3.4 메넬라우스 정리

알렉산드리아의 메넬라우스(약 기원전 100년, 스파르타의 메넬라우스와 혼돈되지 않길)는 구면삼각형의 한 성질을 이용한 [eqn: Sphaerica] 라 불리는 논문을 썼다 ; 그는 평면삼각형의 유사한 성질은 이미 잘 알려져 있는 것처럼 적었다.

아마도 그것은; 존재해 오는 동안 기록이 없었기 때문일 것이고, 우리는 그 주장을 단순하게 메넬라우스 정리라고 부를 것이다. 방향성을 갖는 선분(Section 2.1)의 표현이 아래에도 언급되어진다(그림 3.4A, B) :

정리 3.41 만약 [eqn: TRIANGLE ABC]의 변 [eqn: BC,&CA,&AB](또는 연장선) 위에 점 [eqn: X, &Y,& Z] 가 일직선 위에 있다면,

[eqn: BX OVER CX&&CY OVER AY&& AZ OVER BZ = 1].

역으로, 이 세 변 또는 그 연장선 위의 점 [eqn: X, &Y,& Z] 에 대해 이 방정식이 성립한다면, 이 세 점들은 일직선 위에 있다.

그림 3.4A,또는 B에서처럼 [eqn: X, &Y,& Z] 가 일직선 위에 있고, [eqn: A, &B,& C] 에서 직선 [eqn: XY] 까지의 높이를 [eqn: h_1 ,& h_2 , h_3]라 하자. 이 라인의 한 쪽을 양으로 간주하고, 그 반대편을 음으로 간주하자. 이 세 방정식

[eqn: BX OVER CX = h_2 over h_3],  [eqn: CY over AY = h_3 over h_1],  [eqn: AZ over BZ = h_1 over h_2]

으로부터, 우리는 [eqn: BX OVER CX&&CY OVER AY&& AZ OVER BZ = 1] 을 얻을 수 있다.

([eqn: TRIANGLE ABC] 의 세 변 모두 연장되거나 단지 한 변만 연장되어야 세 개의 다른 [eqn: X, &Y,& Z] 가 일직선 위에 있게 됨을 주의하라.)

역으로,  이 [eqn: X, &Y,& Z] 가 [eqn: BX OVER CX&&CY OVER AY&& AZ OVER BZ = 1] 을 만족한다고 하고, 직선 [eqn: AB] 와 [eqn: XY] 는 [eqn: Z'] 에서 만난다고 하자. 그 때, [eqn: BX OVER CX&&CY OVER AY&& AZ' OVER BZ' = 1].

그러므로  [eqn: AZ' over BZ' = AZ over BZ] 이고 [eqn: Z']과 [eqn: Z]는 일치한다. 그러므로 [eqn: X, &Y,& Z] 는 일직선 위에 있다.

체바의 정리(1.21 과 1.22)가 한 점에서 만남의 척도를 제공하듯이 메넬라우스의 정리는 일직선 위에 있음의 척도를 제공한다. 방향의 대비를 강조하기 위해서, 우리는 메넬라우스의 방정식을 또다른 형태의  [eqn: BX OVER XC&&CY OVER YA&& AZ OVER ZB = -1]로 표현할 수 있다.

연습문제

1. 부등변 삼각형의 세 외각의 이등분선과 각각의 대변과의 교점들은 일직선 위에 있다.

2. 부등변 삼각형의 두 내각의 이등분선과 각각의 대변의 교점, 그리고 나머지 한 각의 외각의 이등분선과 그 대변의 교점들은 일직선 위에 있다.