Nothing that is

마음에 안들었지만, 부분부분 메모하며 되새김질.

원제 : The Nothing that is : A natural history of zero / 지은이 : Robert Kaplan /번역 : 심재관 / 이끌리오, 2003

이탤릭체로 된 부분은 내가 고쳐쓴 부분임 :) 이유는 여러가지..

Ch 0. 0 이라는 렌즈를 통해 본 세상

0 은 안보이지만, 0이라는 렌즈를 통해 온 세상을 보다. 0 으로 수학이라는 거대한 유기체를 조망하고 ..
수학의 훌륭한 도구들을 잘 쓰면 미로처럼 복잡하게 얽혀 있는 사물들의 모습이 .. 드러난다.
0은 수메르 문화에서 처음 나타났다가 수백년 있다 사라지고 다시 나타났다 사라지고..
0 은 없지만 실재하는 없음
수학은 노력을 기울인 사람에게만 아름다움을 드러낸다... 수세기 동안 잠재되어 있다가 거기에 적합한 사상의 기운이 도래했을 때 봇물처럼 터져나오는 개념, 추측과 명상, 상상력과 논리간의 끊임없는 대화.
세익스피어 : 형체없는 동그라미가 0 이라 함.. 어떻게 이런 존재가 수학이라는 거대한 구조물을 형성하는데 그렇게 결정적인 역할을 하는 것일까? 어떻게 어떤 수학자는 0 * 0 = 0 이므로 모든 숫자는 실재한다고 주장할 수 있을까?
0과 수학 공부를 하면서 .. 우리가 찾오한 것에는 항상 이름을 부여하려고 하고 사물이 그 이름과 별개로 존재할 수 이는가를 궁금해하는 이상스러운 욕구가 ... 0 이 우리의 사고가 만들어낸 허상이냐 하는 문제는 우리가 사물의 상태를 만들어내는 것인지 아니면 존재하는 것을 발견하는 것인지, 그리고 더 나아가 우리 우린간이 어느 위치에 있는 존재인가 하는 더 깊이 있는 문제를 불러 일으킬 것이다.
항상 손짓하고 다가가도 결코 이를 수 없는 곳, 아마도 이것이 0 이 갖는 속성.

Ch 1. 마음은 물질에 그 자국을 남긴다

숫자로 1,2,3,4,5,6,7,8,9, ~ , !, @ , #, $, %, ^, &, * ,(, ) 이 있다고 할 때, 7 더하기 8은 ? ( 빼기 $ 은 ? (그만큼 왼쪽 오른쪽으로 왔다갔다 또는 막대기를 더하고 빼가면서 셈가능 ) ~ 빼기 ) 은 ?
1년은 12개월, 1주일은 7일, 하루는 24시간, 1파운드는 16온스, 1971년까지 영국에서 1실링은 12페니, 1파운드는 20실링 (D-day )
수메르 : 점토판에 속이 빈 갈대로 원과 반원을 찍어 글자 기록, 갈대펜에서 삼각 경필로 바뀌자 쐐기 모양 설형문자 새겨. 기원전 2000년 경.
60에서는 같은 모양 쐐기인데 조금 크게 쓰기 시작 - 자리 표기법의 시작 : 2 마리 인지 120마리인지, 7200마리인지 .. 아무 문맥을 통해 파악했을 것.
자리수 올라가는 덧셈 해보기 vs 고대 로마 덧셈과 비교해보기
소포클레스 : 위대한 것에는 저주가 따르기 마련
빈자리 나타내는 기호 등장 : 옆으로 약간 기울인 쐐기 둘 (끝에는 안쓰고 중간에 빈자리로만 쓰임): 처음 누가 이것을? 그는 사라지고 기호만 남아 , 0 으로 대접받지 않고 빈자리만 뜻했다는 것을 말해주는 부분

Ch 2. 그리스인에게 영이란 말은 없었다

거쉰 : I got plenty o'nottin' // An' nuttin's plenty fo'me.
오딧세이 : 거인 폴리페모스에게 " 나는 비존재자 (Nobody) 입니다. ... 눈찔리고 괴성지르고 거인의 동료들 왔을 때 "Nobody kills me " 가 되버려.
알렉산더 대왕 때에야 0영이 나나타게 되는데, 그때는 이미 영광스런 그리스의 문명이 쇠퇴기 일때. 아마도 기원전 331년 바빌로니아 침략했을 때 여인과 금은보화와 함께 0 을 취하였던 듯. 기원전 3 세기 파피루스 천문학 기록에 영의 기호로 O 사용
왜 동그라미 였을까? 그리스 문자 오미크론(동그라미 닮은 그리스 알파벳 ) 설 : '없음' '오딧세이' 나타내는 첫글자. 단순 부정 나타내는 글자의 첫.... (억측같은 )
그리스나 로마 : 위치갖는 의미 없어. 글자가 수를 대변. 셈이 어려워. 위치가 의미 없었다는 건 0에 해당한 기호가 없었다는 뜻으로 추론 가능.
디오판투스 책에 10,000단위 글자에 새로운 기호 필요 느껴 : 지금의 M 과 비슷한 글자의 패인 부분에 작은 동그라미 얹어 표시.
프톨레미우스의 알마게스트(Almagest "가장 위대한 집대성"이란 뜻)에 0 을 뜻하는 다양한 기호들 나와, 동그라미에 여러 선들 얹어. 또는 동그라미를 가운데와 양끝에도 써서 세 개의 숫자 연달아 쓰는 형태의 삼각법 (오늘날의 $10^{o}$ 51' 40"의 몇도 몇분 몇초 나타내는 방법 그때부터 시작) + 물론 숫자를 나타내는 부분은 그리스 문자로 + 60진법 사용. 그러나 이때도 O 는 도분초 중 부재를 뜻할 뿐, 다른 숫자와 결합해서 특정 수를 나타내지는 않았다.
그리스 인들은 셈을 천시하는 경향이 있었다. 셈하는 것을 병참술(logistic)이라 불렀고 상인만 그런 일을 했던 듯, 수도 기하학적으로 풀어써 (예 : 다각수) 셈은 수판이나 염주같은 기구, 손가락 사용 : 오늘날에도 그리스 식당, 시장에 변형된 형태로 남아있다. 여기에 0을 나타내는 칸은 없다.
고대 그리스 도자기나 그림들에 셈하는 풍속 흔적.
0은 어쩌면 모래판 계산에서 조약돌(둥근 모양이었을 듯한)을 다 빼고났기 때문에 동그라미를 쓰지 않았을까.
아리스토파네스의 희곡 작품 '말벌들'에서 : 시의 재무를 처리할 때에 조약돌 대신 손가락을 사용해야 한다는 주장.
숫자는 상태를 나타내는 형용사인가, 존재를 나타내는 명사인가.
그리스 시대의 지적 능력, 일리아드, 오딧세이를 시로 암송하는 기억력, 을 생각하면 영이 없었던 게 아니고 어쩌면 (피타고라스 학파처럼) 이미 알고도 비밀로 해둔 게 아닐까? 인도로 전파한 게 아닐까?

