【 3.3 Napoleon triangles 】

우리는 이제 삼각형과 사각형들로 이루어진 몇가지 그림을 검토할 것이다. 놀라울 정도로 소홀했던 쉬운 정리가 따라나온다.

《 정리 3.31 》

임의의 삼각형의 세 변의 외부에 세워진 세 삼각형의□먼□각의 합의 [eqn: 180 DEG]라고 하자. 그러면 세 삼각형의 외접원은 공통점을 가진다.

(증명)

(여기 concurrence에 대한 또 하나의 정리가 있다) 증명은 꽤 간단하다. 우리는 그림 3.3A 처럼 주어진 [eqn: TRIANGLEABC] 의 변에 [eqn: P,~Q,~R] 에서 [eqn: P+Q+R=180 DEG]인 관계를 만족하는 각을  [eqn: TRIANGLECBP, ~ TRIANGLEACQ,~ TRIANGLE B AR] 를 가진다. 이제, [eqn: TRIANGLECBP,~ TRIANGLEACQ] 의 외접원이 [eqn: C] 에서 만나므로  또 다른 교점을 [eqn: F] 라고 하자. [eqn: F] 와 [eqn: A,~B,~C] 에서

[eqn: ANGLEBFC=180 DEG-P], [eqn: ANGLECFA=180 DEG -Q] 이고

[eqn: ANGLEAFB=360 DEG-( ANGLEBFA+ ANGLECFA)]

[eqn: =360 DEG-(180 DEG-P+180 DEG-Q)]

[eqn: =P+Q=180 DEG-R]

따라서, [eqn: F] 는 [eqn: TRIANGLEBA R] 의 외접원위에 있고, 또한 다른 두 삼각형의 외접원위에도 있다.

두 가지 특별한 경우는 특히 흥미롭다.

《 정리 3.32 》

[eqn: TRIANGLEABC] 의 꼭지점 [eqn: A,~B, ~ ~C] 가 각각 변 [eqn: QR,~ RP,~ PQ] 에 있다면, 세 원 [eqn: CBP,~ACQ,~`` BA R] 은 공통점을 가진다.

《 정리 3.33 》

[eqn: TRIANGLEABC] 세 변의 외부에 닮음인 삼각형 [eqn: TRIANGLE PCB,~ TRIANGLECQA,~ TRIANGLEBA R] 이 세워진다면, 이 세 삼각형의 외접원은 공통점을 가진다.(주의, 닮음인 삼각형의 꼭지점의 이름붙여진 순서에 의해 [eqn: P,~Q,~R] 에서의 각은 닮음인 삼각형에서의 대응각이 아니다)

정리3.32는 Forder[13,p.17]에 의해 Pivot 정리라 이름붙여졌다. 이것은 1838년 A.Miquel에 의해 발견되었다. 그림 1.9A와 일치시키기 위하여 [eqn: PQRABC] 표시를 [eqn: ABCA _{ 1}B _{ 1}C _{ 1}]으로 바꾸면 우리는 다음의 약간 확장된 형식을 쉽게 증명할 수 있다.

[eqn: A_{ 1},~B _{ 1},~C _{ 1} }] 이 [eqn: TRIANGLEABC] 의 세 직선 [eqn: BC,~CA, ~ ~AB] 위의 임의의 세 점이라고 하면, 세 원 [eqn: AB _{ 1}C _{ 1}, ~~A _{ 1}BC _{ 1,}~~A _{ 1}B _{ 1}C] 는 공통점 [eqn: P] 를 가진다.

세 원이 [eqn: AP,~BP,~CP] 를 지름으로 갖는 특별한 경우에 [eqn: TRIANGLEA _{ 1}B _{ 1}C _{ 1}] 은 [eqn: P] 에서의 수족삼각형이다.

[eqn: TRIANGLEABC] 를 두고 [eqn: P] 를 고정하고, □Pivot□[eqn: P] 에 대하여 세 선 [eqn: PA _{ 1},~PB _{ 1},~PC _{ 1}]을  □oblique 수족 삼각형□[eqn: TRIANGLEA _{ 1}B _{ 1}C _{ 1}] 을 얻도록 어떤 각을 통과하든 엄밀하게 회전할 수 있다. 명백히, 세 원 [eqn: AB _{ 1}C _{ 1}, ~~A _{ 1}BC _{ 1,}~~A _{ 1}B _{ 1}C] 은 연속적으로 [eqn: P] 를 통과한다.

[eqn: A _{1} ,~B _{1} ,~C _{1}] 이 삼각형 형태일 필요는 없다. 그림 2.5A처럼 일직선 형태일 수 있다. 이 경우 세 직선 [eqn: B _{1} C _{1} ,~C _{1} A,~AB _{1}] 에 [eqn: A _{1} ,~B,~C] 가 있고, 같은 정리가 세 원 [eqn: ABC,~A _{1} B _{1} C,~A _{ 1}BC _{ 1}]이 공통점을 가짐을 말해주고 있다. 마지막 두 원의 공통점이 [eqn: A_{ 1,}~P]이므로 증명되었다.

