Equation root

B ! 왜 그렇게 해야하는지 모르면서 어떤 일을 해야만 할 때가 있지 않나요? 게다가 그 일이 여기저기 자주 쓰일 경우가 있죠. 그럴 때는 어떻게 하나요? 그럴 때 저는 그냥 외어버렸어요. 외우지 않으면 그것이 필요한 모든 경우를 포기해야 하니까 어쩔 수 없었죠. 원리나 배경을 알았다면 훨씬 나았을 것이고 어쩌면 그것에 담긴 숨은 뜻까지 깨달아 더 많은 곳에 두루 넓혀 쓸 수 있을텐데 말이죠. 혹시 수학을 공부할 때 그런 적 없었나요? 학교에 다니면서 수학 공부할 때 그런 적 없었나요 ? 전 있었어요. 그 중 대표적인 것을 꼽으라면 소위 근의 공식이라는 것이었습니다. 근의 공식이 무엇이었는지 혹시 기억이 나는지요 ? 예를들면 이런 2차 방정식을 풀 때 그랬습니다.

$x^{2}-4x+3=0$

이것을 어떻게 풀었던가요? 제가 배울 때는 이랬습니다. 곱해서 3 이 나오고 더해서 -4가 나오는 수를 찾아서 만드는 것입니다. 그런 수는 -1 과 - 3 이죠. 그래서 이 식을 먼저

$(x-3)(x-1)=0$

으로 바꾼 다음 찾으려고 했던 x 는 3 또는 1 이라고 답을 했습니다. 이런 경우는 그나마 3 같은 상수항이 자연수나 정수여서 찾기 쉬웠어요. 조금 복잡해지면 이런 방식으로 찾는 것은 꽤 어려워서 다른 방법이 필요했습니다. 그런 경우 '근의 공식'이라고 불리는 비법을 썼습니다.

$x^{2}-4x+2=0$

같은 경우예요. 이럴 때는

$x={\frac {(-4)\pm {\sqrt {(-4)^{2}-4\times 1\times 2}}}{2\times 1}}$

로 해서 풀었습니다. 학교 다닐 때 기억이 되살아나는지 모르겠습니다. 그러니까, 2차 방정식이라고 부르는 등식이 아주 일반적으로

$ax^{2}+bx+c=0$

로 준다면, 여기서 우리가 찾고 싶은 x 를 한방에 찾을 비법이 있었던 것입니다. 주문처럼 입으로 흥얼흥얼 읊어지도록 했습니다.

2a 분의 b 플러스 마이너스 루트 b 에 제곱 마이너스 4 ac

이런 식으로 마음 속으로든 입밖으로 드러내든 중얼거리면서 풀었습니다. 기호로 쓰면 이렇게 되지요.

$x={\frac {b\pm {\sqrt {b^{2}-4\times a\times c}}}{2\times a}}$

이런 식의 방정식 풀이는 학교 다니는 내내 하도 여러 곳에서 나왔어요. 왜 하는지 모르면서도 그냥 그렇게 외어서 해버렸어요. 그리고는 마침내 내가 그것을 알고 있는 것인양 착각을 하게 되는 지경에 이르고 말았습니다. 요사이는 이런 작은 것 안에도 심오한 뜻이 있는 것인양 보이곤 한답니다. 처음 수학을 배울 때부터 깨우쳤더라면 더 좋았을 것 같습니다. 조금 다른 관점에서 풀어서 이 이야기를 해보고 싶습니다.

근의 공식의 유도

이렇게 해야하는 원리를 모르고 그냥 외워버렸다고 하는 건 사실 과장입니다. 그렇게 나와야 하는 이유는 분명했습니다. 충분히 이해했었다고 말할 수도 있죠. 이렇게 했으니까요.

$ax^{2}+bx+c=0.$

이 식을 a 로 '묶으면'

$a(x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}})=0.$

이고 a 를 '없애고' , 마지막 항을 왼쪽으로 '넘겨서'

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x=-{\frac {c}{a}}.$

등호의 양 쪽에 같은 수를 더해줘도 결과에는 변함이 없으니까, 앞의 식을

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}=-{\frac {c}{a}}\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}.$

등호의 왼쪽은 '완전 제곱꼴' 이니까 바꾸주고, 오른쪽을 '통분하면'

$\left(x+{\frac {b}{2a}}\right)^{2}={\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}$

이 됩니다. 여기서 '제곱근'을 찾고 오른쪽 항의 분모에서 제곱근을 '벗기면'

$x+{\frac {b}{2a}}={\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

입니다. 이제 마지막으로 등호의 왼쪽에 있는 ${\frac {b}{2a}}$ 를 오른쪽으로 '넘겨서' 통분하면,

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

이 나온다. 그리고 이렇게 덧붙여 설명을 듣곤 했습니다.

