Math:Formula: 두 판 사이의 차이

2010년 3월 2일 (화) 23:49 기준 최신판

비에트 등식 : pi 근사

{\frac {2}{\pi }}={\frac {\sqrt {2}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}{2}}\cdot {\frac {\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}}}}{2}}\cdots

비에트는 이런 멋진 식을 얻어냈다. 마지막의 $\cdots$  는 역사적인 점들이다. 
최초로 그렇게 '나타내어' 무한을 다룬다는 것을 공표한 셈이다. 
또 그는 pi 를 계산하는데  $6\cdot 2^{16}$ 까지 해서 점아래 10자리까지 확장했다.  .

제타함수에 대한 오일러 식

\zeta (s)=\prod _{p}(1-p^{-s})^{-1}=\prod _{p}{\Big (}\sum _{n=0}^{\infty }p^{-ns}{\Big )}=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}

.

p 는 prime number.

오일러가 이 식을 발견한 과정과 결과는 '해석 수론' 이라는 분야를 탄생시키는 계기가 되었다.

스털링의 Factorial 근사 계산

n!\approx {\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}.

더 정확히 나타내면,

n!={\sqrt {2\pi n}}\,\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}e^{\theta _{n}12n}\qquad ,\ 0<\theta _{n}<1

베르트랑 가설을 체브세프가 증명할 때, 이 식을 쓴다.

라이프니쯔의 급수 표현

{\frac {\pi }{4}}={\frac {1}{1}}-{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{5}}-{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{9}}-{\frac {1}{11}}+\cdots

{\frac {\pi }{2}}={\frac {2}{1}}\cdot {\frac {2}{3}}\cdot {\frac {4}{3}}\cdot {\frac {4}{5}}\cdot {\frac {6}{5}}\cdot {\frac {6}{7}}\cdot {\frac {8}{7}}\cdot {\frac {8}{9}}\cdots

Pi를 라이프니쯔 수열로 나타내기

오일러 등식

e^{\pi \cdot i}+1=0

보통 Euler Identity라 부는 유명한 등식입니다. $e$ 해석학 분야, $\pi$ 는 기하학, $i$ 대수학, 0과 1은 산술 분야(수론)에서 가장 중요한 수들이라고 할 수 있습니다. 수학의 모든 분야를 하나로 장으로 빨아들인듯한 전율이... :)

이것의 일반식은 $\phi$ 는 실수일 때,

e^{i\phi }=\cos \phi +i\sin \phi \!.

Euler Identity 증명 보기

가우스의 소수 분포에 대한 정리

\pi (x)\sim {\frac {x}{\ln x}}

가우스가 소수의 분포에 대한 연구를 하면서 우연히 발견한 식입니다. $\pi (x)$ 는 어떤 실수 x까지 소수의 개수를 나타내는 '어떤 함수', 다시 말해 정수론의 핵심인 소수가 어떻게 생겼는지 보기 위한 함수이고 오른쪽 $\ln x$ 는 자연로그입니다. 해석학에서 매우 중요한 함수구요. 이둘의 관계가 '근사적'으로 드러난 것입니다.

 소수의 분포  이에 대해서 조금 더 자세히.

페르마-오일러 정리

2보다 큰 모든 소수 $p$ 에 대하여 다음은 참이다.

\forall p\ \exists x,y\in \mathbb {N} \ (p=x^{2}+y^{2})\quad \Leftrightarrow \quad p\equiv _{4}1

죠르당 정리

어떤 평면에서 단순한 닫힌 곡선(Simple closed curve)은 그 평면을 안과 밖 두 쪽으로만 나눈다.