Ch. 3. 아르키메데스, 온 세상 모래알의 개수를 세다

아테네의 정신 문명은 알렉산드리아로, 정치적 힘은 로마로.
아르키메데스는 기원전 287년 천문학자의 아들로 태어났다. 시라쿠사 (시실리 섬의 고대 도시국가)의 왕 겔론에게 보낸 저작에서 모래알의 개수보다 큰 수에 이름을 부여하는 방법을 설명하고 있다. 거기에 온 세상이 모래만으로 되었을 때, 그 개수에 대해서도 언급했다. "제가 명명한 숫자 중에 어떤 것은 우주를 가득채우고도 남을 모래알의 개수보다 더 큽니다. 저는 이 사실을 기하학적으로 증명해보이고자 합니다. "
(구의 모양이라고 가정한) 양귀비 씨앗만한 한 무더기로 모래알이 최대 만 개. 씨 40개를 일렬로 늘어놓은 것이 손가락 폭 하나 정도라 하자. 그러면 손가락 하나의 부피에 해당하는 모래알은 64,000 * 10,000. 대충 10의 9제곱 정도. 손가락 폭의 만 배가 1 스타디아(160센티=0.1 마일 정도). 그것을 반지름으로 하는 구의 부피는 만의 세제곱, 그래서 그 안에든 모래알은 만의 세제곱 * 10의 9제곱 : 10의 21제곱. 아리스타쿠스(Aristarchus)의 계산법으로 우주의 직경은 10의 14제곱 스타디아 (지구의 직경 : S 의 직경 = S 의 직경 : 우주의 직경, S는 지구에서 태양까지 거리가 반지름인 가상의 구) , 그래서 우주 전체는 10 의 21제곱에 10의 14제곱 직경의 구의 부피 (10의 42) : 결국 10의 63. " 전하, 수학을 배워보지 못한 사람들에게는 저의 논의가 믿기지 않을 것입니다. 하지만, 수학자들에게는 저의 증명이 충분히 설득력이 있을 있을 것입니다. 전하께서도 수학을 배워보는 것이 충분히 가치 있는 일일 듯 합니다. "
지수법이 없었는데도 그렇게 계산을 해낸 것이 놀라와 : 10의 지수는 0을 기호로 갖고 있어야 한다는 것을 전제로 한다. 아마도 수판을 썼거나 수의 이름을 불렀을 : 가우스도 아르키메데스가 그렇게 고도의 계산을 하면서도 0 을 생각해내지 못한 것에 놀라와 했다.
우주 자체에 가득한 모래를 한단위로 생각한 다음 거기에 다시 8 제곱한 수를 생각함. '" 1단계의 수 가운데 마지막 수를 2 단계 1차의 수의 기본 단위로 하자. 그리고 다시 2 단계 1차의 수에 속하는 수의 개수에 1만 배의 1만 배를 한 것을 2 단계 2차의 수의 기본 단위라 부르지. 이와 비슷하게... 이러한 과정을 1만의 1만 번째 단계 1만의 1만 번째 차수의 1만의 1만 단위까지 계속해보자. " (벌써 Cantor 의 cardinal number 개념 )
여기까지 하면 결국 $10^{80,000,000,000,000,000}$ . 8 억의 10에 8제곱되는 0을 붙인 셈. 초당 0을 하나씩 붙여도 빅뱅 이후 지금까지 다 쓸 수 없는 정도의 수.
왜 이책을 썼을까? 지식인의 힘이 권력자 보다 강하다는 것을 보이기 위해서 (라는 주장), 자기의 계산력 과시 (라는 주장), 더 큰 수에 대한 경쟁 (라는 주장) : 실제로 그의 '모래 계산' 이후 Apollonius 는 큰 수에 이름 붙이는 새로운 기술 개발하여 응수. 아르키메데스는 다시 더 큰 수로 응수. 그 답은 47쪽 정도의 분량. (35,819 번째 수가 7개, 여기에 25,818 번째 수가 7602만 7140개, 여기에 더하기를... )
혹시 아무리 큰 수라도 무한과 다르다는 것을 보이기 위해서 한 것은 아닐까? 0 의 사용의 편리를 깨닫게 하기는 커명 그 사용을 피하도록 한 것은 아닐까? 수를 '명명' 한 것을 강조하였지만, 실제로는 수의 명명이 많아질수록 수에 대한 감각은 사라지는 경향. 아이들을 보라. 10에 1억 제곱 이라는 수에 이름을 준들 .. 오늘날 googol, googolplex (100 제곱의 100 제곱 만큼 10에 제곱)

Ch 4. 0 을 찾아 동방으로 떠나는 여행

말하다,와 셈하다의 말 비슷 : tell stories, tell beads, tally accounts, recount tales (말하다, 염주를 세다, 입출금내역을 확인하다, 상세하다 말해주다)
수학은 수를 세는 것에서 수량 사이의 관계로 발전,새로운 용어를 도입해가면서 발전. .. 문제는, 관계에 촛점을 맞추기 위해서는 관계를 맺고 있는 대상물들이 연결해주는 점들로 촛점을 좁히고, 또 연구를 확대하기 위해 관계 자체를 다시 기호화해야 한다.
사과 일곱. 일곱은 어디에 속해있을까 ? 어디에 ? 마지막 사과도 아니고 첫번째 사과도 아니고.. 0 의 문제는 더 복잡.
"모래계산" 후 300년 쯤 지나 쓰인 것으로 보이는 "Lalitavistara"(보요경, 붓다의 생애 기록) 에 보면, Gopa 의 손을 상으로 두고 붓다가 다른 사람들과 경쟁. 씨름, 궁술, 달리기, 수영, 글쓰기 모두 우수. 더 큰 수 대기 경쟁. 누가 수를 대면 그것보다 백 큰 단위를 말해야 하는 게임. 붓다는 탈락차나 (10에 53제곱) 까지를 1단계 수로, 그리고 나서 $10^{7+2*46}$ 에서 시작해서 9 단계 수인 구문 분석 실패 (SVG를 사용하되 미지원 시 PNG 사용 (브라우저 플러그인을 통해 MathML 활성화 가능): "https://wikimedia.org/api/rest_v1/" 서버에서 잘못된 응답 ('Math extension cannot connect to Restbase.'):): {\displaystyle 10^{7+9*46}} 까지 말한다. 고파의 손을 받고 시험 감독관이 무릎을 꿇으며 "당신이 최고의 수학자입니다." ^[1]
붓다 " 어느 누구도 이런 수를 모른다. 오직 나 또는 나처럼 궁극적 존재에 다다른 자만이 알고 있다... 이것이 계산의 끝이다. 그것을 넘어선 것은 계산 불가능하다. " 이것으로 자리수법이 없다는 것, 수가 사물에 종속되어 있다는 것을 짐작할 수 있다.
(이부분에서 인도 문명을 찬양하는 듯 하면서 지은이는 그리스인들을 궁극에 두는 묘한 태도를 보이는 데 왜그럴까? )인도의 수쓰기 : 중국처럼 수를 쓸 때 숫자 (만) 숫자(천) .. 과 같이 단위 붙여 써서 큰 수를 나타낼 수 있는 길을 뚫음. 단지 한단계 높은 추상화를 거쳤을 뿐이다. 인도도 산스크리드 문자로 표시. 숫자문자부분- 단위부분문자 의 교차 쓰기. 예를들면 386 은 CASAGI .
자리를 나타내는 말이 kha. 0 을 쓸 때도 이 말이 sunya(空, 비어있음을 뜻함)와 함께 가장 많이 쓰임. 'kha' 말고도 공간을 뜻하는 단어들 있었다. 곧, 수냐가 널리 쓰이게 됨.
브라마굽타도, 0 의 기호 없이, 때로는 kha, 때로는 akasa(대기), 때로는 수냐로 씀.
그로부터 200여년 지난 830년 경, 남쪽의 미소레. 힌두교 아니라 자이레 교. 마하비라가 쓴 책(브라마굽타 책의 개정주석서) 에 0의 기호 없이 다시 kha 가 등장. 12개의 낱말 (하늘, 심연, 창공, 푹풍우 치는 하늘, 고요한 하늘, 비슈누의 발자국, 中天, 공간 ... ) : 예를들어 " 그것에 무엇을 더해도 여전히 하늘은 그대로이다" . 문맥마다 0 이 조금씩 다른 의미로 해석되었거나, 앞뒤 단어와 운율을 위해서 였을 듯. 형태에 소리를 부여하고, 결국 소리조차 없는 기억에 담는 과정.
서기 662년 시리아의 주교 Severus Sebokht : " 그리스인들이 과학을 독점했던 것이 아니라, 바빌로니아 갈데아 사람들의 충실한 전수자에 불과하고, 천문학을 만들어낸 것도 시리아 인이며, 인도인이 발명한 발명, 특히 산술법은 그리스보다 독창적이라고 주장. + " 계산을 하는데 오직 9개의 기호만을 사용했다는 것을 언급하고자 한다." ... 0 이 아직 수로 안된 증거. 그렇다면 어떻게? 빈자리로..
Oswald Spengler : "서구의 몰락"에서 " 0 은 고도의 추상적 사고력이 낳은 산물로 매우 정교하다. 인도인들은 0 을 자리표기법의 기본 요소로 이용하였다. 또 인도인에게 0 은 바로 존재의 참다운 의미를 파악하는 열쇠였다. ... 이러한 영적 능력을 지닌 사람들만이 위대한 무의 개념으로부터 진짜 수를 만들 수있다" 는 것에 대해 저자는 '우리는 지금 슈펭글러의 주장을 받아들이지 않고 있다. ... 누구도 동의하지 않을 것이다. ... 당시는 사람들을 사로 잡았는지 모르지만, 결국 나찌즘에 쓰인 ... 지나친 일반화를 배격해야 한다... 고 주장. (그런데 지은이도 그런 지나친 일반화나 편향이 드러나는 듯 함 :) )