" 자, 이것을 근의 공식이라고 합니다. 이것은 앞으로 아주 자주 나온다. 이해되었으면 외어버려야 합니다! "

이것을 근의 공식 유도 과정이라고 부르기도 했습니다. 이 과정을 자유 자재로 부릴 줄 아는 것은 등식과 제곱식의 알고리듬을 충분히 이해한 것입니다. 맞습니다. 이것은 틀리지 않았습니다. 그런데 왜 하필 묶고, 없애고, 넘기고, 통분하고, 완전제곱꼴로 만들고, 벗기는 것들을 왜 그렇게 해야할까요? 이 유도 과정을 잘 알았다고 해도 그것을 깨우치지 못하고서는 이렇게 복잡한 식을 배운 보람이 적지 않을까요? 하나를 알면 열을 깨우친다고 했는데, 이것만 알아서는 열을 깨우칠 기회로 삼지 못한 것입니다.

질문은 상상력의 지렛대다

B ! 제가 생각하기엔 상상력의 근원은 질문입니다. 무엇을 알게 이끄는 동기도 질문이고, 아는 것에서 새로운 질문을 한다는 것 자체가 매우 창조적인 일이죠. 물론 질문만 하고 답을 찾으려는 노력이 없으면 소용이 없지만, 질문 자체를 하지 않으면 이미 있는 것들을 답습하게 되는 경우가 허다합니다. 근의 공식의 유도 과정에서는 이런 질문을 할 수 있습니다.

• 왜 2차 방정식의 근의 공식이 필요했을까?
• 왜 그렇게 해야만 했던가?

질문은 얼마든지 더 해볼 수 있습니다. 질문을 넉넉하게 할수록 좋을 겁니다. 그만큼 상상력을 자극하고 앎의 깊이를 더할테니까요. 제가 보기엔 이 두 질문에 답을 찾아보려는 노력은 동안에 배울게 아주 많다고 봅니다.

먼저 답을 제대로 찾기 위해 질문의 형태를 잘게 쪼개면서 조금 바꿔 보겠습니다.

• 방정식의 근의 공식을 언제 그리고 왜 찾으려고 했을까? 왜 하필 그때였을까?
• 근의 공식을 찾기 위한 전략은 무엇이었을까?
• 전략을 적용해서 문제를 해결하는데 장애가 되었던 것은 무엇이었을까?

B ! 이것은 실제로 역사상에 있었던 일입니다. 선의의 경쟁은 창조의 과정에서 때로는 불쏘시개 역할을 하고 때로는 부채의 역할을 한다. 고대 그리스에서는 올림픽 문화가 성행했다. 꼭 올림픽이라 해서 꼭 몸의 활동을 겨루기만 한 것은 아니다. 공연을 하는 무대에서도 지혜를 얻고자 모여든 마당에서도 겨루기를 하는 문화가 성행했던 것이다. 이런 전통은 르네상스 시기 유럽에서도 심심찮게 벌어졌다. 무림의 고수들만 겨루기를 한 것이 아니다. 복잡한 수학 문제를 풀 줄 아는 사람은 다른 동네에 있는 고수를 찾아가 겨루기를 신청했다. 이는 상대방을 짓눌러 자신을 뽐내기 위해서만 그랬던 것은 아니었다. 자기의 실력을 점검하고 상대방으로부터 한 수 배우기 위한 목적이 있기도 했다. 이런 예를 상당히 많은데, 이에 대한 자세한 이야기는 따로 보기로 하고 여기서는 방정식으로 겨루기 한 사람들의 이야기를 해보려고 한다.

