4.4 Reflection

거리를 보존하는 변환의 세 번째 형태는 일명 거울이라고 불리는 선HK에서의 반사이다. 거울 위의 각 점( H 또는 K )는 변하지 않는다, 즉 그 자신의 반사이다. 거울 위가 아닌 점A의 반사된 상이 점A′, AA′가 거울에 의해 이등분되어지고 A에서 A′를 그은 직선은 거울에 수직이다. 그림4.4A에서, 선분A′B′는 선분AB의 상이다. 점C가 직선AB 위의 한 점이면 점C의 상C′는 A′B′위에 있어야 한다는 것을 보여주는 것은 간단하다. 사다리꼴AA′B′B는 대각선 AB′와 A′B를 가진다; 두 대각선은 거울 HK에 있는 그 자신이 자신의 상인 교점 X를 가진다. 직각의 성질은∠AXH = ∠B′XK 이고, △BXK = △B′XK이므로 ∠B′XK = ∠KXB. 그러므로 ∠AXH = ∠KXB

따라서 임의의 점A에서부터 거울까지의 최단 경로는, 거울의 같은 면에 있는 점B에 이르기까지 최단경로는 꺾은선 AXB이다. 그림4.4B를 보는바와 같이 어떤 다른 점Y를 거울 위에서 가진다고 하면, 경로 AY+YB = A′Y+YB는 곧은 선분 A′B = AX+XB보다 더 길 것이다.

이것은, 말하자면, 계산법에 의존하지 않고 유명한 최단문제를 기하학적으로 어떻게 해결하는지를 보여준다. 한 점A로 부터 거울로, 거기서부터 다른 점B로 향하는 광선의 움직임은 이동시간을 최소한으로 하는 이 경로를 따를 것이라고 물리학자는 말한다.

동질의 매질 속에서, 이러한 시간은 이동하는 거리에 비례한다. 점A로부터 점B로 거울을 거쳐 가는 광선, 거울과 이루는 각이 [eqn: alpha], 인 광선은 같은 크기의 각을 만들고 나아간다; 왜냐하면, 이것은 최단거리의 경로를 요구하는 결과이다. 물리학자들은 거울 그 자체로부터 만들어지는 각 대신에, 관례상 표준상태 (거울에 수선) 에서 각을 잰다. 그림4.4C에서, ∠i는 입사각으로 불리고, ∠r은 반사각이라 불린다.

(연습문제)

1. 빛을 반사하는 면을 가진 부등변삼각형 ABC가 주어질 때, 방사된 빛이 두 개의 다른 변을 거쳐 성공적으로 반사가 된 후에 제자리로 돌아가게 하기 위해서 ,그 빛의 원천이 정확하게 변AB의 어디에 위치해 있어야 하는가?(hint 1.6절)

2. 삼각형의 밑변과 면적이 일정할 때, 삼각형의 둘레의 길이는 이등변삼각형일 때 최소일 것이다.

3. 반사를 사용하여 4.3의 연습문제1을 풀어라.