Ch. 5. 점이 0 으로 사용된 아랍과 인도

조약돌 놓을 경우 : 47 - 34 을 연산할 때, 47개를 나타내는 조약돌 (예를들어 왼쪽에 넷, 오른쪽에 일곱) 에서 왼쪽에서 셋을, 오른쪽에서 넷을 빼고 남은 하나/셋 := 13 이 나오는 것은 같다. 모래 없는 판 vs 모래판은 '(47의) 흔적이 남았느냐 아니냐'의 차이. 어쨌든 칸이 헷갈리거나 자칫 돌이 굴러가거나 쉽게 사라짐.
Apex 아펙스 판 : 수도사 Gerbert 가 교황 실버스터 2 세가 되기 전인 967년 경 고안한 셈판 : 동물 뼈로 만든 셈틀. 칸을 건드리지 않고 자리수표기법 할 수 있게 함. (처음엔 갯수만큼 쌓아올렸는지 모르나... apex(꼭데기란 뜻)처럼)1-9를 뜻하는 판이 있어서 그것을 칸마다 하나씩 놓으면 됨. 예를들어 4를 뜻하는 셈돌을 둘째칸에 7을 뜻하는 셈돌을 첫째칸에 놓으면 그것이 47을 뜻하게 됨. 이 때 숫자는 서부 아라비아 숫자로 씀. 게다가 0 을 나타내슨ㄴ 표시 있었다 ! 동그라미 안에 사람 인(人) 자. sipos 시포스로 불렸다. (셈 돌, 자리수 표기, 0 은 관련이 있는 듯). 이렇게 아라비아 숫자를 쓰고, 인도의 'kha'에 대응하는 0의 개념이 있는 셈돌을 써서 수도사 제르베르는 악령과 교제했다는 비판 받았고, 죽은 후 몇백년이 흐른 뒤에 (당시 교황의 명령으로!) 관뚜껑이 열리는 수모를 겪는다.
모래판 사용 : 인도나 로마의 경우 산술판으로. 키케로가 언급한 pulvis eruditus '학자의 모래' 나, 900년 경 Remigius of Auxerre 가 묘사한 녹색 모래와 청색 모래가 섞인 판은 아마 칠판의 역할을 한 것으로 보임(거기에 기하 그림을 그리고 지울 수 있는)
산술판(주판)이란 말은 아바쿠스(abacus), abax( $\alpha \beta \alpha \xi$ ) 은 셈족언어인 abq '먼지' 에서 유래한 듯.
무어인들이 지배하던 서기 950년 경 스페인에서는 아랍인들이 후르프 알 고바르 (hurf al gobar ; 먼지숫자) 라 불렀던 도형들이 있었다. 인도의 먼지판에서 유래했을지 모르나, 여기엔 0 이 없었다. 아마 학자가 아니라 상인들이 아랍으로 전래한 듯. 그런데, 숫자 위에 점하나가 있으면 10자리를, 두개가 있으면 100단위, 셋 있으면 1000 단위를 나타냈다. 마치 0 처럼 ! (예 : ${\dot {3}}:=30,{\ddot {8}}3:=803$ )
히브리어에서는 모음이 사용될 경우 다른 글자의 위에나 밑에 점으로 표시해서 여러방식으로 해석될 가능성을 막기도 했다. (cf. 히브리어는 자음만 사용해서 본래의 의미를 숨기기도 했다.)
(오늘날에도 점, 쉼표, 콜론, 세미 콜론으로 문장과 문장을 분리하는 나름의 습관이 있다)
620년 경 , Subandhu 의 Vasavadatta 라는 책에 보면, " 윤회의 영혼이 갖는 無의 특성으로 인해 하늘의 별들은 마치 0 인 듯 하늘을 점으로 수놓는다. 창조자가 푸른 하늘 위에 달을 분필 삼아 합산을 하고 있는 것이다. "
150년 경, 프톨레미우스가 알마게스트를 저술할 시기 쯤, 진흙으로 만든 공이나 구슬모양의 표시가 위치에 따라 다른 값을 가졌다. 이런 그리스적 전통이 인도로 넘어가 빈두('점'이라는 힌두어) 라고 해서, kha 와 마찬가지로 나중에 0 을 뜻하는 말로 표시된 것을 보면, 그리스에서 0이 인도로 넘어간 것은 아닌지? 150년 경의 그리스 원전을 270년 경 산스크리트 어로 번역한 책 Yavanajatake 에 'sat binduyutani 라는 말이 나오고 뒤에 sat khayutani 라 하여 모두 6에 0 을 붙인 것이라는 뜻인데, 이 중 bindu, kha가 같은 의미로 쓰였다는 점을 주목하라. (지은의의 억지스러움이 다시 드러나는 )

Ch. 6. 미지의 세계를 향한 여정

문제는 인도 사람들이 0 의 기호를 점이니, 동그라미로 썼다는 것이 아니라 0 을 어떻게 생각했느냐. 그들은 점으로 0 만 나타낸 것이 아니라 '미지의 세계'를 나타내기도 했다는 점에 주목해야 한다. 초기 인도의 수학 문헌으로 100년 쯤 전 발굴된 박샬리의 문헌에 보면 27/8 * 32 에 대한 것을 아래와 같이 썼다.

{\frac {\bullet }{1}}\quad {\frac {3}{2}}\quad {\frac {3}{2}}\quad {\frac {3}{2}}\quad 32=108

