- DoMath

아래를 보고 이해하는 것보다 좋은 게, 혼자 유추해보는 것입니다.

단계1

소수가 아무리 많건 기껏해야 2, 3, 5, … , p 까지 m개 있다고 하자. 이 수들로 A 라는 수를 다음과 같이 만들 수 있다.

A:=(1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}\cdots )\cdot (1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+\cdots )\cdots (1+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+{\frac {1}{p_{3}}}+\cdots )

괄호 안의 덧셈을 하는 항의 개수를 충분히 많이 해보자. 이 수는 어떤 수일까?

단계2

괄호 안의 수의 합들은 우리가 이미 알고 있듯이 모두 2를 넘을 수 없다. 다시 말해

$1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}\cdots$	<	2
$1+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{27}}+\cdots <1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}\cdots$	<	2
$1+{\frac {1}{p_{1}}}+{\frac {1}{p_{2}}}+{\frac {1}{p_{3}}}+\cdots <\cdots <1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}\cdots$	<	2

따라서 ....

단계 3

A<2^{m}

그런데 A란 도대체 어떤 수냐?

단계 4

각 항을 곱해서 풀어보자. 그러면 A는

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{2\cdot 3}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{2\cdot 5}}+\cdots

따라서 덧셈의 각 항은 결국 소수들의 곱으로 표현되었기 때문에 분모는 모든 소수와 합성수를 표현할 수 있다. (단계1)에서 항의 개수를 많이 하면 할수록 A 는

1+{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{3}}+{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{5}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{7}}+{\frac {1}{8}}+{\frac {1}{9}}+{\frac {1}{10}}+\cdots

값에 접근한 수다. 앞에서 말했듯이 이 합의 결과는 항이 커질수록 한없이 커진다.

단계 5

(단계1)에서는 소수의 개수로 이미 정해진 수 m에 대해 A는 $2^{m}$ 보다 작다고 하였고, (단계4)에서는 이것이 한없이 커질 수 있다고 하였다. 말이 안되는 소리가 되었다. (단계1)의 가설이 잘못된 것이다. 따라서 m은 존재하지 않는다. 끝없이 많은 소수가 있는 셈이다. 증명 끝.

Q. 여기서 산술의 기본정리가 쓰였는가?

목차

단계1

단계2

단계 3

단계 4

단계 5

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