2.4 삼각형의 수심과 수선에 관한 좀더 많은 것들

앞장에서 삼각형의 외접원에 대해서 공부했으나 더 많은 문제에 대해 주목할 필요가 있다.

그림 2.4A는 지름이 이고 중심이 인 삼각형 의 외접원을 나타낸다. 반지름 은 에 수직이다. 삼각형 의 높이 라 하자. 각와 각 는 같으므로 이다. 즉  이고

(2.41)

로부터

,

.

인 그림에서 로 만들어졌다.

이면 각 는 각와 같고  이다.

위 두가지 경우로부터 다음 식이 나타난다.

(2.42)

그림2.4는 세 수선  , ,  가 외접원과 만나는 점이 , , 라는 것을 보여준다. 물론 는 수심이다.

각 가 공통각이므로  이고 이 두 각을 라 하자.

또한 이고 따라서 도 라 둘 수 있다. 직각삼각형 와  가 합동이므로 다음과 같은 결과가 나타난다.

(2.43)

유사한 방법으로  , .

를 지름으로 하는 원은  와 를 지나므로 정리 2.11에 의해 .

유사한 방법으로 이다. 따라서

(2.44)

, , 가 , , 위의 점일때, cevians , , 를 지름으로 하는 원은 수선의 발 ,  , 를 지난다. (그림 2.4C는 두 번째 세 번째 원을 보여준다.) 식 (2.44)에서 형성된 세 표현은 세 원에 대한 H 의 power이다. 따라서 H는 원들의 radical center이고, 다양한 방법으로 난문제로 표현된 두 가지 재미있는 정리가 증명된다.

정리 2.45 원이 지름으로 두 개의 cevians에서 구성되면 그들의 radical axis는 삼각형의 수심 H를 지난다.

정리 2.46 한 축위에 있지 않은 어떤 세 원은 지름으로 cevians을 가지기 때문에 H는 radical center이다.

다음의 간단히 고려해야 할 사항에 의해 같은 결과가 얻을 수 있다.

만약에 AD가 A로 부터의 수선이면 A와 D를 지나는 pencil of coaxal circles은 지름으로 A를 지나는 cevians을 가지는 원으로 표사된다. 이 cevians의 두 가지 경우는 변 AB, AC일 때이다. 게다가 BC, CA, AB를 지름으로 하는 원은 그들의 radical axes를 수선으로 가지고, H는 radica center이다. (이런 방법에서 수선의 집합은 정리 2.31의 특별한 경우를 보여준다.) H가 지름으로 cevians을 가지는 모든 원에서 같은 power를 가지는 것이 분명하다..

몇 가지 놀라운 문제는 정리 2.46(cevians AX, BY, CZ로 으로부터 응용된 것으로)끌어내진다. 세 개의 cevians이 공점이 필요하지 않더라도

지름으로 중선(또는 수선, 각의 이등분선)으로 구성된 원은 radical center가 삼각형의 수심이 됨을 증명해야한다.

공점이 아닌(?) cevians의 재미있는 경우는 X, Y, Z가 그림 2.4D처럼 BC ,  CA , AB의 동일선상점일때다 ; X, B, C는 의 각 변과 동일선상의 점, 또는 Y, C, A는  의 변의 동일선상의 점, 또는 Z, A, B는 의 각 변의 동일선상의 점이다. 따라서 , , 를 지름으로 하는 원은 그들의 근축(radical axes)은 H를 통과하여 형성되고 또한(같은 이유로) 다름 세 삼각형의 수심을 지난다. 이 네 개의 수심은 명백하게 다르므로(?) 근축은 일치하고 이를 증명하였다.

정리 2.47    6개의 점  에 의해 생기는 네 개의 선이 가각 한 점에서 만날 때 -는 각각 동일선상의 점- 를 지름으로 하는 원들은 같은 축(coxal)이고, 네 삼각형(의 수심은 동일선상에 있다.

삼각형과 수선에 관한 다름 특성은 그림 1.3C에서 잘 표현되어 있다. 그림을 자세히 살펴보면 다음과 같은 결론에 도달할 수 있다. 가 의 수심이고, 는 의 수심, 같은 이유로 는 의 수심이고, 는 의 수심이다. 도형 는 orthocentric quadrangle로 알려져 있고, 많은 특성들을 지니고 있다. 우리는 이 중 한 가지만 간단히 설명한다. 가 orthocentric quadrangle이면 어떤 꼭지점의 세 개로 형성된 네 개의 삼각형의 외접원은 같은 반지름을 가진다.

가장 간단한 증명은 식 (2.43)과 그림 2.4B를 이용하여 나타낼 수 있다. 그림에서 와  는 합동이고 따라서 합동인 외접월을 가진다. 그러므로 (또는 )의 외접원은 의 외접원과 합동이다. 그리고 다른 삼각형들도 이와 유사하다.

<연습문제>

1. 연장도니 수선의 점들은 orthic triangle과 닮은 삼각형의 외접원과 만난다.

2. 의 내각의 이등분선은 점 에서 외접원과 만날 수 있도록 확대된다. 각 의 한계점에서 의 각을 찾아라.