박샬리의 문헌에 보면 이런 문제도 있다.
- B 는 A 의 두 배고, C 는 B 보다 3 배 크며, D 는 C 의 네 배다. 이 넷을 더하면 132 다. A 는 ? 그리고 그 해법을 다음과 같이 했다.
- 수냐의 값을 1 로 해보자. 그러면 A = 1, B = 2 , C = 6, D = 24 고 그 합은 33이다. 따라서 A 는 132 를 33으로 나눈 값, 4 다.
언제부터인지 정확하지는 않지만, 언제부터인가, 인도의 어떤 사람(수학자였을 것)이 nothing 과 something 이 모두 sunya로 지칭해도 문제 없다는 것을 깨달았을 것이고, 그에 따라 점의 사용에 문제를 느꼈다. .. 한순간 nothing 이었다가 다음 순간 something 으로 바뀌고 다시 다른 존재 앖에서는 사라져버리는 것은 대체 무엇일까? .. 실마리는 우리가 보통 이 단어(sunya) 를 '空' 으로 잘못 번역하고 있다는 사실에서 나온다. 인도인들에게 절대적인 nothing 이란 없다. 우리가 질량 불변의 법칙을 받아들이듯, 인도사람들은 실체는 소멸할 수 없으며 단지 형태와 성질만 변화될 뿐이라고 믿었다. 충만함 즉, 브라만이 우주를 가득 채우고 있지만, 브라만은 절대 원자 absolute element 이상으로 늘어나거나 그 이하로 줄어들 수 없다. 절대 원자는 그것에 종속되는 성질들만 비어 있을 sunya 뿐으로 불교에서도 비슷한 개념으로 쓰인다. ( ???? ) .. 완전히 비어있음이 아니라, 무엇인가를 받아들이는, 자궁과 같이 곧 일어날 팽창을 준비하는 공간일 것.
아르키메데스는 10/71 을 ${\bar {\iota }}o\alpha '$ 로 썼다. (앞의 $\iota$ 는 10 을, $o$ 는 70을, $\alpha$ 는 1 ) 이때, 어떤 수에 ' 가 붙으면 분모를 뜻했다. (이런 식으로 그 복잡한 계산을 해낸 것이다.)
디오판투스 때는 만단위 기호가 있었다. 지금의 M 자와 비슷한 글자에 위의 홈이 패인 곳에 작은 동그라미. 또는 점을 사용하여 만단위를 나타내기도 했다. 점을 어떤 수문자의 다음, 또는 위에 점 하나를 찍었고, 헤론은 만을 나타낼 때 점을 둘 찍었다.
미지수의 개념은 멀리 바빌론 시대도 있었고, 플라톤이 활약하던 시대에도 꽤 쓰였다. 피타고라스 학파의 티마리다(Thymaridas) 는 여러개 미지수가 있는 (연립방정식) 문제를 풀고 이것을 ' 꽃 중의 꽃' 이라 하였다. 그런데 어쩌다 다시 알렉산드리아 시대까지 나타나지 않았을까? 이때 미지수는 '불확정' 이라는 그리스 단어를 썼다. 600여년 후인 디오판투스 시대에 와서 '불확정한 다수의 단위들' 이라는 뜻의 arismos ( $\alpha \rho \iota \theta \mu o\varsigma$ ) 를 썼다.
아리스토텔레스 'physics'에서 진공을 정의하고 바로 진공이 있을 수 없음을 보임 : 진공이란 사물이 그 공간을 점유할 수 있는 장소인데 사물의 이루는 기본인 영속적인 것들은 가능태거나 현실태거나 차이가 없다. 따라서 모든 장소는 점유되어 있어야만 한다. 이와 더불어 또는 이보다 더, 플라톤의 Timaeus 에 우주의 생성과 존재에 대한 당시의 분위기 엿볼 수 있다... ' 존재와 공간과 생성이 세상의 기본 요소이며, 이것은 하늘이 생겨나기 전부터 존재해왔다.' .. 공간의 의미로 플라톤이 사용한 낱말인 코라( $\chi \omega \rho \alpha$ ) 는 채워 넣을 지닌 그릇이라는 뜻으로 아리스토텔레스의 진공, 인도의 sunya와 비슷하다.
브라마굽타는 미지수를 '아밧 타밧' (무엇만큼) 이라고 표현. 아마도 플라톤의 영향인듯. 티마에우스는 종종 '본인의 논증은 이렇습니다(Here is how I reckon it)' 이나 결론은 이렇습니다 'Here is how I sum it up ' 라는 표현을 써서 '수학적인 특성을 강조하는데. 이 두 말의 그리스어에는 모두 프세포스( $\psi \eta \phi o\varsigma$ ) 가 쓰인다. 그 뜻은 '조약돌' 이라는 뜻이다.
그리스 사람들은 0 으로 동그라미를 더 많이 썼고, 인도인들은 점을 더 많이 썼다. ... (이후 지은이는 지루하게 0과 점의 연관성을, 결국 0의 그리스 기원설을 은근히 강조하며 논의 진행함 )
아델라르 Adelard of Bath 라는 사람 : 12C 초 영국 떠나, 프랑스 북동부 랑에서 개인교수, 프랑스 왕비에게 고대 하프 비슷하한 악기 연주, 프페인 톨레도에서 공부하면서 아라비아 어 습득, 무스림으로 가장하여 남부 코르도바로 갔고 거기서 동방여행, 살레르노 근처 노인 철학자에게서 자기력에 관해 논하고, 그리스로, 다시 실리시아와 시리아까지 여행한 기록 남음. 거기서 빛이 소리보다 빠르다는 것 발견. 마침내 고향으로 돌아왔을 때는 르네상스 여명을 알리는 사조에 물들어 있었다. ("내게 무슨 얘기라도 듣고 싶다면 우리 서로 이성을 주고 받읍시다") 이때, 동방의 보물들 가져왔다. 물감 배합에 관한 책으로 위장한 연금술 책, 물 속에 기초 건축 공사하고 그 위에 아치 다리 놓는 법 있는 책, 유클리드 Elements 13권, 알콰리즈미의 천문학 일람표 들같은 수학 책들도 가져옴. 매 길들이는 법을 조카와 대화하는 방식으로 썼고, 점성술사의 에메랄드 반지끼고 녹색 외투 걸치고 다니며 노르만 왕조 최후의 잉글랜드 왕인 스테판 왕에게 점성술 가르침.

그의 수학책을 가르켜 당시 성직자가 "위험한 사라센의 마법" 이라고 불렀다. 그런 책들을 영어로 번역하였다.

