1.2 체바의 정리

삼각형의 꼭지점과 대변의 임의의 점을 연결하는 선분을 “체비안” 이라고 부른다. 따라서 만약 X,Y,Z가 각각 변 BC,CA,AB 위의 점이라면  AX,BY,CZ 가 “체비안” 이다. 이 용어는 1678년에 다음의 매우 유용한 정리를 발표한 이태리 수학자 Giovanni Ceva 의 이름에서 기인한다.

정리 1.21 만약 삼각형 ABC의 각 꼭지점을 통과하는 세 개의 체비안 AX, BY, CZ 가  동일점에 모인다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]

(증명)우리가 직선이나 선분이 동일점에 모인다고 말하는 것은, 그 직선들이 모두 한 점, 즉 P를 지난다는 것이다.  체바의 정리를 증명하기 위하여는, 삼각형의 같은 높이를 가진 삼각형의 넓이는 삼각형의 밑변에 비례한다는 사실을 상기해야 한다.

1.2의 그림을 보면

[eqn: { BX} over {XC }= { (ABX)} over {(AXC) }= { (PBX)} over {(PXC) }= { (ABX)-(PBX)} over {(AXC)-(PXC) }= { (ABP)} over {(C`AP) }]

같은 방법으로,

[eqn: { CY} over {YA }= { (BCP)} over {(ABP) }]   ,  [eqn: { AZ} over { ZB}= { (C`AP)} over {(BCP) }]

이제 우리가 위의 식들을 곱하면 ,우리는 다음을 알 수 있다.

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }= { (ABP)} over { (C`AP)} { (BCP)} over {(ABP) } { (C`AP)} over {(BCP) } =1]

이 정리의 역도 성립한다.

정리 1.22 만약  세 개의 체비안 AX,BY,CZ 가 다음 식을 만족한다면,

[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1],

세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

(증명) 이것을 증명하기 위하여 먼저 두 개의 체비안이 점 P에서 만난다고 하자. 그리고 이 점P를 지나는 세 번째의 체비안이 [eqn: CZ ^{ '}]라고 하자. 그러면 정리 1.21에 의하여[eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ ^{ '} } over {ZB ^{ '} }=1]   이고,   가정에 의하면   [eqn: { BX} over {XC } { CY} over {YA } { AZ} over {ZB }=1]      이다.

따라서 , [eqn: { AZ ^{ '} } over { Z ^{ '}B }= { AZ} over {ZB }]

따라서, [eqn: Z^{ '}]는 [eqn: Z]와 일치하며 따라서,   AX, BY, CZ 는 한 점에서 만난다.

<연습문제>

1.만약 X,Y,Z 가 각변의 중점이라면, 세 개의 체비안은 한 점에서 만난다.

2. 대변에 수직인 체비안은 한 점에서 만난다.

3. [eqn: ABC] 와 [eqn: A^{ '}B ^{ '}C ^{ '}] 가 그림 1.2B에서 처럼 각각의 변이 평행하고 합동이 아닌 두 개의 삼각형이라 하면 [eqn: AA ^{ '},BB ^{' },CC ^{ '}]의 연장선은 한 점에서 만난다.( 그러한 삼각형을 homothetic 라고 한다. 우리는 4.7장에서 이에 관해 좀 더 살펴 볼 것이다.)

4.[eqn: AX]가 그림 1.2C에서 처럼 ,선분 [eqn: BC] 를 [eqn: BX=m,XC=n]로나누는 길이 [eqn: p]인 체비안 이라고 하면,       [eqn: a(p ^{ 2}+mn)=b ^{ 2}m+c ^{ 2}n]

<힌트>   [eqn: X]의 두 보각의 코사인값을 [eqn: △ABX] 과[eqn: △CAX] 의 변의 용어로 나타낸 값을 더한다. 이 결과는 Steart가 1746년에 이것을 서술한 후로  Steart 의 정리라 부른다. 그것은 아마 기원전 300년경에 아르키메데스에 의해 발견되었으나, 제일 처음 알려진 증명은 1751년에 R.Simson 에 의해서이다.