1장

삼각형에 관련된 점과 선

대수와 산술의 문헌보다 훨씬 더 방대한, 적어도 해석학의 문헌만큼 방대한 문헌을 겸비한 채, 기하는 수학의 어떤 다른 영역보다, 바쁜 세대는 즐길 여유가 없는, 더 재미있고 반쯤-잊혀진 것을 가진 더 풍부한 보물집이다.

E. T. Bell

이 장의 목적은 유클리드 이래로 발전되었던 어떤 새로운 정리를 도출하고, 우리의 발견들을 흥미로운 상황에 적용시키기 위하여, Dr. Bell 이 언급한 반쯤-잊혀진 것들의 일부를 다시 불러오는 것이다. 우리는 삼각형과 삼각형의 가장 유명한 관련 점과 선을 생각해 본다: 외심(circumcenter), 중선(medians), 무게중심(centroid), 각의 이등분선(angle-bisectors), 내심(incenter), 방심(excenters), 높이(altitudes), 수심(orthocenter), 오일러 선 (Euler line), 구점원의 중심(nine-point center)

각의 이등분선은, 비록 지금은 정말 쉽다고 알지만, 수 백 년 동안 증명하기가 어렵다고 여겨졌던, Steiner-Lehmus정리로 본제를 벗어나 자연스럽게 이르게 된다.

마지막으로, 어떤 삼각형과 일반적인 한 점으로부터, 우리는 그 꼭지점이 점 P에서 주어진 삼각형의 각 변들에 이르는 수선의 발인 한 새로운 삼각형을 도출한다. 이러한 생각은 재미있는 전개를 이끌어내고, 그것의 일부는 다음 장까지 유보된다.

1.1 확장된 사인법칙

사인법칙은 빈번하게 사용되어질 하나의 삼각법 정리이다. 불행히도, 그것은 확장된 정리가 사용될 만큼 유용하지 못한 잘려진(생략된) 형태로 보통 교재들에서 나타난다. 그러므로, 우리가 원하는 형태로 사인법칙을 증명하는 자유를 가진다.

(그림1.1A)

우리는 [eqn: TRIANGLE ABC``]로 시작한다. 그 다음 (그림1.1A)와 (그림1.1B)에서 보여지는 바와 같이 그 주위에 중심이 [eqn: O``]이고 반지름이 [eqn: R``]인 외접원을 그린다. 지름[eqn: CJ``]와 현[eqn: BJ``]를 긋는다. 보여진 두 상황에서, [eqn: ANGLECBJ``]는 직각이다, 왜냐하면 그것이 반원으로 나타나기 때문이다. 그러므로, 두 그림에서,

[eqn: sin J```=``` { a} over {CJ }```=``` { a} over {2R}``]

(그림1.1A)에서,[eqn: ANGLE`J```=`ANGLE`A] 이다. 왜냐하면 두 각은 이 원의 같은 호에 대한 원주각이기 때문이다. (그림1.1B)에서 [eqn: ANGLE`J```=```180°``- ANGLE`A], 왜냐하면 그려진 사각형의 대각이 보각관계이다. [eqn: sin` theta``=``sin(180°`-theta)``]을 기억한다면, 두 그림에서 [eqn: sin`J``=``sin`A``]이다. 그러므로, 이 각각의 경우에서,  [eqn: sin`A``=``a`/`2R``] , 즉

[eqn: {a} over {sin`A}``=``2R``]

같은 방법으로, [eqn: TRIANGLE ABC``]의 다른 각에 대해서도 적용을 하면, 다음을 만들어낸다.

[eqn: {b} over {sin`B}``=``2R``],    [eqn: {c} over {sin`C}``=``2R``]

결과를 정리하면, 우리는 다음과 같이 확장된 사인법칙을 나타낼 수 있다.

(정리l.11) 외접원의 반지름이 [eqn: R``]인 [eqn: TRIANGLE ABC``]에 대해서,

[eqn: {a} over {sin`A}``=``{b} over {sin`B}``=`{c} over {sin`C}``=``2R``]

(그림1.1B)

괄호로 묶인 도형의 이름으로 어떤 도형의 넓이를 나타낸다고 하자. 그래서, [eqn: (ABC)``]는 [eqn: TRIANGLE ABC] 의 넓이를 나타내고, [eqn: (PQRS)``]는 사각형[eqn: PQRS``]의 넓이를 나타낸다.

(연습문제)

1. 삼각형[eqn: ABC``]에서, [eqn: B``]또는 [eqn: C``]가 둔각일 때, [eqn: a``=``b`cosC``+``c`cosB``]임을 보여라.

덧셈정리[eqn: sin(B``+``C)``=``sinB``cosC``+``sinC``cosB``]를 연역하기 위해서 사인법칙을 이용하여라.

2. 삼각형[eqn: ABC``]에서,   [eqn: a``(sinB``-``sinC)``+``b``(sinC``-sinA)``+``c``(sinA``-``sinB)``=``0``]이다.

3. 삼각형[eqn: ABC``]에서,  [eqn: (`ABC`)``=``abc`/`4R]

4. [eqn: p``]와 [eqn: q``]를 반지름으로 가지는 두 원이 점[eqn: A``]를 지날 때, 점[eqn: B``]와 점[eqn: C``]에서 [eqn: BC``]가 두 원에  접할 때, [eqn: pq``=``R^2``]이다.