Ch. 7. 0 이 다른 수들에 작용하는 방식이 변하다

인도의 경우 12세기까지만 해도 바스카라와 그의 주석가들은 9 개의 한자리 숫자를 우주의 은혜로운 창조주가 만든 것이라고 기술하면서도, 자리표기법이나 0 은 다른 부류로 떼어 놓았다.
역순으로 생각해야 한다는 것 때문에 뺄셈은 혼동을 일으킬 수 있다. 손가락이 11개라는 속임수 : 왼손에 다섯, 오른손은 손가락 접으면서 10부터 세어간다.
6세기 동안의 인도 수학자들은 다른 문명에서 출현한 0 (지은이의 주장에 주목할 것. 근거는 ? )을 단순히 도입한 것 이상의 업적을 이루었다... 이들 인도 수학자들은 0 이 다른 수들에 어떻게 작동하는지, 또 그 수들간에 어떤 작용을 하는지 기술하기 시작했다.
헤론과 디오판투스 시대부터 음수의 제곱근에 대해 생각하기 시작했다. 하지만, 허수가 방정식의 해를 구하는 과정에서 얻어지는 경우에는, 이를 가짜 근이라 불렀고 해가 없다고 했다. (????)
어떤 수가 되려면 기존의 수들과 별 문제 없이 어울릴 수 있어야 하고 ... 어떻게 0 과 셈을 할 것인가... 인도 수학자들이 바로 이 일을 해냈다. 이로써 중대한 전환을 일으키는 역할을 했다. 그 전환이란 ... 패러다임의 전환이다. 산술법이 차츰 하나의 이론으로 발전하면서 0 과 그 외의숫자들은 서로 긴밀하게 결합하기 시작했다.
서기 600여년 브라마굽타는 어떤 수에서 0 을 빼는 것은 지극히 정확히 말하면서 더하는 것에 대해서는 매우 고심한다. "cipher 와 음수의 합은 음수이며, 양수와 nought 의 합은 양수이다. 또 이 두개의 cipher 을 더하면 역시 cipher 이 된다. " (1871년의 번역, 같은 대상을 여러 단어로 썼다는 것을 간과한 번역이다.) " cipher 에서 음수를 빼면 양수가 된다. 그리고 cipher 에서 양수를 빼면 음수가 된다. 음수에서 cipher 를 빼며 음수가 되고, 양수에서 cipher 를 빼면 양수가 된다. 그리고 cipher 에서 그 자신을 빼면 nought가 된다. " 500여년 흐른 후 바르카라는 그것을 간결하게 쓰고 있다. " cipher 를 더하거나 빼도 양수든 음수든 그 수는 안변한다. 하지만, cipher에 그 수를 뺄 경우 음과 양이 바뀌게 된다. " 바스카라는 36세때 이글과 함께 Lilavati 라는 제목의 책을 썼다. 그 뜻은 '매력적인 소녀'라는 뜻이다. 이유는 책에서 많은 문제들이 " 아름답고 참한 소녀여 ! 그대 눈은 마치 파우느스의 눈 같구나 ! 그대가 곱셈에 능하다면 135 곱하기 12기 얼마인지 말해보렴 ! '
마하비라는 위 두사람의 중간 쯤인 830년경 활약했다. 그는 0 을 주위 환경에 맞추어 그 색깔을 바꾸는 존재로 기술하였다. (자이나 교의 Syadvada와 비슷 ; 겉이 실체를 갖고 있지 않다는 뜻) 그는 말했다. " 어떤 수에 0 을 곱하면 0 이다. 그리고 영을 빼면 그 수는 바뀌지 않는다" " 어떤 수를 0 으로 나누면 그 수는 바뀌지 않는다." .. 곱셈을 간소화된 덧셈으로 생각하듯 나눗셈은 간소화된 나눗셈으로 본 듯. 20 : 5 는 20 에서 5씩 몇번 뺄 수 있나. .. 주어진 수에서 0 을 나눈가는 것은 0 을 뺀다는 것과 같기 때문에 아무런 변화가 생기지 않는다는 말로 이해한 듯 하다.
브라마굽타도 썼다. " 0 을 음수나 양수로 나누면 0 이 되거나, 또는 0 을 분자로, 유한 수를 분모로 하는 분수가 된다. ... 0 을 0으로 나누면 0이 된다."
바스카라 " 어떤 수를 0 으로 나누면 분모가 0인 분수가 된다... 이 분수는 무한량(카하라Khahara) 이란 이름을 갖는다. 분모를 0 으로 하는 양에는 얼마를 더하거나 빼더라도 변화가 없다. 이것은 마치 어떤 세계가 창조되고 파괴되든, 수많은 종류의 존재가 ㅎ ㅡㅂ수되거나 창조되어 나오든, 무한하고 불변인 신에게는 아무런 변화도 일어나지 않는 것과 같다"
6*0 = 0 이고 17*0=0 이라, 6*0 = 17*0 이고 이것을 모두 0 으로 나누고 0 으로 약분하면 6=17 이다. 그래서 a/0 은 의미없다. (??? 0 약분을 어떻게???)

Ch.8. 셈의 어두운 측면을 보여주는 마야문명

0을 뜻하는 마야의 기호는 문신을 한 남자가 목걸이를 걸고 목을 뒤로 젖힌 모습
그들이 생각한 우주의 시작은 기원전 3114년 8월 13일인 셈, 마야 문명은 중요한 사건이 일어난 날을 개벽일을 기준으로 하여 꼼꼼하게 기록했다. 고고학자들은 이 기록물을 Long Count 라고 부른다. 제 0 일로부터 순차적으로 날짜를 매기는 대신, 1 년을 18개 달로 나누고, 각 달을 20일로 나누었다. 따라서 1년은 360일이 된다. 1년을 '툰'이라 부르고, 20년을 '카툰'이라 부름. 20개 카툰이 모여 '박툰' 된다. 이런식으로 계속 가서, 가장 큰 것이 알라우툰, 64,000,000 년. 각 단위마다 상형문자 있었다.
마지막 단위 일단위에 아무것도 없을 때에 0 의 기호를 사용하여 그것을 표시했다. (수메르 사람들은 그렇게 하지 않았다.)... 롱 카운트 옆에 또 다른 역법을 기록해놓았던 것이이라. 역년(Haab) 역시 20일이 한달이고 총 18개월로 되었다. 그러나 마지막 달이 끝나고 나면 5일 간의 '유령' 일이 끼여 있어서 태양년과 1/4 차이난다. ... 각 달의 첫날은 1이 아니라 0으로 메고고 둘째 날이 1, (캄보디아 독재자 Pol Pot도 그의 통치 년을 제 0 년으로 제정)... 그 다른 역법에 따르면 1년을 260일로. 쫄낀이라는 성스러운 해가 있음. 365년 하브와 260일 쫄낀이 겹치는 주기는 18,980 (최소공배수)
마야인에게는 13명의 천신, 사람은 20을 뜻했다. ... 한달을 29일이나 30일로 하는 음력이 있었고 또 금성의 584일 공전 주기에 맞추어 만든 여섯 번째 역법이 있었다.
0 은 한주가기 끝나면 찾아오는 날로, 두려움을 가져오는 휴지(休止)의 시간.

Ch. 9. 0 은 여전히 움직인다

서기 773년 바그다드에는 다른 인도 숫자와 더불어 0 을 쓰고 있었다. 아랍인들은 이를 이용해 뛰어난 계산. 산술판 계산 후 적을 때만 쓰다가, 알 콰리즈미가 산술에 대해 쓴 책 (825년) 에는 이미 숫자로 계산.
산술판으로 나눗셈하는 것은 매우 어려웠다. 어떤 나눗셈법은 , 아마도, 강철처럼 깨기 어렵다는 뜻으로, 강철 제법 divisio ferrea 이라 불렀다.
나눗셈법 중 범선 셈법도 있었고 유행했다.
하지만, 아라비아 숫자로 계산하는 것이 실수가 많아, 프랑스 말로 아라비아 숫자로 계산하다라는 뜻인 faire par algorisme 라는 말은 잘못 계산하다는 뜻이 되었다. (???? 알고리듬이란 말이 있는데 ??? )
은행, 기념비에 쓸때 조차 유럽인들은 아라비아 숫자 사용하기를 꺼렸다. 범인은 0, 6이나 9로 변조가 쉬었고, 숫자를 덧붙여 바꾸어버릴 수 있었다. 1494년 프랑크푸르트 시장은 시 회계원들이 아라비아 숫자 사용하는 것을 금지하는 규정 발표.
13세기엔 셈 잘하는 사람이 조롱거리 : cipher 와 the zero of algorismus 이라는 말이 '조롱' 이라는 뜻. 왜? 0 을 무용한 것으로 보았다.
0 에 대한 신비적, 신화적 베일을 걷고 르네상스로 이끈 사람들이 있었으니, 1240년 Alexander De Villa Dei 는 ' 알고리듬의 노래(Carmen de Algorismo)' 저 술, 1250년, John Sacrobosco 는 '통속 알고리듬'(Algorismus vulgaris) 저술. 당시 대학에서 인기 교재. 복사하고 주석본 등장. 알렉산더의 교재에는 이런 문구가 있었다. " 첫번째는 하나를 의미하고 두번째는 둘을 뜻하며, 세번 째는 셋을 뜻한다. 그리고 왼쪽을 향해 끝까지 가면 닿는 것을 cifra 라고 부른다. "
평범한 집안 출신. Leonardo de Pissa 일명. 필리우스 보나치(Filius Bonacci 또는 간단히 Fibonacci '돌대가리' 란 뜻) 상인으로 12세기 후반 이집트 시리아 그리스 시실리 프로방스 들을 널리 여행. 1202년 Liber Abaci (산술판에 관한 책) 이란 책 저술. 아랍의 산술체계 정리. 자연수 열을 1, 2, 3 ... 으로, 체계 있는 열을 다룸. 여기서 1, 1, 2 , 3 , 5, 8, 13, 21, ... 열 생각함. 앵무조개의 무늬에서 해바라기 씨에 이르기까지 자연계에 중요한 수의 열.
그런데도 당시 유럽에서는 0 을 다른 수와 달리 취급. 피보나치도 인도의 9개 숫자에 말하면서 0 제외. 상업이 융성하면서 정확하고 빠른 계산이 필요했는데도 아라비아 숫자 불신하고 기존의 방식을 써왔다.
마르틴 루터 " 산술판을 다루는 사람들에게 모든 셈돌은 평등하다. 그 셈 돌의 가치는 산술판을 스는 사람이 어디에 놓느냐에 따라 달려 있을 뿐이다. 마찬가지로 하느님 앞에서 모든 사람은 평등하다. 그러나 하느님이 어디에 위치지우느냐에 따라 불평등하게 되는 것이다.
abacist 와 algorist 사이의 대립이 있었다는 것이 반영된 1200년대 독일 대중 민요 : 지금 여기에 노르웨이의 왕자 / 롯이 보인다 / 얼마나 많은 이들을 거느리고 있는 모른다 / 알고리스무스가 살아 있다해도 / 기하하에 조예있는 아바쿠스가 살아 있다 해도 / 이 사람들을 세려면 무척 힘들었을 것이다.
1503년 출간된 Grogor Reisch 의 책 지식의 탑 (Margrita Philosophica) 에 알고리스트의 승리 묘사한 목판화 실려. 1514년 뒤러의 판화 '성 제롬' '멜랑꼴리아' 에도.

