§1.8 The nine-point circle (구점원)

〔정리1.81〕세 높이의 수선의 발, 각 변의 중점, 그리고 세 꼭지점과 수선을 연결한 선분의 세 중점은 모두 같은 원위에 놓여있다.(이때 이 원의 반지름은 이다.)

증명> 문제를 쉽게 하기 위해서 그림 1.7A에서 몇 개의 선을 지우고, 몇 가지를 첨가하여 그림 1.8A와 같은 그림을 얻자. 이 그림에서 무었을 얻을 수 있는 보자. 삼각형의 세 높이위의 선분 , , 의 중점을 각각 ,,이라고 하자. 변 가 두 삼각형 와 의 공통변이므로, 두 변 와  은 변  평행한다.(그리고 길이는 절반이다.) 비슷하게 변 가 두 삼각형 와 의 공통변이므로 두 변 과 은 에 평행한다.(그리고 길이는 절반이다.) 따라서 은 평행사변형이다. 변 와 가 직교하므로, 이 평행사변형은 직사각형이다. 비슷하게 은 직사각형이다.(물론 도 직사각형이다.) 따라서 변 , , 은 그림 1.8B와 같이 원의 세 지름이 된다.

이 직각이므로, 이 원(가 지름인)은 점 를 통과한다. 비슷하게 와 도 지난다.

〔정리1.82〕nine-point 원의 줌심은 Euler line에 놓여 있고, (삼각형의) 수심과 방심의 중점이다.

증명>  J.V.Poncelet에 따르면 우리는 이 원을 삼각형의 “nine-point 원”이라 부른다. 세 점 , , 은 정확히 ,, 의 반대편에 있기 때문에, 삼각형  나 중에 하나를 half-turn(180°회전)하여 다른 한 개로 옮길 수 있다. 분명히, 이 두 합동 삼각형을 서로 교환하는 half-turn(180°회전)은 수심 와 외심를 교환한다. 따라서 nine-point 원의 중심은 선분 의 중점이다.

(우리가 이미  nine-point center의 역할을 하기 위해 이라고 표기한 점)

이 두 정리의 역사는 다소 혼돈스럽다. B.Bevan이 1804년 English저널에 소개한 문제는 그 당시에는 이미 알고 있다고 생각했다. 그 당시의 사람들은 때때로 실수로 “수심 삼각형과 중심 l삼각형은 같은 외심을 가진다.”를 일찍이 1765년에 증명한 사람이 Euler이라고 여겼다. 실은 대륙의(북미대륙쪽) 학자들은 종종 그 원을 “Euler 원”이라 부르기도 한다. 처음으로 완결한 증명은 1821년 출판된 Poncelet에 나타나있다. K.Feuerbach가 Euler의 불완전한 결과를 뒤늦게 재발견했고, 그 이상의 정리을 첨가하였다. 이 정리은 놀랄만큼 뛰어나서 현재까지도 많은 학자들이 nine-point 원을 “Feuerbach 원”이라 부르게 할 정도이다. Feuerbach의 정리(5.6절에서 증명하게 될)는 “nine-point 원은 모든 네 개의 tritangent원과 접한다.”이다.