《 정리 3.34 》

네 선이 공선점의 집합 [eqn: A_{ 1}BC,~AB _{ 1}C,~ABC _{ 1},~A _{ 1}B _{ 1}C _{ 1}] 인 여섯점 [eqn: A,~B,~C,~A _{ 1},~B _{ 1},~C _{ 1}]에 만난다면 네 원 [eqn: AB _{1} C _{1} ,~A _{1} BC _{1} ,~A _{1}B _{ 1}C,~ABC] 는 공통점을 가진다.

특별한 경우로 처음 세 원이 [eqn: AP,~BP,~CP] 를 지름으로 갖는 원일때, [eqn: A_{ 1}B _{ 1}]은 [eqn: TRIANGLEABC] 에서 [eqn: P]의 심슨라인이다. [eqn: TRIANGLEABC] 를 두고 [eqn: P] 를 고정하여 세 선 [eqn: PA _{ 1},~PB _{ 1},~PC _{ 1}]을 □oblique 심슨 라인□을 얻도록 어떤 각을 통과하든 엄밀하게 회전할 수 있다.

이 선은 세직선 [eqn: PA _{ 1},~PB _{ 1},~PC _{ 1}] 이 [eqn: BC,~CA,~AB]와 이루는 각을 같게(같은 순환의 논리로)하는 새로운 수선의 발 [eqn: A_{ 1},~B _{ 1},~C _{ 1} }]를 포함한다.

[eqn: ANGLE PC _{1} A= ANGLE PB _{1} C= ANGLE PA _{1} C]

정리 3.33은 삼각형의 세 중심 [eqn: O_{ 1}O _{ 2}O _{ 3}] 에 관한 흥미있는 따름정리를 가진다.(그림 3.3A) 삼각형의 [eqn: O_{ 2}O _{ 3},~O _{ 3}O _{ 1},~ O _{ 1}O _{ 2}] 세 변이 두 쌍의 원의 공통현(또는 radical axes)의 수직이고, [eqn: O_{ 1}]에서의 각은 [eqn: O_{ 1}=P] 를 뜻하는 [eqn: ANGLEBFC] 의 보각이다. 유사하게, [eqn: O_{ 2}=Q] 이고 [eqn: O_{ 3}=R] 이다. 이것은 닮음인 세 원의 다른 세 각이다.

《 정리 3.35 》

임의의 삼각형 [eqn: TRIANGLEABC] 의 외부에 세워진 삼각형 [eqn: PCB,~CQA,~BA`R] 이 닮음이면, 세 삼각형의 외심으로 이루어진 삼각형은 이 세 삼각형과 닮음이다.

특별한 경우(그림 3.3B)

《 정리 3.36 》

임의의 삼각형의 세 변의 외부에 정삼각형을 세우면, 이 정삼각형들의 중심은 정삼각형을 이룬다.

Napoleon Bonaparte는 기하학에 지대한 관심을 보인 소수의 수학자로 알려져있다. 사실 그가 프랑스의 지배자가 되기전에 위대한 수학자 Lagrange 와 Laplace가 참석한 회의에서   □장군, 우리가 최종적으로 당신에게 원하는 것은 기학학에서의 학문연구입니다□라고 말한 이야기가 전해지다. Laplace는 Napoleon 군대의 교관이 되었다.

Napoleon이 ‘ABLE WAS I ERE I SAW ELBA’라는 유명한 palindrome을 작성했을 만큼의 충분한 영어적 지식을 갖추었을 가능성만큼이나 정리 3.36을 만들만큼의 충분한 기학적 지식을 갖추었을 가능성에 대해서는 의구스러우나 어쨌든 정리 3.36은 Napoleon으로부터 기인되었다.

여하튼, 삼각형 [eqn: TRIANGLE O _{ 1}O _{ 2 }O _{ 3}]를  ([eqn: TRIANGLE PCB,~ TRIANGLECQA,~ TRIANGLE BA`R]이 정삼각형일때) 편리하게 [eqn: TRIANGLE ABC]의 outer 나폴레옹 삼각형이라고 이름붙이자. 유사하게 그림 3.3C 처럼 [eqn: TRIANGLE ABC]의 세 변의 안쪽으로 정삼각형을 세운다면 정삼각형의 중심을 꼭지점으로 하는 [eqn: TRIANGLE N _{ 1}N _{ 2}N _{ 3}] 를 inner 나폴레옹 삼각형이라고 한다. 따라서, 정리 3.36을 다음과 같이 요약해서 말할 수 있다.

outer 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이다.

Yaglom[29,pp.38,39]에서 우리와 꽤 다른  또 하나의 방법으로 증명하였지만 그것또한 유사하게 이점이 있다

《 정리 3.37 》

inner 나폴레옹 삼각형은 정삼각형이다.