Ch. 10. 천사를 환대하다

5에 1 제곱은 5 고, 5에 0 제곱은 그보다 5 가 적으니, 0 ? 그럼 5 에 -1 제곱은 -5 ? 말이 안되는 것 같다. 아니면 5의 0제곱은 전혀 안한거니까. 그냥 5 ? 그럼 5에 1제곱과 같게 된다 ?
0에 0제곱도 1 ? 0^{3}/0^{3} = 0/0 * 0/0 * 0/0 = ???
0 의 3 제곱 = 0, 0의 2 제곱 = 0, 0의 1제곱 = 0 , 0 의 1/2 제곱 =0, 0의 1/3 제곱 = 0, ... 그럼 0의 0제곱은 = 0 ? 아니면, 4에 0제곱도 1, 3의 0제곱도 1, 2의 0제곱도 1, 1/2의 0제곱도 1, ... 그럼 0의 0제곱도 1 ? 어느것이 옳은가?
Nicole Oresme 니꼴 오렘 주교는 1360년 경, 지수가 분수인 경우 다루었으나 0 인 경우 안다뤄, 니꼴라 쉬케는 어떤 수의 0 제곱은 다루었으나, 지수가 분수인 경우는 안다뤄, 루터교 목사 Michael Stifel 요한 묵시록, 다니엘 서 숫자들의 의미를 파악하기 위해 수학 공부, 쉬케보다 60년쯤 뒤 활동. 지수로 0이나 음수 다뤄. 하지만, 뚜렷한 결과 없어.
지금이 오전 10시라면 100만시간 후는 몇시일까? 100만 : 12 의 나머지는 4, 그래서 오후 2시. (이는 100만에서 12마다 0 이라고 생각하는 것과 같다.) 오늘이 화요일 이라면 천만일 후에는 무슨 요일일까? 천만 : 7 의 나머지는 3, 금요일. ( module arithmetic ) 0 부터 6까지 수가 박혀있는 7일짜리 시계를 상상해보라. ( 7 단위마다 0이 되어 도는)
273,889,154,767,432의 1,111,111,111,111,111,111 - 1 제곱에서 1 빼면 1 ... 1 (19개) 의 수로 나뉜다. .. 페르마 소정리 의 위력 : 소수에 대한 우리의 끔찍한 무지 앞에서도 주기 p 를 갖는 수세계들이 모두 갖는 공통된 특징을 밝혀 보임 ! 우리는 어떤 소수 다음 소수가 무엇인지도 모른다.
어떻게 이런 무지가 우리의 지식을 증가시켰을까? 먼저 암호학자들이 만들어낸 발명품을 따보자. 암호의 열쇠는 n, e 라는 두 수라 하자. 이것들은 모두 공개되어 있다고 하자. 첩자가 당신에게 n 과 e 를 써서 메시지를 암호화 한 다음 당신에게 보냈다. 당신은 풀기만 하면 된다. 왜 ? e 는 n 에 결정되는 수이고 n 은 150자리 정도의 두 소수 p, q 곱이라 하자. (당신만이 n 이라는 수가 p, q의 곱이라는 것을 안다) 이 두 소수만 알면 암호문을 해독할 수 있다. 그렇다면 왜 첩보기관은 n 을 소인수 분해해봐서 p,q 를 알아내지 못하나 ? n 은 300자리 정도의 수일 것이고, 최첨단 수퍼 컴을 여러대 써도 매우 어렵다. 그래서 당신에게 충분히 큰 소수 p, q 만 있으면 된다. 그런데 어떻게 이런 소수를 찾아내나 ? 우리의 소수에 대한 지식은 지극히 짧은데... 이렇게 해보자. 원하는 자리수 만큼의 수를 x 라 하고 2 에 x-1 제곱을 한 다음 1 을 빼서 x 로 나눠본다. 이것은 컴퓨터가 알아서 할 수 있다. 나머지가 0이 아니면 x 는 소수 아니다. 0 이면 소수일 확률이 엄청 높다. (소수 아닐 확률은 10 에 13제곱 분의 1 (???????) 이런 확률에 만족 안하면 2 대신 3을 해서 또 테스트 해본다. 나눈 나머지가 0 이 아니면 ? 컴퓨터에게 자동으로 x 대신 다른 수 y 를 골라내게 시켜서 과정을 되풀이 시킨다. 그래서 하나의 소수 p 를 찾는다. 마찬가지로 과정으로 q 를 찾는다. 이제 당신에게는 충분히 큰 소수 둘 이있다. 그렇다면 이것을 곱라. n 이라 하자. 그리고 이것으로부터 나오는 수 e 도 공개해라. 이것은 당신만이 해독할 (가능성이 매우 큰) 메시지가 전해지는 것이다.
John Napier 는 1500년대 말, 에딘버러 근처의 머치스톤의 남작으로, 그의 성에는 적의 침입도 없었고 전쟁에도 참가하지 않았고, 궁정과 멀어 궁정암투에도 참여하지 않았다. 그저 비술(秘術) 과 발명, 비둘기에게 마법걸기, 마술로 땅속 보물 찾기, 성서 속의 36개 대수의 명제를 이용해 최후의 심판이 1688 부터 1700 사이에 있을 것이라 도출했다. 검은 옷만 입었고 애완동물로 검은 수탉을 키웠다.
베이컨 "역사는 사람을 현명하게 하고, 시는 기지있게 만든다, 수학은 사람을 정교하고 예민하게 만든다." 나피어의 도벽이 심한 하인을 찾기. 한사람씩 방에 들어가 수탉 쓰다듬고 나오게 해서 알아맞춤 : 수탉에 검댕을 묻혀놓고 한사람씩 방에 들어가 닭을 만지게 해. 도벽 있는 사람만 검댕 안묻어. 나피어는 어떤 방정식을 풀 때도 오른 쪽의 모든 항을 왼쪽으로 옮긴 다음 풀이. 'equations to nothing ' 이라 부름. 이것은 a*b = 0 일 때, a = 0 또는 b = 0 이라는 성질을 쓰는 ! 문제의 핵심은 a 와 b 를 찾는 것. 이것을 찾는 과정에서 종종 0 = u - u 라는 게 쓰인다. 예 : $x^{2}+64=0$ 에 $16x^{2}-16x^{2}$ 이용. $x^{4}+x^{2}+1=0$ 에 $x^{2}-x^{2}$ 이용
왜 어떤 수에 0 을 곱하면 항상 0 일까? 0 은 u - u 이므로, 분배법칙 n * 0 = n * (u - u ) 은 같은 수 - 같은 수. 그래서 0 (???)
이런 식으로 어떤 성질을 만족하는 것을 공리로 주고 +, *, 0 성질 이해. (항등원, 역원, 교환, 결합, 분배)

