7.  기하학에의 적용

대부분의 고등학교 기하학 교과서는 무리수가 나타나는 어떤 증명들에서 결함이 생긴다. 그 결함은 어떤 결과가 무리수인 경우엔 미완성으로 남겨둔 채, 단지 유리수인 경우에서만 증명이 되어졌을 때 발생하게 된다. 이것은 종종 다음 결과에도 나타난다.

정리 3.1  만약 세 개의 평행선이 두 횡단선에 의해, 그림 12에서처럼 교점  [eqn: A, & B, & C, & A prime , & B prime , & C prime]에서 잘린다면, 그 때

[eqn: {AB} over {BC} = {A prime B prime } over {B prime C prime }]이다.

여기에서, 는 [eqn: A]에서 [eqn: B]까[eqn: AB]지의 선분의 길이를 나타낸다.

A

A'

B'

C'

B

C

Figure 12

증명.  이 정리는 닮은 삼각형의 기초 정리를 증명하는 데 사용되어질 수 있다: 만약 삼각형의 세 내각이 다른 삼각형의 세 내각과 각각 같다면, 대응하는 변들은 비례한다(그림 13). 다시 말해, 이 결과는 피타고라스의 정리를 증명하는데 자주 이용되고, 그래서 삼각법과 해석기하학은 이러한 정리들의 기초 위에서 건립된다.

우리는 지금 [eqn: {AB} over {BC}]가 무리수인 경우에 정리 3.1을 증명할 것이다. [eqn: {AB} over {BC}]가 유리수인 경우에는 정리 3.1을 수용할 것이다. 왜냐하면 이 부분의 정리는 보편적으로 초등 기하학 교과서에서 증명되었기 때문이다. [eqn: {AB} over {BC}]가 무리수인 경우에 정리 3.1을 증명하기 전에 다음 예비적인 결과를 입증하는 것이 도움이 될 것이다.

정리 3.2  만약 [eqn: m]과 [eqn: n]이 [eqn: {m} over {n} < {AB} over {BC}] 를 만족하는 양의 정수이면, [eqn: {m} over {n} < {A prime B prime } over {B prime C prime }]이다.

증명. 우리는 작도부터 시작할 것이다. 선분 [eqn: BC]를 [eqn: n]등분하고, 그 각각의 길이를 [eqn: alpha]라 하면, [eqn: BC=n alpha]이다. 그리고 선분 [eqn: BA]를 따라 점 [eqn: D]에서 끝나도록 길이가 [eqn: alpha]인 [eqn: m]개의 이러한 조각들로 나누어라. 그림 14에서처럼, 우리는 [eqn: B]와 [eqn: C] 사이에 놓여있는

점 [eqn: D]를 최초로 작도했다. [eqn: BC=n alpha]이고 [eqn: DB=m alpha] 이므로, 우리는

[eqn: {DB} over {BC} = {m alpha } over {n alpha } = {m} over {n}]이라 할 수 있고, 가정 [eqn: {m} over {n} < {AB} over {BC}]에 의하여 [eqn: {DB} over {BC} < {AB} over {BC}] 이다.

이 마지막 부등식은 [eqn: DB<AB]를 의미한다. 왜냐하면 두 분수는 똑같은 분모 [eqn: BC]를 가졌기 때문이다. 그래서, [eqn: DB]가 [eqn: AB]보다 작기 때문에, [eqn: D]는 선분 [eqn: AB] 위에 놓여있다.

다음으로, 모든 이러한 분할된 점들로부터 그림 14에서처럼, 우리는 점 [eqn: D]에 대응하는 오른쪽 변에 있는 점 [eqn: D prime]을 이용하여 [eqn: AA prime]에 평행한 직선을 긋는다. 그래서 (우리가 수용했던) 유리수인 경우인 정리 3.1에 의해, [eqn: B prime C prime]은 [eqn: n]등분되고, [eqn: D prime B prime]은 똑같은 길이로 [eqn: m]등분된다. 그래서 [eqn: {D prime B prime } over {B prime C prime } = {m} over {n}].

그러나, 그림 14로부터 우리는 [eqn: D prime B prime <A prime B prime]라 할 수 있고, 그래서

[eqn: {D prime B prime } over {B prime C prime } < {A prime B prime } over {B prime C prime }],  [eqn: {m} over {n} < {A prime B prime } over {B prime C prime }].

정리 3.2의 보조정리   만약 [eqn: {m} over {n} > {AB} over {BC}]이면, [eqn: {m} over {n} > {A prime B prime } over {B prime C prime }] 이다.

이 보조 정리는 정리 3.2와 유사하고, 그래서 증명도 유사하다.

우리는 정리 3.2와 보조정리를 증명했다; 우리는 지금 무리수인 경우의 정리 3.1을 증명하는데 이것을 이용할 것이다. [eqn: beta]를 [eqn: {AB} over {BC}]의 비 값을 표현하는 무리수라 하자. 우리는 3.2절에서처럼 [eqn: beta]의 소수 표현을 이용한다.

우리가 하려고 하는 것을 설명하기 위해, 예를 들어 [eqn: beta]를 [eqn: pi =3.14159]… 이라 하자. 그 때 우리는 다음과 같이 쓸 수 있다.

[eqn: {3} over {1} < beta < {4} over {1}],

(1)                              [eqn: {31} over {10} < beta < {32} over {10}],

[eqn: {314} over {100} < beta < {315} over {100}],

[eqn: {3141} over {1000} < beta < {3142} over {1000}], … , 등.

