7.2 [eqn: alpha]로의 근사

[eqn: alpha]의 초월성에 대한 근원적인 이유는 그것이 특정 유리수들에 의해 매우 잘 근사되어질 수 있다는 것이다. [eqn: alpha]로의 적합한 유리수적 근사는 [eqn: alpha]를 정의하는 (1)식으로부터 유한개의 항을 선택함으로써 얻어질 수 있다. 우리는 (1)식에서 주어진 [eqn: alpha]의 처음 [eqn: j]개의 항들의 합을 [eqn: beta]로 정의한다; 즉,

(3)                      [eqn: beta =10 ^{-1!} +10 ^{-2!} +10 ^{-3!} + LDOTS +10 ^{-j!}].

정수 [eqn: j]의 가치는 나중에 설명되어질 것이다. [eqn: beta]는 분모가 [eqn: 10]의 거듭제곱인 분수들의 합으로 쓰여질 수 있기 때문에, [eqn: beta]가 유리수임을 안다;

[eqn: beta = {1} over {10 ^{1!}} + {1} over {10 ^{2!}} + {1} over {10 ^{3!}} + LDOTS + {1} over {10 ^{j!}}].

이 분수들은 공통분모 [eqn: 10 ^{j!}]로 쓰여질 수 있어서 하나의 분수로 나타내면

(4)                                 [eqn: beta = {t} over {10 ^{j!}}],

분자 [eqn: t]는 그것의 정확한 가치는 별로 중요하지 않는 어떤 정수이다.

유리수 [eqn: beta]는 [eqn: alpha]에 아주 가깝다. 방정식 (1)과 (3)에서,

[eqn: alpha - beta =10 ^{-(j+1)!} +10 ^{-(j+2)!} +10 ^{-(j+3)!} + LDOTS].

[eqn: alpha]의 표현처럼 [eqn: alpha - beta]의 10진법 표현은 [eqn: 0]과 [eqn: 1]들로만 구성된다. 숫자 1은 [eqn: (j+1)!]번째 처음으로 나타나고, [eqn: (j+2)!]번째 등에서 나타난다. 그래서 수 [eqn: alpha - beta]의 모든 숫자는 [eqn: (j+1)!]번째 [eqn: 2]를 제외하고는 모두 [eqn: 0]인 수

[eqn: 0.000000 LDOTS 0000002]

보다 작다. 다시 말하면

(5)                             [eqn: alpha - beta < {2} over {10 ^{(j+1)!}}].

우리는 [eqn: alpha]와 [eqn: beta]를 포함하는 또 다른 단순한 부등식을 필요로 한다. [eqn: alpha]와 [eqn: beta]는 양수이므로, [eqn: alpha]와 [eqn: beta]의 거듭제곱들도 양수이다. 더 나아가, [eqn: alpha <1]이고 [eqn: beta <1]이기 때문에 양의 정수 [eqn: r], [eqn: s]에 대하여 [eqn: alpha ^{r} <1], [eqn: beta ^{s} <1]이고, [eqn: alpha ^{r} beta ^{s} <1], 그래서

(6)                 [eqn: 0< alpha ^{r} <1],   [eqn: 0< beta ^{s} <1],   [eqn: 0< alpha ^{r} beta ^{s} <1].