Ch. 11. '거의 0 에 가까운' 이라는 개념을 둘러싼 논쟁

17세기들어 방정식 자체에 대한 태도가 바뀌고 있었다. 그런 관계식 대신, 함수가 득세하게 되었다. 패러다임의 전환.
부드럽게 휘어진 곡선에서도 한 점에서의 접선을 그어 기울기를 구하려 한다면 비판과 비웃음을 살 것이다. 19세기까지도 쇼펜하우어는 이것을 세상살이의 우스꽝스러움이라는 자신의 이론에 근거로 들었다. (우습게도 각이 있으면서 각이 없기 때문이다.)
그리스 사상도 부활하고, 작은 양에 대한 관심도 커졌고,(???) 나눗셈과 그 나머지에 대한 처리 능력도 높아졌다. 17세초에는 이런 개념들은 가볍게 생각하기 시작했다.
(접선의 기울기를 구하는 식을 보면 , 분모가 0 으로 수렴해갈때 라는 말이므로) 과연 0 으로 나눌 수 있는 때가 있을까? 말이되나?
거의 0에 가까움이라는 개념으로 논쟁이 시작되었다... 우리가 원하는 것은 바로 그 점에서의 기울기이지, 그 근방에 있는 점들의 기울기는 아니다. 그래서 무한소의 개념을 옹호했던 사람들은 두번째 방책을 마련했다. 즉, 그 오차가 어느 지정 양보다 작은 것을 무한소라 하였다. 혹은 주위의 값과 비교했을 때 무시해도 좋을 만큼 작은 양으로 저으이했다. $(r+h)^{2}$ 이면 $h^{2}$ 항은 h 가 줄면서, 훨씬 빠르게 감소. 1691년 요한 베르누이 " 거대한 양이란 천문학에서 사용되는 거리와 같은 양이다. 그리고 무한히 작다는 것은 현미경을 통해 볼 수 있는 미소생물 정도로 작은 것이다. 따라서 무한히 작은 양만큼 늘어나거나 줄어든 양은 전혀 늘어나지도 줄어들지도 않는다."
무한소 논한 사람 중 ... 라이프티쯔. 외교관 법률가 문헌학자, 철학자, 역사가, 지질학자. 그는 삼각형 변들의 비율은 삼각형이 사라져 버릴 경우에도 변하지 않는다고 말했고, 또 어떤 때는 계산을 하는 도중에 무시해도 좋을 만큼 작은 양을 아예 없애버리기도 했다. x 축 위에 '무한히 가깝게 ' 있는 두 점사이의 거리를 dx 라 불렀고 발아량(incipient quantity) 라 설명하기도 했다. 그는 자신의 극미량으 절대적이지 않고 상대적이라 말했다. 한편 그는 이 극미량이 대수학에서 아주 성공적으로 사용되는 허수만큼 큰 힘을 가지고 있다고 묘사했다. 그의 철학을 살펴보면 .. (이하 세쪽 복사)

Ch. 12. 그것은 실재로 존재하는가?

에너지를 실체로 생각하지 않는 사람은 우주 어딘가에는 물질이 전혀 없는 진공이 있지 않을까? 질문을 던질 것이다. 그러면 우주물리학자들은 비어있는 공간 자체도 기본 입자들을 왕서앟게 배태시키고 있다고 모호하게 답할 것이다.
20세기 초 1903년 출간된 Osborne Reynolds 얇은 책 " 우리는 알갱이로 가득한 우주 안의 파동이다. 우리가 물질이라고 부르는 단독적인 표면들은 다름아닌 파동이다. 우리 모두는 파동이다. "
양자역학 발전하면서 다시 인식의 전환 : 디락 : 양으로 대전된 입자를 '음의 입자들로 가득한 측정 불가능한 세계의 바다에 꿇려 있는 구멍' 으로 보면서 디락의 파동방정식 나와. 이 식은 전자의 매우 특이한 행동을 기술해준다 (음전하가 점점 늘어나는 전자가 무한대의 에너지를 방출하는 것과 같은 현상)
우리가 아는 바로, 우주에서 가장 차가운 곳은 절대온도로 2.7 정도. 그 위치를 알 수 있는 건 무언가 움직임을 포착할 수 있기 때문. 물질이 전혀 없는 진공 속에서도 전자기 파동 형태로 된 에너지의 바다가 있다. 이러한 전자기 파동은 대전되지 않는 금속판에서도 그 힘이 드러난다. (1948 H.Casimir 예측, 1996 로스앨러모스 증명) . 현재 이론은 '진공 에너지' 양은 무한대다.
광대한 우주공간에서 0 이 없다면, 작고 밀폐된 공간에서는 ? 레이저를 이횽해 리비듐 원자를 꼼짝 못하게 멈추어놓고 유리로된 영차단 용기에 이 원자들을 냉각시킨다. 그러면 자기 발사가 연쇄적으로 일어나 이들을 더욱 냉각시키고 절대온도 1천억 분의 1도까지 떨어지게 된다. 이 지섬에서 원자는 하나의 개체처럼 행동한다. 온도는 0 도 이지만, 그들이 갖고 있는 에너지는 0이 아니다. 결국 0은 완전 빈 것이 아니라 무언가를 품고 있는 것이라... 고대 인도인들의 sunya 처럼..
빅뱅 후에 우주가 식어가자 물질과 반물질은 거의 상쇄되어 순수한 방사선으로 남았다. 그러나 완벽 대칭이 아니어서 quark 가 반쿼크가 1억쌍씩 짝을 짓고 한개가 남았다. 이것이 진화해서 지금의 우리가 있는 것.
그렇듯 시작과 끝에 0 이 없다면 '정중앙'에 있는 것일까? 정중앙은 어디일까? 우주의 중심은 ? 1400년대 중반, Nicolaus Cusanus 는 지구나 전세계는 완전한 구가 될 수 없다고 주장. 더욱 완벽한 둥근 존재가 항상 존재할 수밖에 없기 때문.
1660년 파스칼은 '팡세'에서 " 보이는 세상 전체는 .. 하나의 무한한 구이다. 그 중심은 모든 곳에 있으면 그 둘레는 어느 곳에도 없다."
뉴튼에게 공간은 그 안에 있는 물체들 간의 관계가 의미를 갖게 해주는 하나의 틀이었다. 하지만, 라이프니쯔에게는 서로 연관된 물체들의 단순한 순서일 뿐이었고 따라서 이들 물체가 없다면 공간도 없었다.
Fahrenheit 는 얼음과 소금을 섞어 가장 낮게 내려간 온도를 0 으로 정했다. Rene de Reaumur는 물이 어는 점을 0 으로 정했다. Andres Celsius 는 오로라를 관찰하다가 섭씨온도를 만들었다. William Thomson 과 Lord Kevin 은 운동이 정지하는 온도를 0 으로 정했다. (사람이 기준이 되었다.)
균형감각은 일상에서는 인식하지 못하다가, 특별한 경우, 춤을 추거나, 자전거를 탈 때 인지된다.
에밀리 디킨슨의 시 '뱀' 의 구절 : 아무런 숨소리도 없고 // 뼛속의 온도는 0 이다.