왼쪽에 있는 분수들은 십진법으로 늘여 쓰기로 부터 [eqn: 3, & 3.1, & 3.14, & 3.141] 등을 택함으로써 얻어진다. 오른쪽에 있는 분수들은 이들 수에서 [eqn: 1, & 0.1, & 0.01, & 0.001] 등으로 각각 증가시킴으로써 얻어진다.

(1)의 부등식의 고리들은 무한개이다; 우리는 단지 처음 4개만 적었을 뿐이다. 이러한 부등식들은 우리가 논의하려고하는 [eqn: beta], 즉 [eqn: pi]의 특별한 값을 특정 지운다. 그것은 수 [eqn: beta]가  (1)의 모든 부등식을 만족시킨다면, 그 수는 [eqn: pi]와 같다는 것을 말한다.

부등식들 (1)은 [eqn: beta]가 값 [eqn: pi]를 가질 때의 하나의 실례로서 관련지어 쓰여 졌다. 지금 우리는 이 예를 중단한다. 그러나 우리는 어떠한 무리수 값 [eqn: beta]라고 해도, 그것의 소수 표현은 우리에게 다음과 같은 부등식의 고리를 제공할 것이라는 것을 지적한다.

[eqn: {a _{1}} over {1} < beta < {1+a _{1}} over {1}],

(2)                             [eqn: {a _{2}} over {10} < beta < {1+a _{2}} over {10}],

[eqn: {a _{3}} over {100} < beta < {1+a _{3}} over {100}],

[eqn: {a _{4}} over {1000} < beta < {1+a _{4}} over {1000}], … , 등.

이 부등식의 고리는 [eqn: beta]를 유일하게 특정 짓고, 각각의 부등식에서 [eqn: beta]는 두 유리수 사이의 수이다. 문자 [eqn: a _{1,} & a _{2,} & a _{3,}]… 는 정수이다.

리의 계획은 [eqn: beta prime]을 [eqn: {A prime B prime } over {B prime C prime }]의 비 값으로 두고, [eqn: beta]가 그랬던 것처럼 [eqn: beta prime] 또한 (2)의 부등식들을 만족시킨다는 것을 증명하는 것이다. 그러나 이 부등식들은 수 [eqn: beta]를 특정 짓는 것이고, 그래서 [eqn: beta prime]은 [eqn: beta]와 동일화되며, 그래서

[eqn: beta = {AB} over {BC} = {A prime B prime } over {B prime C prime } = beta prime].

이제 남은 것은 [eqn: beta prime]이 (2)의 모든 부등식을 만족시킨다는 것을 보이는 것이다. 이것을 하기 위해서 우리는 정리 3.2를 이용한다. 처음에 우리는 분수들 [eqn: {a _{1}} over {1} , & {a _{2}} over {10} , & {a _{3}} over {100}] 등에서 임의의 하나를 택하는데, 그것을 [eqn: {a _{3}} over {100}]이라 하고, 정리 3.2의 유리수 [eqn: {m} over {n}]으로 이것을 설명하자. 그 때 정리 3.2의 가정 [eqn: {m} over {n} < {AB} over {BC}]은 [eqn: {a _{3}} over {100} < beta]가 되는데, 이것은 (2)의 부등식들 때문에 명백하다. 정리 3.2는 우리에게 [eqn: {m} over {n} < {A prime B prime } over {B prime C prime }]을 말해줌으로 [eqn: {a _{3}} over {100} < beta prime]이다.

그래서 우리는 [eqn: beta prime]이 [eqn: {a _{1}} over {1} < beta prime], [eqn: {a _{2}} over {10} < beta prime], [eqn: {a _{3}} over {100} < beta prime], [eqn: {a _{4}} over {1000} < beta prime] 등을 만족한다는 것을 알게 되었다.

정리 3.2의 보조정리를 유사하게 이용하면, 우리는 부등식

[eqn: beta prime < {1+a _{1}} over {1}], [eqn: beta prime < {1+a _{2}} over {10}], [eqn: beta prime < {1+a _{3}} over {100}], [eqn: beta prime < {1+a _{4}} over {1000}]

등을 얻는다. 그래서 [eqn: beta prime]은 [eqn: beta]처럼 (2)의 부등식들을 만족시킨다. 그러므로 [eqn: beta = beta prime]이고 정리 3.1의 증명이 완성된다.

3.8 요약 정리

이 장에서, 우리는 모든 실수는 ‘수직선’위의 정확하게 한 점과 대응된다는 것을 지적했다. 우리는 또한 모든 실수들(0들의 무한 번 연속을 배제하고 제공되었던, 즉, 우리의 표현에서 유한소수들)은 무한소수 표현을 정확하게 한 가지 가진다는 것을 알아보았다. 무한 소수에 의한 표현은 3.7장의 초등기하의 핵심 정리에 적용되어졌다. 게다가 우리는 [eqn: sqrt {2} , & sqrt {3} , & sqrt {2} + sqrt {3}] 등과 같은 수들의 무리수성을 논의했다. 그러나 우리의 방법들은 다소 단편적이었고, 주어진 수가 유리수인지 아닌지를 결정하는 아주 일반적인 처리 절차를 제공하지는 않았다.

다음 장에서 우리는 좀더 조직적인 방법으로 무리수를 공부할 것이다. 우리는 하나의 더 큰 수들의 부류가 무리수로 분류되어질 수 있는 방법을 이끌어낼 것이다.