법을 배우고 있기 때문에, 문제를 하나낼 것이다. 배 한 척이 대서양을 항해하고 있다. 모직 화물을 싣고 보스톤을 떠났다. 총량은 200톤이다. 하브르를 향하고 있고 12명의 승객이 타고 있다. 바람은 동남풍. 시각은 오후 3시 15분. 때는 5월. 선장의 나이는 몇 살일까?

구스타브 플로베르트

지금까지 고려된 모든 변환은 점들을 점들로 보냈다. ‘사영’ 평면의 가장 대표적인 특징은 점들을 직선들로 직선들을 점들로 보내는 변환을 할 수 있게 하는 듀얼(이중성)의 원칙이다.  다소 반전과 닮은, 어떤 한 변환은 고정된 원에 대한 “대응([eqn: reciprocation])”이다. 중심 [eqn: O]를 제외한 모든 점은 하나의 직선으로 대응되고, 중심 [eqn: O]를 지나지 않는 모든 직선은 한 점으로 대응되며, 모든 원은 “촛점”을  [eqn: O]로 가지는 “원추곡선”으로 대응된다. 원추곡선의 다양한 종류에 대한 토론 후에, 우리는 반전기하학과 사영기하학의 주의깊은 비교를 하며 이 장을 마칠 것이다.

6.1 대응

반전의 변수로서, 우리는 (108쪽, 5.3절에서) 중심이 [eqn: O]이고 반지름이 [eqn: k]인 원 [eqn: omega]를 이용하였다. 각 [eqn: P] ([eqn: O]와는 다른)는 [eqn: P]의 극선(polar)이라 불리우는 대응하는 직선 [eqn: p]를 결정한다; 그것은 [eqn: P]의 반전을 지나고 직선 [eqn: OP]에 수직인 직선이다( 그림 6.1A을 보시오). 역으로, 각직선 [eqn: p]([eqn: O]를 지나지 않는)는 [eqn: p]의 극(pole)이라 불리우는 대응점 [eqn: P]를 결정한다; 그것은 [eqn: O]로부터 극선 [eqn: p]까지의 수선의 발의 반전이 된다. 그림 5.3A에서 [eqn: P]와 [eqn: P']을 맞바꿈으로서, [eqn: P]가 [eqn: omega]의 외부에 있을 때 그것의 극선은 [eqn: P]로부터 두 개의 접선과의 교점을 잇는다. 좀더 명확하게, [eqn: P]가 [eqn: omega] 위에 있으면 극선은 [eqn: P]에서의 접선이 되고 이것은 [eqn: P]와 [eqn: p]가 우발적([eqn: p] 위에 [eqn: P], 그리고 [eqn: P]를 지나는 [eqn: p])으로 일어나는 유일한 경우이다. 점들 [eqn: A,] [eqn: B], …의 극선들을 직선 [eqn: a], [eqn: b], …로 놓고, 임의의 직선의 극은 대응하는 대문자로 나타내는 모순없는 표시법을 채택하는 것이 유용하다.

임의의 [eqn: A]에 대하여 ([eqn: O]를 제외한), 그림 6.1.B 에서처럼 [eqn: A']를 그것의 반전이라 하고 [eqn: a]를 그것의 극선이라 하자. [eqn: a] 위의 임의의 [eqn: B]에 대하여 [eqn: OB]에 수직인 [eqn: AB'] 를 그려라. 그때 [eqn: TRIANGLE OAB']∼[eqn: TRIANGLE OBA'], 그리고

[eqn: OB TIMES OB'= OA TIMES OA' = k^2].

그래서 [eqn: B']이 [eqn: B]의 반전이고, [eqn: AB']은 [eqn: B]의 극선 [eqn: b]이다. 역으로 [eqn: A]를 지나는 임의의 직선 [eqn: b](직선 [eqn: OA]를 제외한)는 우리가 똑같은 그림을 다시 재구성할 수 있게 하는 수직선 [eqn: OB]를 이끌어낸다. 우리는 결론적으로 다음을 증명했다:

정리 6.11  만약 [eqn: B]가 [eqn: a] 위에 있다면, 그때 [eqn: b]는 [eqn: A]를 지난다.

[eqn: A]를 잡고 [eqn: a]가 고정된 후 [eqn: B]와 [eqn: b]를 다양하게 변화시켜보면, ([eqn: O]를 지나지 않는) 직선 [eqn: a] 위의 모든 점들의 극선들은 그것의 극 [eqn: A]를 지나는 직선이다. 다시 말하면, 일직선 위에 있는 점들의 집합의 극선들은 한 점에서 만나는 직선들의 집합이다.  점들과 직선들이 그들의 극선들과 극들로 변환되는 이 투사 - 보존의 과정을 대응([eqn: reciprocation])이라 한다. 그것은 어떤 직선들 위에 놓여있는 어떤 점들로는 점들과 직선들의 구성을, 어떤 점들을 지나는 어떤 직선들로는 직선들과 점들이라는 이중의 구성이 있다는 것을 설명하는 이중성의 원칙을 자연스럽게 이끈다. 예를 들면, 완전 사각형 [eqn: ABCD]( 어떠한 3개의 점도 일직선 위에 있지 않는 4개의 점과 그들의 6개의 연결직선 [eqn: AD], [eqn: BD], [eqn: CD], [eqn: BC], [eqn: CA], [eqn: AB]로 구성되는)의 듀얼은 네모꼴의 [eqn: abcd](어떠한 3개의 직선도 한 점에서 만나지 않는 4개의 직선들과 [eqn: a∙d], [eqn: b∙d], [eqn: c∙d], [eqn: b∙c], [eqn: c∙a], [eqn: a∙b] 의 교점 6개로 구성되는) 이다.

