6.6 Limitations On Approximations

정리 6.3에서 임의의 무리수 [eqn: lambda]에 대응하는 [eqn: -{1} over {2n} < lambda- { m} over {n }< { 1} over {2n }] 인 무한히 많은 유리수[eqn: {m} over {n}]이 있음을 증명하였다.

그리고나서, 정리 6.5에서 [eqn: - {1} over {n ^{2}}< lambda- { m} over { n}< { 1} over { n^2 }]인 무한히 많은 [eqn: {m} over {n}]이 있음을 입증하였다.

[eqn: - {1} over {2n ^{2}} < lambda - {m} over {n} < {1} over {2n ^{2}}] 인 무한히 많은 [eqn: {m} over {n}]이 있음을 증명하는 것이 가능할까?

비록 여기서 증명은 하지 않겠지만, 답은 그렇다이다. 사실, 임의의 무리수 [eqn: lambda]에 대응하는  [eqn: - {1} over { sqrt { 5} n ^{2}} < lambda - {m} over {n} < {1} over { sqrt { 5} n ^{2}}] 인 무한히 많은 [eqn: {m} over {n}]이 있음을 언급한 유명한 정리가 있고, 게다가 [eqn: sqrt { 5}]는 이런 종류의 근사의 가장 최상의 가능성을 산출해내는 상수이다. 이것은 만일 [eqn: sqrt { 5}] 보다 더 큰 임의의 상수가 대신한다면, 거짓이 됨을 말한다.

이 상수의 크기의 제한이 있다는 것의 증명이 가능한다는 것에 대한 몇 가지 생각을 제시하기 위해 우리는 다음의 결과를 입증한다.

[eqn: (4) ~~~~~~~~~~- {1} over { 5 n ^{2}} < sqrt { 2} - {m} over {n} < {1} over { 5 n ^{2}}]

인 무한히 많은 유리수 [eqn: {m} over {n}]이 존재하지 않는다.

사실, (4)가 [eqn: 10]보다 큰 임의의 정수 [eqn: n]대하여 불가능함을 증명하였다.

그 증명은 간접적이다. 우리는 [eqn: n>10]인 어떤 정수 [eqn: n]과 [eqn: m]에 대하여 (4)가 성립함을 가정하자. [eqn: n>10]일때 부등식 [eqn: - {1} over { 5 n ^{2}} < sqrt { 2} - {m} over {n}]은

[eqn: (5)~~~~~~~~~~{m} over {n} < sqrt {2} + {1} over {5n^2}< sqrt { 2}+ { 1} over { 500}<2]

을 의미한다.

한편, [eqn: n>10]일 때 부등식 [eqn: sqrt { 2} - {m} over {n} < {1} over { 5 n ^{2}}]은

[eqn: (6)~~~~~~~~~~ {m} over {n} > sqrt {2} - {1} over {5n ^{2}} > sqrt {2} - {1} over {500} >1]

을 의미한다.

이제, 부등식 (4)에 [eqn: {m} over {n}]을 더한다면

[eqn: (7)~~~~~~~~~~{ m} over { n} - {1} over {5n ^{2}} < sqrt {2} < { m} over {n } +{1} over {5n ^{2}}]

정리 6.1(e)에 따라 이들 세 부분을 제곱하여도 부등식은 성립하고, 각 부분은 양수가 됨을 증명할 수 있다.

(6)에 의하여         [eqn: {m} over {n}- { 1} over { 5n^2} >1-{ 1} over { 5n^2}>1- { 1} over {500 }>0]

따라서, (7)의 세 부분은 모두 양수이고, 따라서 전부 제곱하여

[eqn: LEFT ({ m} over { n} - {1} over {5n ^{2}} RIGHT ) ^2 < 2 < LEFT ( { m} over {n } +{1} over {5n ^{2}}RIGHT ) ^2]이고,

[eqn: {m ^{2}} over {n ^{2}} - {2m} over {5n^3} + {1} over {25n ^{4}} < 2< {m^2} over {n^2} + {2m } over {5n^3 }+ {1} over {25n ^{4}}]

[eqn: n ^{2}]을 곱하여

[eqn: (8)~~~~~~~~~~{m ^{2}}} - {2m} over {5n} + {1} over {25n ^{2}} < 2n^2 < {m^2} + {2m } over {5n }+ {1} over {25n ^{2}}]

이제, (5)에 의하여

[eqn: {m ^{2}}+ { 2} over {5 } LEFT ( {m } over { n} RIGHT ) + {1} over {25n ^{2}} <m^2 + { 2} over {5 }(2)+ { 1} over {25n^2 }]