2차 방정식을 예로 든다. A 씨가 평소 복잡한 문제풀이를 열심히 공부하여 상당한 실력에 이르렀다. 그는 어느날 멀리 K 라는 곳에 복잡한 문제를 잘 푸는 고수 H 씨가 있다는 말을 들었다. 그 이름난 고수와 겨뤄 보고 싶었던 A 씨는 짐을 싸서 당나귀를 싣고 몇날 며칠을 걸려 K 에 간다. 그리고 H 씨를 찾아가 수학 문제 풀이를 겨뤄 보고 싶다고 제안한다. 문제의 유형은 미리 정해놓는다. 2 차 방정식 유형의 문제로 겨루기를 한다고 하자. 예를들어,

이런 유형의 문제를 서로 서른 개씩 내기로 한다. 고수 H 씨는 흔쾌히 도전을 받아들였다. 이틀간 머리를 싸맨 A 씨는 자신 낸 문제와 그 해답을 심판관에게 주고, 심판관으로부터 H 씨가 낸 문제 서른 개를 받는다. 물론 H 씨도 자기의 답안지를 심판관에게 제출하고 도전자 A 씨의 문제를 받아간다. 삼일 후 그들은 풀이를 놓고 모인다. 이때는 고수 H 씨, 도전자 A 씨와 심판관 말고도 사람들이 많이 모여들었다. 이들은 문제를 놓고 한 문제씩 풀어간다. 손에 땀을 쥐는 경기가 끝나는 종소리가 울렸다. 도전자 A 씨는 고수 H 씨가 낸 문제 중 아홉 문제를 못풀었는데, 고수 H 씨는 세 문제만 못풀었다. 고수다운 면모를 유감없이 보인 H 씨는 승리의 축배롤 높이 들고 연회가 시작된다. 연회의 비용은 패자 A 씨가 부담해야만 했다.

전략은 문제 해결의 열쇠다.

B ! 이런 상황이 영화를 보듯 그려지는지요? 이건 제가 상황을 추려내 바꿔 이야기 했지만 완전히 꾸며낸 건 아닙니다. 실제로 이런 일은 드문 일이 아니었던 것입니다. 그런데 이제 A 씨는 어떻게 되었을까요? 이런 상상을 해볼 수 있습니다. 보통 사람이라면 패배를 인정하고 다시는 복잡한 문제에 매달리는 어리석은 일은 하지 않겠다고 마음 먹을 수도 있겠죠. 하지만, 우리의 A 씨는 그렇게 하지 않았습니다. 그는 고향으로 돌아가 이런 유형의 문제들을 샅샅히 살피면서, 그 문제가 어떤 유형이든 풀 수 있는 비법을 개발하고자 했습니다.

누구와 겨뤄도 이길 수 있는 비급을 만들고 싶었던 것이지요. 그렇게 하기 위해서는 $1234x^{2}-4568268=0$ 처럼 1 차항이 없는 문제든, $3401981x^{2}+759132x-642=0$ 로 표현할 수 있는 더 복잡한 문제든 풀 수 있어야 했을 것입니다. 다시 말해, $ax^{2}+bx+c=0$ 라고 문제를 표현할 때, a , b , c 에 어떤 수가 오든 풀 수 있는 비법을 찾기 위해 밤을 새며 호롱불 아래서 충혈된 눈으로 실력을 갈고 닦았을 것입니다. 당시까지 누구도 알지 못한 어떤 진실에 도달해야 그 문제를 해결할 수 있었기 때문에 쉽지 않았을 것입니다. 하지만 포기하지 않고 두드리면 문을 열리는 법! 또 다시 잡힐 듯 말 듯한 해법과 씨름하고 날을 새고 난 모월 모일 이른 아침 창밖으로 맺힌 이슬을 밟고 산책을 하던 A 씨는 불현듯 멈추어 섰다가 손뼉을 딱 치고 뛰어 집으로 돌아옵니다. 그리고 그는 방금 떠오른 생각을 정리하면서 풀어써 내립니다. 마침내 위대한 순간을 맞이하게 된 것입니다.

이것도 지어낸 이야기같지요? 하지만, 완전히 꾸며낸 이야기는 아닙니다. 실화에 가깝습니다. 물론 2 차 방정식의 이야기는 아닙니다. 2차 방정식은 이미 수천년 전부터 바빌론, 이집트, 인도, 중국, 그리스에서 이미 상당한 수준에 도달했으니까요. 16세기 이탈리아에서 3 차 방정식에 이와 비슷한 일화가 있습니다. 3차 방정식 해법은 너무 복잡해서 풀어서 말하기가 곤란해서 비교전 간단한 2차 방정식으로 이야기를 바꾼 것입니다. 우리의 A 씨는 어떻게 마침내 해결해낸 것일까요? 아마 이렇게 했을 것입니다. 그는 비슷한 유형의 여러 문제를 풀어보면서 어떤 필승 전략을 세웠을 것입니다. 실제 어땠는지보다 그 해법의 담긴 논리만 뽑아 보겠습니다.