원은 점들의 궤적 또는 직선(접선)들의 포락선으로 간주될 수 있다. (그림 6.1C를 보시오.) 각 접선은 할선의 두 “끝점”이 일치하게 근접할 때의 할선의 극한적 위치이다. 반대로, 접촉하는 각 점은 두 접선이 일치하게 근접할 때의 두 접선의 교점의 극한적 위치이다. 그래서 대응([eqn: reciprocation])은 궤적들과 포락선들을 교환한다. 궤적 또는 포락선으로 간주되는 원 [eqn: omega]는 정반대의 양상으로 똑같은 원으로 대응(교환)된다. 유사하게, 중심이 [eqn: O] 이고 반지름이 [eqn: r]인 원은 반지름이 [eqn: k^2 over r]인 동심원으로 (똑같은 변화의 양상을 띄며) 대응된다

주어진 정리와 작도의 듀얼은 다음의 “사전”대로 어떤 용어상의 변화를 만들며 아주 단순하게 얻어질 수 있다. (한 쪽 열의 단어는 다른 쪽 열의 단어로 대치되어야만 한다.)

점 위에 있다 두 점을 잇는 직선 한 점에서 만난다 사각형 극 궤적 접선	직선 지난다 두 직선의 교점 일직선 위에 있다 네모꼴의 극선 포락선 접촉의 점

두 점들과 두 직선들이 정리 6.11의 습관적 방식과 관련될 때(하나가 다른 하나의 극선 위에 놓이기 위해), [eqn: A]와 [eqn: B]를 켤레 점들이라 부르고 [eqn: a]와 [eqn: b]를 켤레 직선들이라 부른다. 그래서 [eqn: A]의 극선은 [eqn: A]와 켤레인 점들의 궤적이고, [eqn: a]의 극은 [eqn: a]와 켤레인 직선들의 포락선이다. (원의 반지름을 0으로 만듦으로써, 점이 그것을 지나는 직선들의 “포락선”이 된다는 생각을 정당화할 수 있다.) 특히, 접선 [eqn: a] 위의 임의의 점은 자기 자신이 켤레인 점인 접점 [eqn: A]와 켤레이고,  ([eqn: omega] 위의) [eqn: A]를 지나는 임의의 직선은 자기 자신이 켤레인 직선인 접선 [eqn: a]의 켤레이다.

([eqn: O]를 지나지 않는) 직선 [eqn: AB]의 극은 [eqn: A]와 [eqn: B]의 두 극선 위에 있고, 그래서 이것은 교점 [eqn: a∙b]로 묘사될 수 있다. 예를 들면,  그림 6.1D에서처럼 만약[eqn: A]와 [eqn: B]가 [eqn: omega] 위에 있다면, 할선 [eqn: AB]의 극은 접선 [eqn: a]와 [eqn: b]의 교점이다. 반대로, 원 [eqn: omega] 밖의 임의의 점은 두 개의 접선 [eqn: a]와 [eqn: b]에 놓여 있고 그것의 극선은 접점 [eqn: A]와 [eqn: B]를 잇는 할선으로 작도될 수 있다. 어떤 직선 [eqn: p]는 [eqn: omega]의 외부의 몇 개의 점들을 포함한다. 만약 [eqn: p]가 지름이 아니라면, 그것의 극 [eqn: P]는 모든 이러한 외부의 점들의 극선들 위에 있어 그것들 중 2개의 극선들의 교점으로 작도될 수 있다. 반대로, 임의의 점 [eqn: P]가 몇 개의 할선 위에 있다. 만약 그것이 [eqn: O]와 일치하지 않는다면, 그것의 극선 [eqn: p]는 모든 이러한 할선들의 극들을 포함하고 그들 중 2개의 극들을 잇는 직선으로 간주될 수 있다. 우리는 다음과 같은 결론들을 추가할 수 있다:

정리 6.12 임의의 할선 [eqn: AB](지름이 아닌)의 극은 [eqn: A]와 [eqn: B]에서의 접선의 교점이다. 임의의 외부의 점의 극선은 이 점으로부터 그을 수 있는 두 개의 접선의 접점들을 잇는 직선이다. 임의의 직선 [eqn: p](지름을 제외한)의 극은 [eqn: p] 위에 두 개의 외부의 점들의 극선들의 교점이다. 임의의 점 [eqn: P](중심을 제외한)의 극선은 [eqn: P]를 지나는 두 개의 할선들의 극들을 잇는 직선이다.

대응의 원(reciprocating circle) [eqn: omega]와 모든 그것의 접선이 주어지면, 이러한 작도가 어떠한 측정도 없이 오직 점들과 직선들의 발생만을 포함한다는 것을 알게 되는 것은 가치 있는 일이다. 이 주안점은 사영기하학의 특징이다.

연습문제

1. 중심이 [eqn: O]인 원 [eqn: omega]에 관하여, ([eqn: O]를 제외한) 임의의 점 [eqn: A]의 극선은 두 개의 원들의 근축으로 작도될 수 있다: [eqn: omega]와 지름이 [eqn: OA] 위에 있는 원.

2. [eqn: A]와 [eqn: B]의 극선들 사이에 한 교각은 [eqn: ANGLE AOB]의 크기와 같다.

3. 중심이 [eqn: O]인 정 [eqn: n]각형의 꼭지점들과 (직선들로 간주되는)변들은 다른 [eqn: n]각형의 변들과 꼭지점들로 대응된다.

4. 중심이 [eqn: O]인 사각형은 직사각형은 마름모꼴로 대응된다.