그림 3.3B의 [eqn: TRIANGLE AO _{ 3}O _{ 2}] 에 코싸인법칙을 적용하여 곱하면 흥미로운 새로운 접근이다. [eqn: AO _{ 2}]가 한 변의 길이가 [eqn: CA=b]인 정삼각형의 외접원의 반지름이므로, [eqn: AO _{ 2}]의 길이는 [eqn: {b} over {sqrt {3}}]이다.유사하게, [eqn: AO _{3} = {c} over {sqrt {3}}]이고, [eqn: ANGLE O _{3} AO _{2} =A+60 DEG]이다.

따라서, [eqn: (O _{2} O _{3} ) ^{2} = {1} over {3} b ^{2} + {1} over {3}c^2 - { 2} over { 3}bc~cos(A+60 DEG)]

inner 나폴레옹 삼각형의 꼭지점 [eqn: N _{2} ,~N _{3}] 는 [eqn: O_{ 2}, ~ O _{ 3}]를 각각 직선 [eqn: CA,~AB] 에 대하여 대칭하여 얻을 수 있고  [eqn: ANGLE N _{3} AN _{2} =A-60 DEG]이므로

[eqn: (N _{2} N_{3} ) ^{2} = {1} over {3} b ^{2} + {1} over {3}c^2 - { 2} over { 3}bc cos(A-60 DEG)]

두 식을 빼면

[eqn: (O _{2} O _{3} ) ^{2} -(N _{2} N _{3} ) ^{2} = {2} over {3} bc[ cos(A-60 DEG)-cos(A+60 DEG)]]

[eqn: = {4} over {3} bc`sinA`sin60 DEG = {2} over {sqrt {3}} bc`sinA= {4} over {sqrt {3}} (ABC)]

유사한 방법으로,

[eqn: (O _{1} O _{2} ) ^{2} -(N _{1} N _{2} ) ^{2} =(O _{ 3}O _{ 1})^2 -(N _{ 3}N _{ 1})^2 = { 4 }over { sqrt { 3} }(ABC)] 이고,

[eqn: O _{2} O _{3} =O _{3} O _{1} =O _{1} O _{2}] 이므로, 우리는 [eqn: N _{2} N _{3} =N _{3} N _{1} =N _{1} N _{2}] 임을 추론할 수 있다.

정삼각형의 넓이는 변의 길이의 제곱에 [eqn: {sqrt {3}} over {4]을 곱함을 기억하면, 우리는 다음과 같은 □interesting by product□를 명확히 말할 수 있다

《 정리 3.38 》

임의의 [eqn: TRIANGLEABC] 의 outer, inner 나폴레옹 삼각형은 [eqn: (ABC)] 에 의한 영역만큼 다르다.

[eqn: {sqrt {3}} over {4} [(O _{1} O _{2} ) ^{2} -(N _{1} N _{2} ) ^{2 ^{}} ]=(ABC)]

실제로 ( 그림 3.3C에서 보듯이) inner 나폴레옹 삼각형은 역행이다□[eqn: (N _{1} N _{2} N _{3} )] 는 음수이고(또는 [eqn: 0]) 정확한 공식은

[eqn: (O _{1} O _{2} O _{3} )-(N _{1} N _{2} N _{3} )=(ABC)]이 아니라

[eqn: (O _{1} O _{2} O _{3} )-(N _{3} N _{2} N _{1} )=(ABC)]이거나

[eqn: (O _{1} O _{2} O _{3} )+(N _{1} N _{2} N _{3} )=(ABC)]이다.

【 연 습 문 제 】

1. 삼각형의 두 변에 정사각형이 세워진다면, 두 정사각형의 외접원은 남은 세 번째 변을 지름으로 하는 원과 교차하고, 이 세원의 중심은 직각이등변삼각형의 꼭지점을 이룬다.

2. 그림 3.3B에서

(ⅰ) 직선 [eqn: PO _{ 1},~QO _{ 2},~RO _{ 3}] 은 모두 [eqn: TRIANGLEABC] 의 외접원의 중심인 [eqn: O] 를 지난다.

(ⅱ) 직선 [eqn: AO _{ 1},~BO _{ 2},~CO _{ 3}] 는 공점선이다.

(ⅲ) 선분 [eqn: AP,~BQ,~CR] 은 모두 같은 길이를 가지고, 세 를  외접원의 공통점 [eqn: F] 를 지나며, 서로 다른 선분을 [eqn: 60 DEG]의 각으로 만난다.( 우리가 얻은점 [eqn: F] 는 [eqn: TRIANGLEABC] 의 어떤 각도 [eqn: 120 DEG]를 넘지 않을때 [eqn: A,~B,~C] 까지의 거리의 합이 최소가 되는 점이고 페르마점이라 부른다)

3. 그림 3.3C에서 직선 [eqn: AN _{ 1},~BN _{ 2},~CN _{ 3}] 은 공점선이다.

4. outer, inner 나폴레옹 삼각형은 같은 중심을 가진다.