4.6 세 개의 물병 문제

대칭의 흥미로운 적용은 불충분한 측정 도구를 사용하여 액체를 요구된 양들로 나누는 문제의 풀이법이다. 이 적용은 우리가 지금 소개할 삼각좌표의 예비적인 양을 필요로 한다.

점들을 구조화시키는데 직교 좌표계가  일반적인 사각형 모양의 종이로부터 환영받는 구조이듯이, 때때로 우리는 세 종류의 평행한 선들이 평면을 작은 정삼각형 조각들로 나누어 규칙화 되어있는 삼각형 모양의 종이를 살 수 있다. 그러한 종이는 (커다란) 정삼각형에 관련하여 삼각 좌표계에 의해 점들을 구조화시키는데 편리하다.

변의 길이가 [eqn: a]이고 높이가 [eqn: h]인 삼각형 [eqn: ABC]의 평면에서, 점 [eqn: P]의 삼각좌표는 세 변 [eqn: BC, &&CA,&&AB]로부터 점 [eqn: P]까지의 거리 [eqn: x,&&y,&&z]로 정의되는데, 이 때 점 [eqn: P]가 삼각형의 내부에 있는 경우 양수로 간주한다. 우리는 [eqn: P]를 [eqn: (x,&&y,&&z)]로 나타낸다.

[eqn: 1over2 ax + 1over2 ay + 1over2 az = (PBC) +(PCA)+(PAB)]

[eqn: =(ABC)= 1over2 ah],

그러므로 [eqn: x+y+z=h].

이 좌표계는 세 개의 변량의 합이 일정한 어떤 상황을 표현하는데 이상적이다. 세 개 중 하나의 양이 고정되어 있고 나머지 다른 두 양(합이 일정한)이 변화할 때, 점 [eqn: (x,&&y,&&z)]는 삼각형의 한 변에 평행한 선을 따라 움직인다.

특히, 각각의 변들의 방정식은 [eqn: x=0,&&y=0,&&z=0]이고, 꼭지점 [eqn: A,&&B,&&C]의 좌표는 [eqn: (h,&&0,&&0),&&(0,&&h,&&0),&&(0,&&0,&&h)]이다.

액체 7파인트(또는 온스)를 각각 [eqn: x]파인트, [eqn: y]파인트, [eqn: z]파인트의 세 개의 용기에 나누어 담아야 한다고 하자. 두 번째 용기에서 세 번째 용기로 따르는 작업은 [eqn: z]가 증가할 때 [eqn: y]는 감소하는 방향으로 ‘[eqn: x=]상수’의 선을 따르는 점 [eqn: (x,&&y,&&z)]의 움직임으로 나타내어진다. 만약 각 용기가 [eqn: h]파인트라면 각 좌표는 [eqn: 0]에서 [eqn: h]까지의 값을 가지고 (너무나 명백한) 문제 [[eqn: h;&&h,&&h,&&h]]를 생각할 수 있는데, 이 움직임의 정의역은 전체 삼각형의 영역인

[eqn: 0LEQx LEQh],     [eqn: 0LEQy LEQh],    [eqn: 0LEQz LEQh] 이다.

재미있는 것은 [eqn: h GEQ a>b>c]인 [[eqn: h;&&a,&&b,&&c]]이다. 지금 용량이 [eqn: a,&&b,&&c]인 세 개의 용기가 있고, 문제는 한 용기에서 다른 용기로 액체를 반복해서 쏟아 붇거나 또는 처음 용기를 비우고 나중의 용기를 채우거나 해서(또는 가능하면 한 번에 두 가지 방법을 다 사용하거나) 용량 [eqn: d]를 측정하는 것이다. 움직임의 정의역은 영역

[eqn: 0LEQx LEQ a], [eqn: 0LEQy LEQb], [eqn: 0LEQz LEQc] 에 한정되고, 다음의 6개의 선들

[eqn: x=0, &&& x=a, &&& y=0, &&& y=b,&&& z=0, &&& z=c]

에 의해 경계 지어지는 육각형 또는 정육각형이다. 그러나, 특별한 경우에는 오각형, 사다리꼴, 평행사변형 또는 (우리가 이미 알아보았던) 정삼각형의 전 영역이 될 수도 있다.