문제를 단순하게 정형화하라

그러니까, 어떤 유형의 2 차 방정식 문제라도 $ax^{2}+bx+c=0$ 형태로 바꾸어 표현하면 다 풀 수 있을 것입니다. 그리고 최종 목표가 무엇인지 확인했겠지요. 다시 말해 최종적으로는 알고자 하는 x 가 a , b , c 만 들어있는 꼴로 나타나야만 합니다. 다시 말해,

x = 네모 박스에 a , b , c 만 들어있는 블랙 박스의 형태를 찾는다.

이것을 위해서는

$x+m=n$

로 풀려도 상관이 없을 것입니다. 여기서 m 과 n 은 a, b, c 로만 되어 있는 어떤 덩어리일 것입니다. 그렇게만 된다면

x = n - m

의 꼴이 될테니까요. 다시 말해 최종 목표가 바로 달성하기 어렵다면, 최종 목표를 가능하게 하는 직전 단계를 목표로 삼으면 됩니다.

문제 상황의 조건을 고려한 전략으로 수정하라

그런데 문제는 2 차식의 문제였기 때문에 바로 이 단계로 접근할 수는 없고 그 전에

$(x+m)^{2}=n$

꼴로 이끌어 갈 수만 있다면 새로 설정한 목표를 달성할 수 있습니다. 왜냐하면 정말로 이 단계까지만 오면,

$x+m=\pm {\sqrt {n}}$

그래서 이제 이것만 풀리면 마지막 단계까지 풀 수 있다는 것은 분명합니다. 이것이 새로운 목표가 되는 것입니다. 이것은 목표를 수정하면서 풀어야 할 문제가 꼭 지키라고 요구한 현실적인 조건을 고려해서 새롭게 설정한 것입니다. 이제 남은 과제는 $(x+m)^{2}=n$ 꼴로 바꿀 것인가 이죠. 문제는 처음보다 훨씬 구체적이 되었습니다. 이제 등호의 왼쪽을 풀어 비교해보겠습니다.

$(x+m)^{2}\ \rightarrow \ x^{2}+2mx+m^{2}$

이것을 곰곰히 들여다보면, $x^{2}+2mx+m^{2}$ 에서 두번째 있는 항 2mx 에서 x 의 앞에 있는 수의 반(半)의 제곱이 더해질 때 비로소 이 $(x+m)^{2}$ 같은 '완전한 제곱꼴' 이 되는 것입니다. 이 문제를 지금은 중학생이라도 이해할 수 있지만 16세기에는 이해하기 어려웠습니다. 이것이 바로 전략을 적용해서 해결하기 매우 어려운 지점이었습니다. 왜냐하면 그때만 해도 문자를 가지고 노는 문화가 없다시피 했기 때문입니다. x 니 m 이니 하는 표현법이 유행해서 수를 다루듯이 하게 되는 것은 한참 뒤의 일입니다. 실제로 지금도 어린 학생들에게 수업을 해보면 이 부분에서 걸리곤 합니다. 왜 그럴까요? 왜 그런 장애가 있었을까요? 내가 보기엔 이렇게 생각했기 때문입니다.

선입견을 덜어내고 있는 그대로 봐라

$x^{2}$ 은 한변의 길이가 x 인 정사각형을 뜻한다고 보았습니다. 그리고 $2mx$ 는 m 이라는 길이의 변과 x 라는 길이의 변을 갖는 직각 사각형의 넓이의 두 배가 되는 것이고 $m^{2}$ 도 정사각형의 넓이라고 봤을 것입니다. 그 습관에서 벗어나지 못하면 이 문제는 매우 어려운 문제가 되버립니다. 왜냐하면,

$x^{2}+2mx+m^{2}$ 는 정사각형 두개와 직사각형 한 개인 세개의 사각형과 넓이가 같은 사각형을, 그것도 정사각형이라는 완벽한 도형을 찾으라는 문제이기 때문입니다. 옆의 그림을 한번 보세요. 사각형 (1) , (2), (3) 들을 더한 넓이와 같은 정사각형을 한번 찾아보세요. 쉬운 일이 아니죠? 바로 이 지점만 뚫고 가면 보았다시피 최종적인 답으로 가는 것은 그리 어려운 일이 아닙니다. 우리의 A 씨는 이 지점에서 어떻게 했을까요? 그가 이슬내린 이른 아침 산책길에서 무슨 생각을 했던 것일까요? 아마도 그는 이렇게 생각했을 것입니다.

