2006년 3월 23일 (목) 12:05 기준 최신판
아래를 보고 이해하는 것보다 좋은 게, 혼자 유추해보는 것입니다.
단계1
소수가 아무리 많건 기껏해야 2, 3, 5, … , p 까지 m개 있다고 하자.
이 수들로 A 라는 수를 다음과 같이 만들 수 있다.
괄호 안의 덧셈을 하는 항의 개수를 충분히 많이 해보자. 이 수는 어떤 수일까?
단계2
괄호 안의 수의 합들은 우리가 이미 알고 있듯이 모두 2를 넘을 수 없다. 다시 말해
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< |
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2 |
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2 |
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2 |
따라서 ....
단계 3
그런데 A란 도대체 어떤 수냐?
단계 4
각 항을 곱해서 풀어보자. 그러면 A는
따라서 덧셈의 각 항은 결국 소수들의 곱으로 표현되었기 때문에 분모는 모든 소수와 합성수를 표현할 수 있다.
(단계1)에서 항의 개수를 많이 하면 할수록 A 는
값에 접근한 수다. 앞에서 말했듯이 이 합의 결과는 항이 커질수록 한없이 커진다.
단계 5
(단계1)에서는 소수의 개수로 이미 정해진 수 m에 대해 A는 보다 작다고 하였고, (단계4)에서는 이것이 한없이 커질 수 있다고 하였다. 말이 안되는 소리가 되었다. (단계1)의 가설이 잘못된 것이다. 따라서 m은 존재하지 않는다. 끝없이 많은 소수가 있는 셈이다. 증명 끝.