Ch. 13. 거미가 있는 목욕탕

중세 시대에는 0 에 악마가 깃들었거나 악마 자체로 보았다.
19세기 아르메니아 학살의 주인공 술탄 압술 하미드 2 세는 화학책에서 물을 나타내는 H2O를 지우도록했다. Hamid 2 세는 아무것도 아냐 라는 뜻으로 생각한 것이다.
당신이 만나서 농담을 주고 받았던 사람들 가운데 얼마나 많은 이들이 0 같은 존재가 되고 말았는가 ! 오래된 졸업앨범에는 이름조차 기억나지 않은 수많은 사람들이 있고 ... 우연의 존재로서 이 세상에 받아들여지고 그 주어진 삶을 살아가면서 자신의 본질을 스스로 구성해간다. .. 본질이 존재에 선행한다는 토마스 신학의 본질을 사르트르는 뒤집었지만, 그의 철학도 0 이 되어간다.
'죄와 벌'에서 라스꼴리니꼬프에게 스비리드기일로프는 말한다. " 사람이 병들면, 그래서 그 유기체의 정상적 질서가 깨지면 그는 이 세상과는 또다른 세상의 가능성을 깨닫기 시작합니다. 그리고 그 세상에 거미들만, 아니면 그것과 비슷한 것들로만 가득하다면 어떨까요? 우리는 항상 영원이란 우리의 감각을 초월한 무언가 광대한 것이라고 생각합니다. 하지만 그것이 아주 작은 방이라면 어떻게 될까요? 마치 시골에 있는 목욕탕 처럼 말입니다. 시커멓고 더럽고 구석에는 거미가 기어다는 그런 곳 말이죠. 그곳이 영원이라면 어떨까요? " .. 이런 숨막히는 좁은 공간은 두려울 만큼 광대하게 펼쳐진 무의 세계보다 더 나쁠까? H. Weyl 은 자아가 소멸되더라도 특별히 좌표가 표시되지 않는 공간, 무한 하고 어느 곳에도 중심이 없으며 우리의 모든 관성 좌표계를 담고 있는 공간은 여전히 존재할 것이라고 보았다.

Ch. 14. 마음 속의 0 이 negative 에서 positive로 바뀌는 것 지켜보기

심각함을 즐기다가 문득 터득한 사람처럼 미소를 짓는다. 모든 것이 헛되다는 진리를 깨닫는 것이다. 영은 그런 사람들에게는 최소한 부정적인 것은 아니다.
아무 생각없이 산다는 것은 지적 능력이 없다는 것이 아니라 그것을 갖고도 사용하지 않는 것을 의미한다. .. 중세시대의 성인들처럼 오만으 없애고 자신을 낮추어 스스로 0 으로 줄임으로써 이득을 얻을 수 있다고 여기는 사람들도 있다. .. 관능적인 것을 사상해버린 삶을 통해 영혼이 고양되고, 헌신적인 삶이 그것을 방해하고 있던 물질 보다도 더욱 실제적이다... 꼴찌가 됨으로써 제일이 될 수 있따는 타산적인 생각도 없이 천성적으로 겸손한 이들이 있다.
버지니아 울프가 생생하게 묘사한 면화처럼 되는 것이다. " ... 나는 문 앞의 화단을 바라보고 있었다. '저건 완전히 한 덩어리야 ' 라고 나는 말했다. 나는 잎이 활짝 펴고 있는 화초를 바라보고 있었다. 그때 갑자기 꽃 자체도 땅의 일부라는 것이 명백하게 보이기 시작했다. 그 꽃을 감싸고 있는 둥그런 것이 있었다. 바로 그것이 진정한 꽃이었다. 일부는 땅이요, 일부는 꽃이었다. "
순백의 눈이 온통 나무를 뒤덮고 있는 스칸디나비아의 풍경에서 우리는 간결함의 아름다움을 본다.
핸리 제임스는 작가의 감수성을 가리켜 거대한 거미줄과 같다고 했다. 보이지는 않지만, 지나가는 것들을 잡아내며 또 공기의 움직임을 보이도록 드러내기 때문이다.
퀘이커 교도에 대해 철학자 Joseph Needleman 은 말했다. " 미국은 0 의 나라입니다. 우리는 0 에서 출발하고 무로부터 출발합니다. 이것이 미국의 근본적인 생각입니다. 우리는 오직 우리 자신의 이성, 우리 자신의 열망, 우리 자신의 탐색으로부터만 출발합니다." 랭보는 미국인들을 일러 " 당신들은 도착하기 위해 항상 어디론가 떠난다"

Ch. 15. 0이 스스로 무언가를 만들어낼 수는 없나?

아첨을 거부하는 딸 코델리아에게 리어왕이 말한다. " 무로부터는 무만이 나올 뿐이다 " 하지만, 그녀의 무, 아무말도 않는 것으로부터 연극이 전개된다.
0/1 과 1/0 사이에 1/1 을 놓는다. 그 중간에 1/2 를, 그 다음 2/1 을 얻는다. 다시 그 중간에 1/3과 2/3을, 그 다음 3/2와 3/1 을 얻는다.. 그런 식으로 전개해가면 1/4, 2/5, 3/5,/ 3/4, 4/3, 4/3, 5/3, 5/2 4/1 이 그 다음에 이어진다. 이런 수열을 Farey Sequence라 부른다. 사실은 패리가 아니라, Hanry Goodwyn 이 낸 책에 먼저.
John von Neuman 은 "우리가 수학에서 무언가를 이해하는 것이 아니라 단지 수학에 익숙해지는 것 뿐이다."
수학은 우아한 아름다움 뿐만 아니라 단순함의 아름다움도 지녀야 한다.
Zermelo 는 1908년 자신의 공리 체계 두번째에 "가상적 집합인 공집합이 존재한다. 이 집합에는 아무런 원소도 없다" 고 했다. 왜 가상적이라고 했을까?... 공집합을 나타내는 기호 $\emptyset$ 은 0 조차 없는 것을 뜻하는 기호?
노이만이 했던 대로 자연수를 정의하면, 공집합으로부터 모든 자연수를 얻어낸다. .. 이런 어법을 보면 바늘 끝에 천사가 몇이나 올라가춤을 출 수 있느냐는 터무니없는 중세 스콜라 철학의 문제가 떠오를지 모르겠다.
사고를 쉽게 하기 위해 도입한 기호가 결국 사고 자체로 간주되어 버린다.
'진리를 인정하는 것'은 엄밀한 연역을 따르는 것이다. 그런데 만일 어떤 형식론자가 당신에게 당신이 엄밀한 연역을 위해 사용하는 논리 그 자체가 진리의 부인으로부터 나왔다고 말한다면? 오마르 카얌은 말했다. " 아마도 머리카락 한 올의 차이가 진리와 허위를 가르는 것이다." 그런데 만일 둘로 나누는 것이 아니라 하나로 묶어버린다면? Charles Sanders Peirce 가 1880년 논문에서. " 내 저주받은 머리는 불치의 결함이 있어서 다른 사람들과 같은 방식으로는 전혀 생각할 수 없다." Henry Mauice Sheffer 의 연구에서 동일한 기호 체계와 거의 비슷한 형태로 다시 그 모습을 드러냈다. 쉐퍼의 stroke 라는 것이다. 퍼스의 기호를 따라 쓰면 A, B 가 모두 거짓일 때'만', $A\downarrow B$ 는 참이다. 이것으로 하면 $A\rightarrow B$ 는 $(((A\downarrow A)\downarrow B)\downarrow ((A\downarrow A)\downarrow B))$ 모든 명제가 부정의 언명으로부터 유도된다 ! 우리의 모든 언명은 반복적 허위의 모습으로 줄여지고 명제의 모든 논리가 이 부정의 지렛대 받침점 위에 그 균형을 유지하고 있다. 마치 우리 사유의 가장 깊숙한 성소 안에 있는 상자를 열고 보니 0 이 있음을 발견한 듯 하다.
이렇게 단순하고 보잘것없어 보이는 기술로 세계를 보려면 감수성이 예민해야 한다. 비트겐쉬타인에게 있어 이러한 단순함으로의 환원은 악마적인 것도, 장식적인 가치만을 지닌 것도 아니었다. 그것은 그가 찾아 헤맸던 열쇠였다. 그는 논리 위에 세운 언어가 할 수 있는 언명은 부정의 언명 뿐이라는 사실을 인식하게 되었다. " 말할 수 없는 것에 대해서는 침묵하여야 한다."

↑ 영어 원문 부분 링크 google book

[1] 영어 원문 부분 링크 google book

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