예를 들면, 그림 4.6A와 4.6B는 문제 [[eqn: 8;&&7,&&6,&&3]]을 설명한다. 8파인트의 액체를 주어진 용량 7, 6, 3인 용기에 주어진 방식으로 나누어야 하고, 우리는 4파인트를 측정해내기를 원한다. 지금 움직임의 영역은 6각형의 영역

[eqn: 0LEQx LEQ 7], [eqn: 0LEQy LEQ6], [eqn: 0LEQz LEQ3] 이고, 이것은 6개의 선

[eqn: x=7, &&& z=0, &&& y=6, &&& z=0,&&& z=3, &&& y=0]에 의해 경계 지어지고, 꼭지점은

[eqn: (7,1,0),&&(2,6,0),&&(0,6,2),&&(0,5,3),&&(5,0,3),&&(7,0,1)]이다. 이것을 간략한 표시법으로 [eqn: 710,&&260,&&062,&&053,&&503,&&701] 로 나타낸다.

그림 4.6A는 전형적인 상태를 나타내어주는 점 332에 주의하여 그려져 있다 : 처음 용기에 3파인트, 두 번째 용기에 3파인트, 세 번째 용기에 2파인트가 들어 있다. 이 점으로부터 방사되는 점선은 여섯 개의 가능한 물붓기의 방법을 나타내고 있다.

332에서 530까지의 경로는 마지막 용기를 첫 번째 용기로 비우는 행동을 나타내고 있다; 332에서 233으로 가는 반대 방향의 경로는 세 번째 용기를 첫 번째로부터 받아 가득 채우는 행동을 나타내고 있다; 332에서 062로의 경로는 첫 번째 용기를 비워 두 번째 용기를 가득 채우는 행동을 나타내고 있다.

그림4.6B에서 사선은 332에서 440으로 가는 다양한 길들 중의 하나를 보여주고 있고 있으며 이것은 8파인트를 두 개의 똑같은 양으로 나누는 것이다. 전 경로는 항상 제시된 삼각형의 한 변과 평행한 방향으로 전진하고 또 움직임의 정의역 안에서 6각형의 변이나 꼭지점에 도달하면 굽어진다. 같은 방식으로 440을 향하여 이 경로를 계속 따라가면 정의역의 경계선에 있는 정수 좌표를 가지는 모든 점에 결과적으로 도착한다; [[eqn: 8;&&7,&&6,&&3]]문제에서 파인트의 임의의 수(8보다는 작은)들은 측정되어질 수 있다.

그림 4.6C는 10파인트 액체는 8, 7, 6파인트 용기로 나누어질 수 있음을 보여주는 문제 [[eqn: 10;&&8,&&7,&&6]]을 보여주고 있다. 지금 우리는 1, 2, 3, 또는 4파인트를 쉽게 측정할 수 있다. 그러나 우리는 (만약 용기들 중 하나가 최초로 5를 포함라고 있지 않다면) 결코 5파인트는 측정할 수 없다. 왜냐하면 세 점 055, 505, 550은 순환하는 원처럼 돌지만 결코  다른 경로로부터는 들어가질 수 없는 삼각형 경로의 형태를 띄기 때문이다. 이러한 현상은

[eqn: h=2d GEQ a>b>c>d]

이 성립하는 문제 [[eqn: h;&&a,&&b,&&c]]에서 나타난다.

