2.5 Simson lines

한 점 [eqn: P``]에서 삼각형 [eqn: ABC``]의 각 변(또는 그의 연장선)에  수선을 내리면, 수선의 발은 일반적으로 삼각형 [eqn: A _{1} B _{1} C _{1``} ``](단원 1.9에서 논의한 수족선 삼각형)의 꼭지점을 이룬다. 이제 그림 2.5A 와 같이 점 [eqn: P``]가 원주 위에 있는 예외적인 경우에 대해서 검토해보자. 명확하게 하기 위하여, 점 [eqn: P``]를 [eqn: A``]에서 [eqn: B``] 방향의 건너편에 있는 [eqn: B``]를 포함하지 않는 호 [eqn: CA``]위에 두자.  모든 다른 경우들은 [eqn: A``,```B``,````C``]를 다시 이름 붙여서 얻을 수 있다. 왜냐하면 [eqn: A _{1} ,````B _{1} ,``]그리고 [eqn: C _{1} ``]에서 직각이기 때문에 [eqn: P``] 역시 삼각형 [eqn: A _{1} B`C _{1} ``,````A _{1} B _{1} C``] 그리고 [eqn: AB _{1} C _{1} ``]의 원주 위에 놓인다. 그러므로

[eqn: ANGLE APC````=``180 DEG ``-``B````=` ANGLE C _{1} PA _{1} ``]

그리고, [eqn: ANGLE APA _{1} ``]를 덜어내면,  다음과 같이 생각할 수 있다.

[eqn: ANGLE A _{1} PC````=` ANGLE C _{1} PA``]

그런데, 점 [eqn: A _{1`} `,````C```,```P``,````B _{1``}]가 원 위에 있으므로

[eqn: ANGLE C _{1} PA````=` ANGLE C _{1} B _{1} A``]

따라서

[eqn: ANGLE A _{1} B _{1} C````=` ANGLE C _{1} B _{1} A``]

그러므로 점 [eqn: A _{1} ,````B _{1} ,````C _{1} ``]은 동일선 위에 있다; 수족선 삼각형은 사라진다.

역으로, 만약 점 [eqn: P``]가 [eqn: TRIANGLE ABC``]의 수족선삼각형이 사라지도록 위치가 정해진다면, [eqn: P``]는 명백하게 [eqn: TRIANGLE ABC``]의 한 각의 대변을 지난 (각의) 내부면의 영역에 있어야만 한다. 만일 필요하다면 꼭지점들을 다시 이름을 붙여서, 그림 2.5A와 같이, “한 각”이 [eqn: B``]이고 [eqn: C _{1} ``]이 [eqn: A``]를 지나 변[eqn: BA``]의 연장선 위에 놓여있다라고 가정할 수 있다. 그러면 앞서 각의 검토를 반대 단계로 하여 [eqn: P``]가 원주 위에 있음을 증명할 수 있다. 따라서

정리 2.51. 삼각형의 각 변에 놓은 수선의 발이 일직선 상에 있으면 그 점은 외접원 위에 있다.

수선의 발을 포함하는 선은 삼각형에 대한 그 점의 심슨선(때로는 단지 simson으로)으로 알려졌다. 로버트 심슨(Robert Simson 1687-1768)는 기하와 산술 둘 다에 몇 가지 공헌을 하였다. 예를 들면, 만일 [eqn: f _{n} ``]이 피보나치 수열의 [eqn: n``]번째 항이면 [eqn: f _{n-1} f _{n+1} -f _{n ^{2}} ````=``(-1) ^{n``} `][6, pp. 165-168] 이다. “simson"도 그의 기하적 발상의 대표작으로 생각되었기 때문에 그의 업적이 되었다. 하지만, 역사학자들은 그의 노력이 헛된 것을 찾아냈다. 실제로 그것은 1797년에 William Wallace에 의해서 발견되었었다.

연습문제

1. 정리 2.51 의 증명은 [eqn: TRIANGLE ABC``]가 둔각삼각형일 때, 달라져야할 것이 있을까?

2. 원 위의 어떤 점이 [eqn: CA``]를 심슨선으로 가지는가?

3. 심슨선 위에는 어떤 점들이 놓이는가? 어떤 선들이 있는가?

4. 원 위의 두 점 [eqn: `B``,```C``]의 접선이 점에서 만난다. [eqn: A _{1} B _{1} C _{1``}]를 이등변삼각형 [eqn: ABC``]의 수족선삼각형이라고 하고 그림 2.5B와 같이 원 위에 임의의 점 [eqn: P``]를 두자. 그러면

[eqn: PA ^{2`} ````=```PB _{1} `` TIMES ``PC _{1} ``]