§4.4 Further Examples

3장에서 [eqn: root2 +root3]을 좀 더 넓은 수의 분류로 적용하는 방법으로 무리수임을 보였다. 그러나 보조정리1의 도움으로 한층 더 넓은 수로 다룰 수 있다.

[eqn: root2 +root3]에 대해 다시 언급해보자. [eqn: x= root2 +root3]이라 하면,

[eqn: x- root2 =root3]

이 된다. 양변을 제곱하면

[eqn: x^2 - 2x root2 +2 =3]

이 되고, 다시 정리하면

[eqn: x^2 - 1 = 2x root2]

이 된다. 다시 양변을 제곱하면,

[eqn: x^4 - 2x^ 2 +1 = 8x^2]

즉,

(5)                            [eqn: x^4 -10x^2 +1 = 0]

이다.

이런 방법에 의해 (5)번 방정식이 만들어지므로, [eqn: root2 +root3]은 이 방정식의 해이다. 보조정리1에 의해, (5)번 방정식은 유리수 근을 가지지 않고, 이로부터 [eqn: root2 +root3]은 무리수임을 알 수 있다.

보조정리1을 (5)번 방정식에 적용해보면 이 방정식이 만약 유리수 근을 가진다면 그것을 1을 나누는 정수이어야 한다. 그러나 1의 약수는 [eqn: +1] 또는 [eqn: -1]뿐이고, 이것 모두 [eqn: x^4 -10x^2 +1 = 0]의 해가 아니다. 따라서 (5)번 방정식은 유리수 근이 없고 따라서 [eqn: root2 +root3]은 무리수이다.

같은 결론을 내기 위한 다른 방법은 [eqn: +1] 과 [eqn: -1] 이 (5)번 방정식의 근인지 테스트해보는 것이다.

만약 [eqn: +1] 또는 [eqn: -1], 혹은 둘 다, (5)번 방정식의 해라면, 우리는 근[eqn: root2 +root3]이  [eqn: +1] 또는 [eqn: -1]과 다름을 알 수 있다. 예를 들어, [eqn: root2]와 [eqn: root3]은 둘 다 1보다 크므로, 그것의 합은 [eqn: +1] 또는 [eqn: -1]과 같아지기엔 너무 크다. 따라서 [eqn: root2 +root3]은 실제로 [eqn: +1] 과 [eqn: -1]이 방정식의 해가 되든 안되든 (5)번 방정식의 가질 수 있는 유리수 근에 포함되지 않는다. 그러므로 [eqn: root2 +root3]은 무리수이다.

[Example] [eqn: root {3} of {2 } -root3]이 무리수임을 증명하여라.

[Solution] [eqn: x= root {3} of {2 } -root3]이라 하면,

[eqn: x+root3 = root {3} of {2 }]

이 된다. 이제 양변을 세제곱하면

[eqn: x^3 + 3root3 x^2 +9x+ 3root3 = 2]

이고, 항들을 다시 재 정렬해보면

[eqn: x^3 +9x-2 = - 3root3 (x^2 +1)]

이 된다. 다시 양변을 제곱해보면

[eqn: x ^{6} +18x ^{4} -4x ^{3} +81x ^{2} -36x+4=27(x ^{4} +2x ^{2} +1)]

즉,

[eqn: x ^{6} +9x ^{4} -4x ^{3} +27x ^{2} -36x-23=0]

이 된다. 이 방정식은 [eqn: root {3} of {2 } -root3]을 근으로 가진다. 그러나 이 방정식이 가질 수 있는 유리수 근은 [eqn: -23]의 약수인 정수뿐이다. 따라서 가능한 유리수 근은 [eqn: +1,`-1,`+23,`-23]뿐이고 따라서 아래의 계산이 보여주듯 이것은 근이 아니다.

[eqn: +1`:`1 ^6`-9(1)^4 -4(1) ^3 +27(1)^2 -36(1)-23 =0]                                (거짓)

[eqn: -1`:`(-1)^6`-9(-1)^4 -4(-1) ^3 +27(-1)^2 -36(-1)-23 =0]                      (거짓)

[eqn: +23`:`23 ^6`-9(23)^4 -4(23) ^3 +27(23)^2 -36(23)-23 =0]

(거짓: [eqn: (23)^6]이 나머지 항들을 계산해서 없애기엔 너무 큰 수다.)

[eqn: -23`:`(-23)^6`-9(-23)^4 -4(-23) ^3 +27(-23)^2 -36(-23)-23 =0]                (거짓)

따라서 이 방정식은 유리수 근이 없고 [eqn: root {3} of {2 } -root3]은 무리수이다.

앞선 예에서, [eqn: +1,`-1,`+23,`-23]이 방정식의 근이 되는지 확인해 볼 필요가 없다. 대신에 우리는 [eqn: root {3} of {2 } -root3]이 네 개의 가능한 유리수 근과 다르다는 것을 보이면 된다. 우리는 [eqn: root 3 of 2]이 약 [eqn: 1.2]이고, [eqn: root 3]이 약 [eqn: 1.7]임을 안다. 따라서 [eqn: root {3} of {2 } -root3]은 약 [eqn: -0.5]가 되고, 이것은 [eqn: +1,`-1,`+23,`-23]의 값과 다르다. 따라서 모든 가능한 유리수 근과 다르므로 [eqn: root {3} of {2 } -root3]은 무리수이다.

§4.5 Summary

이 장서는 우리는 이른바 “algebraic irrationalities"에 대해 다뤘다. 먼저 무한히 많은 무리수가 있음을 보았고, 주어진 무리수를 통해 뭔가를 구성하는 방법에 대해 공부했다.

또한 주어진 수 [eqn: k]가 무리수인지 아닌지 확인하는 방법에 대해 아래와 같이 찾아보았다.

먼저, [eqn: x=k]를 근으로 가지는 방정식을

[eqn: c_n x^n +c_n-1 x^n-1 +…+c_1 x +c_0 =0]

을 찾는다.(이런 방정식을 찾지 못하면 적용 불가능하다.)

그 다음 정리 4.3을 ,만약 [eqn: c_n =1]이면 보조정리1을, 적용한다. 주어진 방정식이 유리수 근이 없다면 자명하게 무리수가 된다. 혹은, [eqn: k]가 무리수임을 보이기 위해, [eqn: k]가 방정식이 가질 수 있는 유리수 근과 다르다는 것을 보여야 할 수도 있다. 즉, 직접 계산을 해 보아 방정식의 실제 근 중에서 유리수 근을 선택한다. 그런 [eqn: k]가 무리수임을 보이기 위해 그 유리수 근들과 [eqn: k]가 다름을 보이면 된다.