Sand qudres

아직 정리 안된 문서입니다.

증명 1

이것도 indirect 이긴 한데.. 갑자기 생각나서.. 앞에거 보다 더 단순해요. (최소원소의 원리,산술의 기본정리를 쓰니까.. 막강해지네요.. )

• $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv _{p}1$ 인데 제곱꼴이 아닌 a가 있다고 하자. 그렇다면 그 중에 가장 작은 것을 $a_{0}$이라 할 수 있다..
• 산술의 기본정리에 따라,

$a_{0}:=q_{1}\cdots q_{m}$

이고 이때 문제의 조건(a,p) = 1에 따라, 어떤 q들도 p와 같을 수 없다.

$a_{0}$는 제곱꼴이 아니므로 아래와 같이 되는 $j$가 있다.

$Q^{2}\cdot q_{j}=a_{0}$ 여기서 $Q$는 제곱되는 q들 모두 모은 것이다. 그러면

$a_{0}^{\frac {p-1}{2}}=(Q^{2}\cdot q_{j})^{\frac {p-1}{2}}=Q^{p-1}\cdot q_{j}^{\frac {p-1}{2}}\equiv _{p}1$

페르마 정리에 따라 $Q^{p-1}\equiv _{p}1$ ... 그래셔..

$q_{j}^{\frac {p-1}{2}}\equiv _{p}1$

$q_{j}$는 소수니까 제곱꼴이 아니고, $a_{0}$ 보다 작다.. 모순이다. 가장 작은 걸 $a_{0}$ 라고 해놓고 더 작은 게 나왔다..

증명 2 ... 이거 아직 읽지 마세요.. 하다보니.. 이상한 구석이... 어떻게 했더라..???

우선 다음 사실...

• 비제곱꼴인 어떤 수 $a$ 에 대해 $a^{1},a^{2},...,a^{p-1}$ 이 모두 나머지가 다르다.

만약 같은 게 둘 있다고 하면, p-1보다 작거나 같은 것 중, 이런 i,j가 있다는 말인데,

$a^{i}\equiv _{p}a^{j}$

그러면, $i<j$라고 했을 때,

$a^{i}(a^{j-i}-1)\equiv _{p}0$ 이거나 $a^{i}\equiv _{p}0$ 두번째 경우는 말이 안돼죠. (a,p)= 1이라고 했으니까.

$\Rightarrow a^{j-i}\equiv _{p}1$

$a^{p-i}\equiv _{p}1,\ \And \ a^{k(p-i)}\equiv _{p}1$ ... 이 process 계속

$a^{j-i}\equiv _{p}a^{p-i}$

$\Rightarrow a^{p-1-(j-1)}\equiv _{p}1,\ \And \ a^{k(p-1-(j-1))}$ ... 이 process 계속

그리고 그것들 지수들의 차이들에 대해 또 모듈 합동 1, 새로나온 수의 지수의 k배 도 또 모듈 합동 1... 그래서 모두 나머지가 1이 됨. 말이 안되죠.. 이런 경우가 아니면.. 기껏해야, 1인 경우와 1 아닌 경우 둘로 쪼개질 거예요. 이건 어떤 $n$에 대해서도 $a^{n}$은 나머지가 1이거나 $a$거나... 두 유형만 있게 되고.

어??? 이거 이상하다... ? 확실한데.. 어째 이렇게 되었지???

• 첫번째 유형 : 모두 나머지가 1이 되버리는 경우의 예..

$5^{1},\ 5^{2},\ 5^{3},\ 5^{4},\ 5^{5},\ 5^{6}.\ \And 5^{6}\equiv _{7}1$

인데 만약 1,4 지수인게 나머지가 같다고 해보자.

$5(5^{3}-1)\equiv _{7}=0$ (5,7)=1 이니까... 가능한 경우는

$5^{3}\equiv _{7}1$ 그래서

$5,5^{2},1,5,5^{2},1$

$5^{2},\ 5^{4}\equiv _{7}1$

$5^{5}\equiv _{7}5^{4}\cdot 5\equiv _{7}5\equiv _{7}5\cdot 5^{2}\equiv _{7}5^{3}$

^{엄격하게 보이는 것보다.. 예를들어,

$5^{1},\ 5^{2},\ 5^{3},\ 5^{4},\ 5^{5},\ 5^{6}.\ \And 5^{6}\equiv _{7}1$

인데 만약 2,4 지수인게 나머지가 같다고 해봐요.

$5^{2}(5^{2}-1)\equiv _{7}=0$ (5,7)=1 이니까... 가능한 경우는

$5^{2}\equiv _{7}1$ 그래서

$5^{4}\equiv _{7}1$

$5^{5}\equiv _{7}5^{4}\cdot 5\equiv _{7}5\equiv _{7}5\cdot 5^{2}\equiv _{7}5^{3}$

근데..

• 그래서 나머지들이 모두 달라야 하는데 $a^{\frac {p-1}{2}}\equiv _{p}1$ 이면 나머지가 같은 것이 있다는 말이므로.. 모순..

어? 어떻게 했지??? 이게 왜 이러지?? 이건 손좀 더 봐야할 듯... :(