[eqn: (9)~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~<m ^{2} + {4} over {5}+ { 1} over {2500 }<m^2 +1]

한편, (5)에 의해

[eqn: (10)~~~m ^{2} - {2} over {5} LEFT ( {m} over {n} RIGHT ) + {1} over {25n ^{2}} >m ^{2} - {2} over {5} LEFT ( {m} over {n} RIGHT ) >m ^{2} - {4} over {5} >m ^{2} -1]

(9)와 (10)을 (8)에 적용하면

[eqn: m ^{2} -1<m ^{2} - {2} over {5} LEFT ( {m} over {n} RIGHT ) + {1} over {25n ^{2}} <2n ^{2} <m ^{2} + {2m} over {5n} + {1} over {25n ^{2}} <m ^{2} +1],

[eqn: m ^{2} -1<2n ^{2} <m ^{2} +1]

그러나 [eqn: 2n ^{2}]이 정수이고 [eqn: m ^{2} -1]과 [eqn: m ^{2} +1]사이의 정수중에 놓이게 된다면, [eqn: m ^{2}]과 같아야만한다. 따라서,  [eqn: 2n ^{2}=m^2~ ,~~~~~2= { m^2} over {n^2 }~,~~~~~ sqrt { 2}= { m} over {n }~,]

이라는 결론지을수 있고, [eqn: m]과 [eqn: n] 이 정수로 가정되어져있고 [eqn: sqrt { 2}] 가 무리수이므로 모순이다.

문제 26

1.(a) [eqn: n>10]일 때, [eqn: - {1} over {5n ^{2}} < sqrt {3} - {m} over {n} < {1} over {5n ^{2}}] 인 유리수 [eqn: {m} over {n}]은 존재하지 않음을 증명하여라

(b) 이 부등식을 만족하는 모든 유리수 [eqn: {m} over {n}]을 찾아라

2.(a)[eqn: n>10]일 때, [eqn: - {1} over {n ^{3}} < sqrt {2} - {m} over {n} < {1} over {n ^{3}}]인 유리수 [eqn: {m} over {n}]은 존재하지 않음을 증명하여라

(b)이 부등식을 만족하는 모든 유리수 [eqn: {m} over {n}]을 찾아라

3.(a)[eqn: n>10]일 때, [eqn: - {1} over {n ^{3}} < sqrt {3} - {m} over {n} < {1} over {n ^{3}}]인 유리수 [eqn: {m} over {n}]은 존재하지 않음을 증명하여라

(b)이 부등식을 만족하는 모든 유리수 [eqn: {m} over {n}]을 찾아라

6.7 요 약

임의의 무리수 [eqn: lambda]가 어떻게 가깝게 무한히 많은 유리수 [eqn: {m} over {n}]에 근사할 수 있는지를 몇가지 결과를 얻었다. 가장 강력한 정리가 [eqn: lambda]가 [eqn: {1} over {n ^{2}}]안에 근사될 수 있음을 단언했다. 그리고, 6.6절에서 [eqn: sqrt {2}]의 [eqn: {1} over {(5n ^{2} )}]범위안에 무한히 많은 유리수 [eqn: {m} over {n}]이 존재하지 않는다는 반대의 결론을 수립하였다. 유사한 반대의 결론이 임의의 대수적수에 적용되었다. 사실이지만 임의의 대수적인 수 [eqn: lambda]에 대하여 [eqn: {1} over {n ^{3}}]범위안에 무한히 많은 유리수 [eqn: {m} over {n}]이 존재하지 않음은 참이지만 여기서 증명하지는 않았다. 이것은 일반적으로 초월수라고 말할수 없다; 초월수중 모두가 아니라 일부가 참이다. 다음 장에서 [eqn: {1} over {n ^{3}}]의 범위안 뿐만아니라, [eqn: {1} over {n ^{4}}], [eqn: {1} over {n ^{100}}] 그리고 실제로 독자들이 읽기 걱정스러울정도로 큰 임의의 [eqn: j]에 대하여 [eqn: {1} over {n ^{j}}]범위안에서 무한히 많은 [eqn: {m} over {n}]에 의하여 근사되어지는 수를 표시할 것이다. 이러한 수는 대수적수로 나타내어지지 않음이 증명될 것이고, 따라서 이러한 수는 초월적인 수임을 보이게 될 것이다. 지금까지 우리는 초월적인 수가 정말로 존재한다는 지식없이 초월적수에 대하여 얘기해왔다.