' $x^{2}$ 라고 표현할 수 있다고 해서 굳이 정사각형의 넓이라고 생각할 필요 없잖아? 그래 ! 바로 그거야 ! $x^{2}$ 은 그냥 x 를 두번 곱한 것일뿐이다 ! $2mx$ 는 $mx$ 라는 직사각형의 넓이에 두배를 한 것이라고 꼭 그렇게만 봐야할 이유없어. 맞아, 선입견 이전으로 돌아가야겠어. 그 이전으로 돌아가면 $2mx$ 는 그저 $2mx$ 일 뿐이거지. 그저 그것일 뿐 아직은 그 이상도 그 이하도 아닌 거야. 내가 그것을 직사각형의 넓이라고 해석하는 순간, 그것은 직사각형의 넓이가 되겠지만, 꼭 그렇게만 해석해야 하는 것은 아니잖아 ! '

그렇습니다. 우리도 이제 모든 해석 이전으로 돌아가 순수하게 표현된 자체만 보도록 집중할 수 있게 되었습니다.

관계에 주목하라

그 이전으로 돌아가고 났더니,

$(x+m)^{2}\ \rightarrow \ x^{2}+2mx+m^{2}$

만 남고 이것을 어떻게 볼 것인가 하는 문제는 뒤로 물러났습니다. 이제는 나타난 것들의 기호 관계만 보게 될 수 있었지요. 왼쪽에서 오른쪽으로 가는 것은 문자의 곱에서 그렇게 될 수 밖에 없는 것입니다. 화살표 방향을 바꾸면 어떻게 될까요? 바꾸어도 괜찮을까요?

$x^{2}+2mx+m^{2}\ \rightarrow \ x^{2}+mx+mx+m^{2}\ \rightarrow \ x(x+m)+m(x+m)\ \rightarrow \ (x+m)(x+m)$.

그렇습니다. 간단히 쓰면,

$x^{2}+2mx+m^{2}\ \rightarrow \ (x+m)^{2}$

이 되는군요. 그래서

$x^{2}+2mx+m^{2}\ =\ (x+m)^{2}$

입니다. 이렇게 놓고 보니 사각형 셋을 합한 것과 넓이가 같은 정사각형의 넓이를 찾는 것은 어려운 일이 아니게 되었습니다. 이렇게 하면 되는 것입니다.

$x^{2}+2mx+m^{2}$

만 주어졌고 이것을 완전한 정사각형 형태인 제곱꼴로 바꾸려면

제곱인 x 에 일차인 x 의 앞에 있는 것의 반인 m 만 더한 것만큼을 한 변의 길이로 하면 됩니다.

표현된 것만 보고 순수하게 그것들 사이에 맺은 관계에서 해결할 열쇠는 찾아낸 것입니다.

부분들을 결합하여 완전한 문제 해결

그렇다면 우리가 해결하고 싶었던 문제로 돌아가 보겠습니다. 풀고 싶어서 첫 단계로 문제를 이렇게 틀을 짰습니다.

$ax^{2}+bx+c=0.$

그리고 이것을 방금 우리가 풀었던 꼴로 바꾸기 위해 양쪽을 모두 a 로 나눠줘야지요.

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+{\frac {c}{a}}=0.$

여기서 앞의 두 항 $x^{2}+{\frac {b}{a}}x$ 만 보면, 일차인 x 앞에 있는 ${\frac {b}{a}}$ 의 반과 x 를 더해서 정사각형의 넓이를 나타낼 수 있는 꼴로 바꿀 수 있습니다. 이렇게 되는 것이지요.

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}$

하지만, 그렇게 하려고 했더니, 우리가 풀어야할 형태와 모양이 지나치게 달라져버렸습니다.

$\left({\frac {b}{2a}}\right)$

만큼 더 있게 되버렸습니다. 지나치게 많아진만큼 다시 빼내 버린다면 원래와 다르지 않겠지요. 그래서 문제를 풀기 위해 바꾸었던 식은 다시 이렇게 바꿔 쓸 수 있습니다.

$x^{2}+{\frac {b}{a}}x+\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}-\left({\frac {b}{2a}}\right)^{2}+{\frac {c}{a}}=0.$

자, 이제 완전한 제곱꼴로 바꿀 수 있는 것은 바꾸고 나머지는 분모를 같게 만들겠습니다.

$\left(x+{\frac {b}{a}}\right)^{2}+{\frac {-b^{2}+4ac}{4a^{2}}}=0.$

입니다. 우리가 최종 목표를 수정해서 '이것만 되면 풀린다' 는 꼴

$(x+m)^{2}=n$

로 바꿀 수 있게 된 것입니다. 등호의 양쪽에 같은 수만큼 빼주면 마침내 이렇게 되지요.