550으로 가는 경로는 작은 정삼각형의 형태와 정육각형의 형태로 나타나는 약간 다른 종류가 문제[[eqn: 10;&&8,&&6,&&4]]에서 예외적으로 발생한다(그림 4.6D). 이것은 파인트의 홀수량은 용기가 모두 짝수량인 경우에는 결코 측정되어질 수 없다는 명백한 사실을 보여준다. 그러한 경우는 [eqn: a,&&b,&&c]가 1보다 큰 공약수를 가지는 문제 [[eqn: h;&&a,&&b,&&c]]에서 나타날 수 있다.

가장 중요한 문제 [[eqn: h;&&a,&&b,&&c]]는 [eqn: h=a=2d=b+c]인 경우이고, 움직임의 정의역은 꼭지점 [eqn: a00, &&cb0,&&0bc,&&b0c] 를 가지는 평행사변형으로 경계가 진다. 그림 4.6E와 4.6F는 문제 [[eqn: 8;&&8,&&5,&&3]]의 7번의 스텝과 8번의 스텝의 해법이고, 이것은 다음과 같이 표현될 수 있다: 두 사람이 어떤 액체 8파인트로 가득 찬 용기를 가지고 있고 5파인트 짜리 3파인트 짜리의 두 빈 용기를 가지고 있다. 그들은 8파인트를 똑같은 양으로 나누고 싶다.

처음에는 그림 4.6E에서처럼 5 파인트짜리 용기를 가득 채우거나, 그림 4.6F에서 처럼 3파인트짜리 용기를 가득 채워야만 한다. 그런 후 (움직임의 정의역인) 평행사변형의 4개의 변인 선 [eqn: y=0, &&& y=5,&&& z=0, &&& z=3]의 하나에 도달할 때마다 우리는 선을 거울처럼 생각한다. 다시 말해, 우리는 때때로 독특한 형태를 가지는 탁자의 한 가장자리를 따라 쳐서 출발시키는 당구공의 경로를 따라 간다. (성공적인 대칭 규칙은, 점선의 각 조각들이 주어진 삼각형의 변과 평행하고 세 번째 용기는 그대로 둔 채 첫 번째 용기에서 두 번째 용기로 쏟아 붓는 행동을 나타내고 있다는 사실에 의해 정당화된다.) 그래서 우리는 7번 스텝의 해법은

[eqn: 800,&&350,&&323,&&620,&&602,&&152,&&143,&&440]

이고 8번 스텝의 해법은

[eqn: 800,&&503,&&530,&&233,&&251,&&701,&&710,&&413,&&440].

명백히, 그러한 문제는([eqn: a=b+c]일 때) 정수 [eqn: b]와 [eqn: c]가 1보다 큰 공약수를 가지지 않는 서로소일 때 해답을 얻는다.

연습문제

1. 액체로 가득찬 12파인트짜리 용기와 텅 빈 9파인트짜리와 5파인트짜리 용기 하나씩을 가지고 있다. 이것을 어떻게 두 개의 똑같은 양으로 나눌 수 있겠는가?

2. 세 사람이 신사로부터 향유 24온스가 들은 병을 도둑질했다. 도망을 간 그들은 유리병 장사로부터 세 개의 용기를 구입했다. 안전한 장소에 도착한 후, 그들은 약탈품을 나누기를 원했지만 용기가 각각 13, 11, 5온스 들이라는 것을 알게 되었다. 어떻게 하면 그들의 약탈품을 똑같이 나눌 수 있을까? [1, pp. 28, 40.]

3. 삼각형 ABC에 대하여 두 점 [eqn: P]와 [eqn: P']의 삼각 좌표가 [eqn: (x,&&y,&&z)]와 [eqn: (x',&&y',&&z')]라고 하자. 만약 이 좌표들이 방정식 [eqn: xx'=yy'=zz']를 만족한다면, 그 두 점들은 켤레의 등각이다:

[eqn: ANGLE P'AC= ANGLEBAP,&&& ANGLEP'BA= ANGLE CBP,&&& ANGLEP'CB= ANGLEACP].