$\left(x+{\frac {b}{a}}\right)^{2}\ =\ {\frac {b^{2}-4ac}{4a^{2}}}.$

앞에서 말했듯 이제 여기까지 왔으니 남은 과정은 거의 자동적으로 풀리게 됩니다.

$x+{\frac {b}{a}}\ =\ {\frac {\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

이고 그래서

$x={\frac {-b\pm {\sqrt {b^{2}-4ac}}}{2a}}.$

처음 예상보다 설명이 조금 길어졌습니다. 하지만, 이렇게 이해했을 때 비로소 A 씨는 2 차 방정식 형태의 겨루기에서는 무소불위의 비법을 가지게 된 것이고, 더 나아가, 이제 더 복잡한 것이 나오더라고 해결할 막강한 힘을 기른 것입니다. 요약해서 다시 말하면 이렇습니다.

• 풀고 싶은 문제를 먼저 최대한 간단하게 그리고 정형화된 형태로 바꾼다.
• 최종적인 답이 어떤 형태로 나와야 하는지 유추해본다.
• 그 최종적인 답이 바로 나오기 힘들면 최종적인 해결이 나올 수 있는 전단계의 해결법을 찾는다.
• 문제가 처한 상황을 고려해서 어떤 조건을 만족해야 한다면 그것을 반영한 해결법을 찾는다.
• 그렇게 해결했을 때 선입견을 버리고 순수한 추상적 형태의 해결법을 나타내본다.
• 그렇게 표현된 기호들이 어떤 관계에 있는지 더 분명하게 드러낸다.
• 그 생각을 원래의 문제에 반영하기 위해 필요한 것을 임시로 빌려 왔다가 덜어내며 모양을 바꿔 본다.
• 도달하고자 하는 변형된 목표를 달성한다.
• 최종 목표에 도달한다.

이런 질문도 해볼 수 있습니다.

• 그렇다면 3 차 방정식도 x 를 찾는 공식이 있을까? 4차, 5차처럼 차수가 계속 올라가도 과연 항상 있을까?

이것은 수학의 세계에서는 지극히 자연스러운 질문형태입니다. 2차 방정식이라는 과제를 해결하면 그것을 더 일반화하는 것입니다. 2 차 방정식에서 가장 먼저 일반화할 대상은 특정한 수 2 를 일반적인 경우에 대해서 살펴보는 것입니다. 그렇다면 자연스럽게 위의 질문이 따라나올 수 밖에 없습니다. 3 , 4, 5, ... 처럼 계속 차수를 높여가면서 과연 그것이 가능할까 물어보는 것입니다.

B ! 당신이 짐작할 수 있듯, 2 차 방정식의 일반식을 구하는 문제는 그리 어려운 일이 아니었습니다. 문제는 '일반식'으로 표현하는 기호체계였지만, 여기서는 그것에 대해서까지 말하지는 않겠습니다. 식을 이렇게 저렇게 풀어서 문자만 가지고 놀기 위해서는 기호로 어떻게 표현할 것인가가 매우 중요합니다. 어떤 것이 잘 어울리는 기호로 표현되면 문제 풀이는 그만큼 쉬워집니다. 어쨌든 기호체계가 어느 정도 자리를 잡아갔다면 2차 방정식 풀이는 그리 어려운 문제가 아니었을 겁니다. 하지만, 3차 방정식이라면 벌써 문제가 그리 간단하지 않습니다. 3차 방정식의 일반식이라면

$ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0$

의 형태겠지요. 여기서도 a , b , c, d, e 는 정해질 것이라고 보고 우리가 찾고 싶은 것이 x 입니다. 어떻게 해야 a, b, c, d 만 써서 x 를 찾을 수 있을까요? 이것은 상당히 복잡한 과정을 따릅니다. 그리고 이런 복잡한 과정을 푸는 것은 어려운 만큼 인류에게 큰 선물을 했습니다. 바로 3 차 방정식을 풀어가는 동안 사람들은 '허수'라는 이상한 수, 그러니까, 어떤 수를 제곱했는데, 음수가 되는 어떤 수의 존재를 어렴풋이 알게 됩니다. 도저히 믿기 어려운 수라 드러내놓고 뭐라고 말하고 그것을 수(number)라고 받아들이기까지는 수백년이 걸리긴 하지만, 무언가 신비한 수가 있다는 생각은 했습니다.